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2019年高中數(shù)學(xué) 3.3.1 幾何概型學(xué)案 新人教A版必修3 【明目標(biāo)、知重點(diǎn)】 1．了解幾何概型的定義及其特點(diǎn)． 2．了解幾何概型與古典概型的區(qū)別． 3．會用幾何概型的概率計(jì)算公式求幾何概型的概率． 【填要點(diǎn)、記疑點(diǎn)】 1．幾何概型的定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 2．幾何概型的特點(diǎn) (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)． (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 3．幾何概型的概率公式 P(A)＝ . 【探要點(diǎn)、究所然】 [情境導(dǎo)學(xué)]　在現(xiàn)實(shí)生活中，常常會遇到試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是無窮多的情況，例如：一個(gè)正方形方格內(nèi)有一內(nèi)切圓，往這個(gè)方格中投一個(gè)石子，求石子落在圓內(nèi)的概率，由于石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)不能用古典概型來計(jì)算事件發(fā)生的概率．對此，我們必須學(xué)習(xí)新的方法來解決這類問題． 探究點(diǎn)一　幾何概型的概念 思考1　計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些方法？ 答　(1)通過做試驗(yàn)或計(jì)算機(jī)模擬，用頻率估計(jì)概率；(2)利用古典概型的概率公式計(jì)算． 思考2　某班公交車到終點(diǎn)站的時(shí)間可能是11：30～12：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點(diǎn)上．這兩個(gè)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，還是無限個(gè)？若沒有人為因素，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？ 答　出現(xiàn)的結(jié)果是無限個(gè)；每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的． 思考3　下圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝．你認(rèn)為甲獲勝的概率分別是多少？ 答　以轉(zhuǎn)盤(1)為游戲工具時(shí)，甲獲勝的概率為；以轉(zhuǎn)盤(2)為游戲工具時(shí)，甲獲勝的概率為. 思考4　上述每個(gè)扇形區(qū)域?qū)?yīng)的圓弧的長度(或扇形的面積)和它所在位置都是可以變化的，從結(jié)論來看，甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的哪個(gè)因素有關(guān)？哪個(gè)因素?zé)o關(guān)？ 答　與扇形的弧長(或面積)有關(guān)，與扇形區(qū)域所在的位置無關(guān)． 思考5　玩轉(zhuǎn)盤游戲中所求的概率就是幾何概型，你能給幾何概型下個(gè)定義嗎？參照古典概型的特征，幾何概型有哪兩個(gè)基本特征？ 答　如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型；幾何概型的基本特征：(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等． 思考6　古典概型和幾何概型有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？ 答　相同點(diǎn)：兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的； 不同點(diǎn)：古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有無限多個(gè). 例1　判斷下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概型是古典概型，還是幾何概型． (1)拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率； (2)思考3中，求甲獲勝的概率． 解　(1)拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有66＝36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型； (2)游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型． 反思與感悟　判斷一個(gè)概率是古典概型還是幾何概型的步驟：(1)判斷一次試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率是否相等，若不相等，那么這個(gè)概率既不是古典概型也不是幾何概型；(2)如果一次試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等，再判斷試驗(yàn)結(jié)果的有限性，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果有有限個(gè)時(shí)，這個(gè)概率是古典概型；當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果有無限個(gè)時(shí)，這個(gè)概率是幾何概型． 跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列試驗(yàn)是否為幾何概型，并說明理由： (1)某月某日，某個(gè)市區(qū)降雨的概率． (2)設(shè)A為圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接，求弦長超過半徑的概率． 解　(1)不是幾何概型，因?yàn)樗痪哂械瓤赡苄裕?2)是幾何概型，因?yàn)樗哂袩o限性與等可能性． 探究點(diǎn)二　幾何概型的概率公式 問題　對于具有幾何意義的隨機(jī)事件，或可以化歸為幾何問題的隨機(jī)事件，一般都有幾何概型的特性，那么，對于屬于幾何概型的試驗(yàn)，如何求某一事件的概率？有沒有求幾何概型的概率公式呢？ 思考1　有一根長度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段的長度都不小于1 m的概率是多少？你是怎樣計(jì)算的？ 答　從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件，剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn)． 如上圖，記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件A發(fā)生．