2019年高考數(shù)學二輪復習 概率.doc
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2019年高考數(shù)學二輪復習 概率 1.(xx江西高考)擲兩顆均勻的骰子,則點數(shù)之和為5的概率等于( ) A. B. C. D. 【解析】 點數(shù)之和為5的基本事件有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)4種, ∴P==. 【答案】 B 2.(xx湖南高考)在區(qū)間[-2,3]上隨機選取一個數(shù)X,則X≤1的概率為( ) A. B. C. D. 【解析】 [-2,3]的區(qū)間長度為5,滿足x≤1的區(qū)間長度為3, ∴p=,故選B. 【答案】 B 3.(xx遼寧高考) 若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是( ) A. B. C. D. 【解析】 ∵半圓的面積π1=,SABCD=2,∴P=,故選B. 【答案】 B 4.(xx陜西高考)某保險公司利用簡單隨機抽樣方法,對投保車輛進行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下: 賠付金額(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 車輛數(shù)(輛) 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元,估計賠付金額大于投保金額的概率; (2)在樣本車輛中,車主是新司機的占10%,在賠付金額為4 000元的樣本車輛中,車主是新司機的占20%,估計在已投保車輛中,新司機獲賠金額為4 000元的概率. 【解】 (1)設A表示事件“賠付金額為3 000元”,B表示事件“賠付金額為4 000元”,以頻率估計概率得 P(A)==0.15,P(B)==0.12. 由于投保金額為2 800元,賠付金額大于投保金額對應的情形是3 000元和4 000元,所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”,由已知,樣本車輛中車主為新司機的有0.11 000=100輛,而賠付金額為4 000元的車輛中,車主為新司機的有0.2120=24輛,所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為=0.24,由頻率估計概率得P(C)=0.24. 從近三年高考來看,該部分高考命題的熱點考向為: 1.古典概型 ①古典概型是高考重點考查的概率模型,常與統(tǒng)計結合起來考查. ②既可以以選擇題、填空題的形式考查,屬中檔題.也可以以解答題的形式考查,也屬于中檔題. 2.幾何概型 ①幾何概型是新課標新增內容,預計今后會成為新課標高考的增長點,應引起高度重視. ②易與解析幾何、線性規(guī)劃等知識交匯命題,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),屬中、低檔題目. 3.互斥事件與對立事件的概率 ①xx年高考對本講內容的考查,小題可能直接考查等可能事件概率的求法;大題可能以對事件的分解,利用分類討論或對立事件來解決問題為主. ②高考試題的考查主觀、客觀題均有,形式上主要是以實際應用題為主,結合基礎知識和方法進行運算. 【例1】 (xx山東高考)海關對同時從A,B,C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測,從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測. 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100 (1)求這6件樣品中來自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量; (2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率. 【解】 (1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是=, 所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是: 50=1,150=3,100=2. 所以A,B,C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2. (2)設6件來自A,B,C三個地區(qū)的樣品分別為A;B1,B2,B3;C1,C2. 則抽取的這2件商品構成的所有基本事件為: {A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2}, {B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3}, {B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共15個. 每個樣品被抽到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 記事件D:“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”, 則事件D包含的基本事件有 {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4個. 所以P(D)=,即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為. 【規(guī)律方法】 利用古典概型求事件概率的關鍵及注意點: (1)關鍵:正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件數(shù). (2)注意點:①對于較復雜的題目,列出事件數(shù)時要正確分類,分類時應不重不漏. ②當直接求解有困難時,可考慮求其對立事件的概率. [創(chuàng)新預測] 1.(xx北京東城區(qū)質檢)一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛): 轎車A 轎車B 轎車C 舒適型 100 150 z 標準型 300 450 600 按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛. (1)求z的值; (2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率; (3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率. 【解】 (1)設該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛,由題意得,=,所以n=2 000,z=2 000-100-300-150-450-600=400. (2)設所抽樣本中有m輛舒適型轎車, 因為有分層抽樣,所以=,解得m=2, 即抽取了2輛舒適型轎車,3輛標準型轎車,分別記作S1,S2;B1,B2,B3, 則從中任取2輛的所有基本事件為(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3),共10個. 其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個:(S1,B1),(S1B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),所以從中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車的概率為. (3)樣本的平均數(shù)=(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9, 那么與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的數(shù)為9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0這6個數(shù),又總的個數(shù)為8, 所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率為=0.75. 【例2】 (1)(xx山東臨沂質檢)若在區(qū)間[-5,5]內任取一個實數(shù)a,則使直線x+y+a=0與圓(x-1)2+(y+2)2=2有公共點的概率為( ) A. B. C. D. (2)(xx安徽合肥質檢)在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1內任取一點P,則點P到正方體各面的距離都不小于1的概率為( ) A. B. C. D. (3)(xx重慶高考)某校早上8∶00開始上課,假設該校學生小張與小王在早上7∶30~7∶50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________(用數(shù)字作答). 