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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第五章 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 理（含解析） 1. （xx江蘇，5分）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________． 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q>0，則a8＝a6＋2a4即為a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝2(負(fù)值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4. 答案：4 2. （xx重慶，5分）對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是(　　) A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列 C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列 解析：選D　由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a3a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比數(shù)列，選D. 答案：D 3. （xx廣東，5分）若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________. 解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a10a11＋a9a12＝2e5?a1a20＝e5，于是a1a2…a20＝(e5)10＝e50，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln e50＝50. 答案：50 4. （xx新課標(biāo)全國Ⅱ，12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)證明是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式； (2)證明：＋＋…＋<. 證明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3. 又a1＋＝，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列． 所以an＋＝， 因此{(lán)an}的通項公式為an＝. (2)由(1)知＝. 因為當(dāng)n≥1時，3n－1≥23n－1， 所以≤. 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ＝<. 所以＋＋…＋<. 5．（xx新課標(biāo)全國Ⅱ，5分）等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S3 ＝ a2 ＋10a1 ，a5＝9，則a1＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：本題考查等比數(shù)列的基本知識，包括等比數(shù)列的前n項和及通項公式，屬于基礎(chǔ)題，考查考生的基本運算能力．由題知q≠1，則S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，則a1＝，故選C. 答案：C 6．（xx北京，5分）若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項和Sn＝________. 解析：本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查方程思想以及考生的運算求解能力． q＝＝2，又a2＋a4＝20，故a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋1－2. 答案：2　2n＋1－2 7.（xx湖北，12分）已知等比數(shù)列{an}滿足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)是否存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由． 解：本題考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、不等式等基礎(chǔ)知識和基本方法，考查方程思想、分類與整合思想，考查運算求解能力、邏輯思維能力，考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力． (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由已知可得解得或 故an＝3n－1，或an＝－5(－1)n－1. (2)若an＝3n－1，則＝n－1，故是首項為，公比為的等比數(shù)列， 從而＝＝<<1. 若an＝－5(－1)n－1，則＝－(－1)n－1，故是首項為－，公比為－1的等比數(shù)列， 從而＝故<1. 綜上，對任何正整數(shù)m，總有<1. 故不存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1成立． 8．（xx遼寧，5分）已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，則S6＝________. 解析：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、求和公式，意在考查考生對等比數(shù)列公式的運用，以及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用情況．由題意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由數(shù)列是遞增數(shù)列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比數(shù)列的求和公式得S6＝63. 答案：63 9．（xx湖北，13分）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥xx？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由． 解：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，也考查了分類討論思想． (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a1≠0，q≠0.由題意得 即 解得故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3(－2)n－1. (2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n. 若存在n，使得Sn≥2 013，則1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012. 當(dāng)n為偶數(shù)時，(－2)n>0，上式不成立； 當(dāng)n為奇數(shù)時，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，則n≥11. 綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}． 10．（xx陜西，12分）設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列． (1)推導(dǎo){an}的前n項和公式； (2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列． 解：本題考查等比數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)所用的錯位相減法以及用反證法研究問題，深度考查考生應(yīng)用數(shù)列作工具進(jìn)行邏輯推理的思維方法． (1)設(shè){an}的前n項和為Sn， 當(dāng)q＝1時，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 當(dāng)q≠1時，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，② ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴Sn＝，∴Sn＝ (2)證明：假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列，則對任意的k∈N＋， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， aq2k＋2a1qk＝a1qk－1a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， ∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0， ∴q＝1，這與已知矛盾． ∴假設(shè)不成立，故{an＋1}不是等比數(shù)列． 11．（xx江西，5分）等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于(　　) A．－24　　　　　　　　　　　　　　B．0 C．12 D．24 解析：選A　本題考查等比數(shù)列的通項以及等比數(shù)列的性質(zhì)，意在考查考生的運算能力及對基礎(chǔ)知識的掌握情況．由等比數(shù)列的前三項為x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此時3x＋3＝0，不合題意，舍去)，故該等比數(shù)列的首項x＝－3，公比q＝＝2，所以第四項為(6x＋6)q＝－24. 12．（xx江蘇，5分）在正項等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________． 解析：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，意在考查學(xué)生的運算能力． 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)．由a5＝，a6＋a7＝3，可得(q＋q2)＝3，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，所以an＝2n－6，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－5－2－5，所以a1a2…an＝(a1an)＝2，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可得2n－5－2－5>2，由2n－5>2，可求得n的最大值為12，而當(dāng)n＝13時，28－2－5>213不成立，所以n的最大值為12. 答案：12 13．（xx浙江，4分）設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝____________. 解析：∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)， 解得q＝－1(舍去)或q＝. 答案： 14．（xx新課標(biāo)全國，5分）已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由 得或所以或 所以或所以a1＋a10＝－7. 答案：D 15．(2011新課標(biāo)全國，12分)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{}的前n項和． 解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由條件可知q＞0，故q＝. 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝. (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝ －(1＋2＋…＋n)＝－. 故＝－＝－2(－)． ＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－. 所以數(shù)列{}的前n項和為－.