由于中間一段的長度等于繩長的， 于是事件A發(fā)生的概率P(A)＝. 思考2　射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”．奧運(yùn)會射箭比賽的靶面直徑是122 cm，黃心直徑是12.2 cm，運(yùn)動員在距離靶面70 m外射箭．假設(shè)射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)，那么如何計(jì)算射中黃心的概率？ 答　如右圖，由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為π1222 cm2的大圓內(nèi)， 若要射中黃心，則中靶點(diǎn)落在面積為π12.22 cm2的圓內(nèi)， 所以P＝＝0.01. 思考3　在裝有5升純凈水的容器中放入一個(gè)病毒，現(xiàn)從中隨機(jī)取出1升水，那么這1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎樣計(jì)算的？ 答　概率為，由于病毒在5升水中的哪個(gè)位置的可能性都有，1升水中含有病毒的概率為1升水的體積除以5升水的體積． 思考4　根據(jù)上述3個(gè)思考中求概率的方法，你能歸納出求幾何概型中事件A發(fā)生的概率的計(jì)算公式嗎？ 答　P(A)＝ . 例2　某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求乘客候車時(shí)間不超過6分鐘的概率． 解　如下圖所示，設(shè)上輛車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下輛車于時(shí)刻T2到達(dá)，則線段T1T2的長度為10，設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn)，且TT2的長為6，記“等車時(shí)間不超過6分鐘”為事件A，則事件A發(fā)生即當(dāng)點(diǎn)t落在線段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6.所以P(A)＝＝＝. 故乘客候車時(shí)間不超過6分鐘的概率為. 反思與感悟　數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．利用圖解題的關(guān)鍵：首先用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的幾何區(qū)域，然后根據(jù)構(gòu)成這兩個(gè)區(qū)域的幾何長度(面積或體積)，用幾何概型概率公式求出事件A的概率． 跟蹤訓(xùn)練2　某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率． 解　記“等待的時(shí)間小于10分鐘”為事件A，打開收音機(jī)的時(shí)刻位于[50,60]時(shí)間段內(nèi)則事件A發(fā)生． 由幾何概型的概率公式求得P(A)＝＝， 即“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過10分鐘”的概率為. 探究點(diǎn)三　幾何概型的應(yīng)用 例3　在Rt△ABC中，∠A＝30，過直角頂點(diǎn)C作射線CM交線段AB于M，求使|AM|>|AC|的概率． 解　 設(shè)事件D為“作射線CM，使|AM|>|AC|”． 在AB上取點(diǎn)C′使|AC′|＝|AC|， 因?yàn)椤鰽CC′是等腰三角形， 所以∠ACC′＝＝75， μA＝90－75＝15，μΩ＝90， 所以P(D)＝＝. 反思與感悟　幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測度”，如本例以角度為“測度”．因?yàn)樯渚€CM落在∠ACB內(nèi)的任意位置是等可能的．若以長度為“測度”，就是錯(cuò)誤的，因?yàn)镸在AB上的落點(diǎn)不是等可能的． 跟蹤訓(xùn)練3　在△ABC中，∠B＝60，∠C＝45，高AD＝，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率． 解　∵∠B＝60，∠C＝45，∴∠BAC＝75， 在Rt△ADB中，AD＝，∠B＝60， ∴BD＝＝1，∠BAD＝30. 記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生． 由幾何概型的概率公式得P(N)＝＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【當(dāng)堂測、查疑缺】 1．下列關(guān)于幾何概型的說法錯(cuò)誤的是 (　　) A．幾何概型也是古典概型中的一種 B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與位置、形狀無關(guān) C．幾何概型中每一個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性 D．幾何概型在一次試驗(yàn)中能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個(gè) 答案　A 解析　幾何概型與古典概型是兩種不同的概型． 2．面積為S的△ABC，D是BC的中點(diǎn)，向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在△ABD內(nèi)的概率為 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)點(diǎn)落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝＝. 3．ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為 (　　) A. B．1－ C. D．1－ 答案　B 解析　若以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，則圓與長方形的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)滿足到點(diǎn)O的距離小于或等于1， 故所求事件的概率為P(A)＝＝1－. 4．在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則sin 的值介于－與之間的概率為________． 答案　 解析　∵－1≤x≤1，∴－≤≤. 由－≤sin ≤，得－≤≤， 即－≤x≤1. 故所求事件的概率為＝. 【呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律】 1．幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型． 2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目． 3．注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別． 4．理解如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為 P(A)＝