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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 6.7 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(xx鄭州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(　　) A.k2+1 B.(k+1)2 C. D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 【解析】選D.當(dāng)n=k時(shí),左邊=1+2+3+…+k2, 當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,所以應(yīng)加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取(　　) A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】選C.當(dāng)n=1時(shí),21=2=12+1, 當(dāng)n=2時(shí),22=4<22+1=5, 當(dāng)n=3時(shí),23=8<32+1=10, 當(dāng)n=4時(shí),24=16<42+1=17, 當(dāng)n=5時(shí),25=32>52+1=26, 當(dāng)n=6時(shí),26=64>62+1=37,故起始值n0應(yīng)取5. 3.(xx南昌模擬)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,則f(k+1)與f(k)的關(guān)系是 (　　) A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2 C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2 D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2 【解析】選A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+[2(k+1)]2 =f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,故選A. 4.(xx濰坊模擬)某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān),若當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)該命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立,那么可推得 (　　) A.當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立 B.當(dāng)n=5時(shí),該命題成立 C.當(dāng)n=3時(shí),該命題成立 D.當(dāng)n=3時(shí),該命題不成立 【解析】選D.由數(shù)學(xué)歸納法的特點(diǎn)可以知道,當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立,可知當(dāng)n=3時(shí),該命題不成立. 5.對(duì)于不等式1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是　　　　　. 【解析】由n∈N*,n>1知,n取第一個(gè)值n0=2, 當(dāng)n=2時(shí),不等式為1++<2. 答案:1++<2 【誤區(qū)警示】此題很容易出現(xiàn),第一步驗(yàn)證的不等式是n=2時(shí)左邊為1+,缺少了,而導(dǎo)致答案不正確. 7.設(shè)Sn=1++++…+,則Sn+1-Sn=　　　　　　　　　　. 【解析】因?yàn)镾n+1=1++…+++…+, Sn=1++++…+, 所以Sn+1-Sn=++…+. 答案:+++…+ 8.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的正整數(shù)n都有(Sn-1)2=anSn,通過計(jì)算S1,S2,S3,猜想Sn=　　　　　. 【解析】由(S1-1)2=得:S1=; 由(S2-1)2=(S2-S1)S2得:S2=; 由(S3-1)2=(S3-S2)S3得:S3=. 猜想Sn=. 答案: 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知數(shù)列{an}中,1-,-<, 所以-0,所以an=. (2)因?yàn)閍n=,所以Sn=1+++…+. ①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2,左<右, 所以n=1時(shí),Sn<2. ②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí)所證不等式成立,即Sk<2, 當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1=1+++…++<2+ =<= =2. 故n=k+1時(shí),不等式仍成立. 由①②可知,對(duì)任意n∈N*,不等式成立. 【一題多解】解答此題還有如下方法: (1)因?yàn)閍1=1,an>0,(n2+n)(-)=1, 所以a2=,a3=,a4==,…,猜想an=, 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明, ①當(dāng)n=1時(shí),因?yàn)閍1=1,所以n=1時(shí),an=. ②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí)所證成立,即ak=, 當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?k2+k)(-)=1, 所以=-=-=. 所以ak+1=. 故當(dāng)n=k+1時(shí),an=仍成立, 由①②可知,對(duì)任意n∈N*,an=成立. (2)因?yàn)?<=2(-), 所以Sn=1+++…+ <2(-0+-+-+…+-) =2. 【加固訓(xùn)練】由下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,…,你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式?并加以證明. 【解析】一般結(jié)論:1+++…+>(n∈N*),證明如下: (1)當(dāng)n=1時(shí),由題設(shè)條件知命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),猜想正確, 即1+++…+>. 