【解析】 (1)若直線與圓有公共點,則圓心(1,-2)到直線的距離d==≤,解得-1≤a≤3,又因為-5≤a≤5,所以由幾何概型的概率計算公式得所求概率P==,故選B. (2)正方體中到各面的距離不小于1的點的集合是一個中心與原正方體中心重合,且棱長為1的正方體,該正方體的體積是V1=13=1,而原正方體的體積為V=33=27,故所求的概率為P==.故選A. (3) 設小張與小王的到校時間分別為7∶00后第x分鐘,第y分鐘,根據(jù)題意可畫出圖形,如圖所示,則總事件所占的面積為(50-30)2=400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A={x,y)|y-x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},如圖中陰影部分所示,陰影部分所占的面積為1515=,所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A)==. 【答案】 (1)B (2)A (3) 【規(guī)律方法】 幾何概型的適用條件及求解關鍵: (1)適用條件:當構成試驗的結果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時,應考慮使用幾何概型求解. (2)關鍵:尋找構成試驗的全部結果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域,有時需要設出變量,在坐標系中表示所需要的區(qū)域. [創(chuàng)新預測] 2.(1)在區(qū)間[0,9]上隨機取一實數(shù)x,則該實數(shù)x滿足不等式1≤log2x≤2的概率為________. (2)設不等式組表示的平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內隨機取一個點,則此點到坐標原點的距離大于2的概率是( ) A. B. C. D. 【解析】 (1)∵1≤log2x≤2,∴2≤x≤4.∴P=. (2) 根據(jù)題意作出滿足條件的幾何圖形求解.如圖所示,正方形OABC及其內部為不等式組表示的區(qū)域D,且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示的是區(qū)域D內到坐標原點的距離大于2的區(qū)域.易知該陰影部分的面積為4-π.因此滿足條件的概率是. 【答案】 (1) (2)D 【例3】 (預測題)一個袋中裝有四個形狀大小安全相同的球,球的編號分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機取兩個球,求取出的球的編號之和不大于4的概率; (2)先從袋中隨機取一個球,該球的編號為m,將球放回袋中,然后再從袋中隨機取一個球,該球的編號為n,求n<m+2的概率. 【解】 (1)從袋中隨機取兩個球,其一切可能的結果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6個. 從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個. 因此所求事件的概率P==. (2)先從袋中隨機取一個球,記下編號為m,放回后,再從袋中隨機取一個球,記下編號為n,其一切可能的結果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個. 又滿足條件n≥m+2的事件為(1,3),(1,4),(2,4),共3個,所以滿足條件n≥m+2的事件的概率為P1=. 故滿足條件n<m+2的事件的概率為1-P1=1-=. 【規(guī)律方法】 互斥事件與對立事件的適用條件及注意點: 1.當所求事件情況較復雜時,一般要分類計算,即用互斥事件的概率加法公式或考慮其對立事件求解. 2.在解決與互斥事件有關問題時,首先分清所求事件是由哪些事件組成的,是否具備互斥的條件,一個事件是由幾個互斥事件組成的,做到不重、不漏. 3.當所求事件含有“至少”“至多”或分類情況較多時,通常考慮用對立事件的概率公式求解. [創(chuàng)新預測] 3.某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù),如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結算時間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結算時間的平均值; (2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率) 【解】 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20. 該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計,其估計值為=1.9(分鐘). (2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”,A1,A2,A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”,“該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘”,“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”.將頻率視為概率得 P(A1)==, P(A2)==, P(A3)==. 因為A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =++=. 故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為. [總結提升] 失分盲點 1.對于古典概型其關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),常用計數(shù)方法是列舉法、列表法或畫樹狀圖法. 2.幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗中的可能結果不是有限個,它的特點是試驗結果在一個區(qū)域內均勻分布,因此它的概率與所在的區(qū)域的形狀位置無關,只與該區(qū)域的大小有關. 3.對于含有“至少”“至多”型事件概型的求法,可考慮使用對立事件的概率. 答題指導 1.能正確區(qū)分事件的性質,能正確判斷所求事件包含的基本事件,能用列舉法計算概率. 2.看到求概率問題,想到求復雜的互斥事件概率的方法. 方法規(guī)律 1.求復雜的互斥事件的概率的方法: ①直接法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運用互斥事件概率的加法公式計算; ②間接法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求得,特別是“至多”或“至少”型題目用間接法就會較簡便. 2.解答概率與統(tǒng)計的綜合問題的關注點: (1)明確頻率與概率的關系,頻率可近似替代概率. (2)此類問題中的概率模型多是古典概型,在求解時,要明確基本事件的構成. 概率計算中的分解思想 在運算中對運算對象進行分解組合是運算能力的主要體現(xiàn)之一,高考中不少問題的計算都要依靠這種分解組合的能力,概率的綜合計算是這個方面的典型問題之一.概率計算題的核心環(huán)節(jié)就是對基本事件進行分拆,是互斥事件還是對立事件,需要在概率運算前準確把握. 【典例】 (xx四川高考)一個盒子里裝有三張卡片,分別標記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率. 【解】 (1)由題意,(a,b,c)所有的可能為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種. 設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A, 則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種. 所以P(A)==. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為. (2)設“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B, 則事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種. 所以P(B)=1-P()=1-=. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為. 【規(guī)律感悟】 古典概型的關鍵是計算基本事件的個數(shù)和所求的目標事件含有的基本事件的個數(shù),在計算時要注意不要重復也不要遺漏.根據(jù)實際情況對事件進行合理的分解,就能把復雜事件的概率計算轉化為一個個簡單事件的概率計算,如P(B)=1-P().- 配套講稿:
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