當(dāng)n=k+1時(shí),1+++…+++…+ >+++…+ >+++…+ =+=, 所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立. 根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)n∈N*,1+++…+>. (20分鐘　40分) 1.(5分)(xx天津模擬)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí),總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命題總成立的是 (　　) A.若f(1)<1成立,則f(10)<100成立 B.若f(2)<4成立,則f(1)≥1成立 C.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k2成立 D.若f(4)≥16成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k2成立 【解析】選D.選項(xiàng)A,B與題設(shè)中不等號(hào)方向不同,故A,B錯(cuò);選項(xiàng)C中,應(yīng)該是k≥3時(shí),均有f(k)≥k2成立;選項(xiàng)D符合題意. 2.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”的第二步是 (　　) A.假使n=2k+1時(shí)正確,再推n=2k+3時(shí)正確(k∈N*) B.假使n=2k-1時(shí)正確,再推n=2k+1時(shí)正確(k∈N*) C.假使n=k時(shí)正確,再推n=k+1時(shí)正確(k∈N*) D.假使n≤k(k≥1)時(shí)正確,再推n=k+2時(shí)正確(k∈N*) 【解析】選B.因?yàn)閚為正奇數(shù), 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟, 第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立, 本題即假設(shè)n=2k-1(k∈N*)時(shí)正確,再推第k+1個(gè)正奇數(shù),即n=2k+1時(shí)正確, 故選B. 3.(5分)平面上有n條直線,它們?nèi)魏蝺蓷l不平行,任何三條不共點(diǎn),設(shè)k條這樣的直線把平面分成f(k)個(gè)區(qū)域,則k+1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)f(k+1)=f(k)+　　　　　. 【解析】當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1條直線被前k條直線分成(k+1)段,而每一段將它們所在區(qū)域一分為二,故增加了k+1個(gè)區(qū)域. 答案:k+1 4.(12分)(xx漢沽模擬)如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(00,數(shù)列{bn}滿足bn=(n=1,2,3,4,…) (1)求b1,b2,b3,b4. (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. (3)是否存在正數(shù)k,使得數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均為整數(shù),如果不存在,說(shuō)明理由,如果存在,求出所有的k. 【解析】(1)經(jīng)過計(jì)算可知:a4=k+1,a5=k+2,a6=k+4+. 求得b1=b3=2,b2=b4=. (2)由條件可知:an+1an-2=k+anan-1.　① 類似地有:an+2an-1=k+an+1an?、? ①-②有:=, 即:bn=bn-2. 所以b2n-1=b2n-3=…=b1==2, b2n=b2n-2=…=b2==, 所以bn=+. (3)假設(shè)存在正數(shù)k,使得數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均為整數(shù), 則由(2)可知:?、? 由a1=k∈Z,a6=k+4+∈Z可知k=1,2. 當(dāng)k=1時(shí),=3為整數(shù),利用a1,a2,a3∈Z, 結(jié)合③式,反復(fù)遞推,可知{an}的每一項(xiàng)均為整數(shù), 當(dāng)k=2時(shí),③變?yōu)椤、? 我們用數(shù)學(xué)歸納法證明a2n-1為偶數(shù),a2n為整數(shù), n=1時(shí),結(jié)論顯然成立,假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,這時(shí)a2n-1為偶數(shù),a2n為整數(shù), 故a2n+1=2a2n-a2n-1為偶數(shù),a2n-2為整數(shù),所以n=k+1時(shí),命題成立, 故數(shù)列{an}是整數(shù)列, 綜上所述,k的取值集合是{1,2}. 【加固訓(xùn)練】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1(n∈N*). (1)求a1,a2. (2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并給出證明. 【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),方程x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1, 所以(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0, 解得a1=.當(dāng)n=2時(shí),方程x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a1+a2-1=a2-, 所以-a2-a2=0,解得a2=. (2)由題意知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,代入上式整理得 SnSn-1-2Sn+1=0, 解得Sn=. 由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=. 猜想Sn=(n∈N*). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論. ①當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí)結(jié)論成立,即Sk=, 當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1===. 即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立. 由①②知Sn=對(duì)任意的正整數(shù)n都成立.