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2019-2020年高考數(shù)學大一輪總復習 第5篇 第3節(jié) 等比數(shù)列課時訓練 理 新人教A版 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋k(k為常數(shù))，那么下述結論正確的是(　　) A．k為任意實數(shù)時，{an}是等比數(shù)列 B．k＝－1時，{an}是等比數(shù)列 C．k＝0時，{an}是等比數(shù)列 D．{an}不可能是等比數(shù)列 解析：∵Sn＝3n＋k(k為常數(shù))， ∴a1＝S1＝3＋k， n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)＝23n－1， 當k＝－1時，a1＝2滿足an＝23n－1，{an}是等比數(shù)列， 當k＝0時，a1＝3不滿足an＝23n－1，{an}不是等比數(shù)列． 故選B. 答案：B 2．(xx河北石家莊一模)已知等比數(shù)列{an}，且a4＋a8＝2，則a6(a2＋2a6＋a10)的值為(　　) A．16　　　　　　　　 B．4 C．8 D．2 解析：a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a6a6＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝4.故選B. 答案：B 3．(xx黑龍江省哈師大附中第三次模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝1，a11＋a12＝4，則a21＋a22的值為(　　) A．4 B．7 C．8 D．16 解析：設{an}的公比為q，則a11＋a12＝q10(a1＋a2)， 所以4＝q10，a21＋a22＝q20(a1＋a2)＝16. 故選D. 答案：D 4．(xx河北唐山市第三次模擬)若{an}為等比數(shù)列，a2＋a3＝1，a3＋a4＝－2，則a5＋a6＋a7等于(　　) A．－24 B．24 C．－48 D．48 解析：由已知得 解得q＝－2，a1＝， ∴a5＋a6＋a7＝a5(1＋q＋q2)＝a1q4(1＋q＋q2)＝24.故選B. 答案：B 5．(xx鐵嶺模擬)設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公比q＝2，Sk＋2－Sk＝48，則k等于(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：∵Sk＝＝2k－1， ∴Sk＋2＝2k＋2－1， 由Sk＋2－Sk＝48得2k＋2－2k＝48,2k＝16，k＝4. 故選D. 答案：D 6．(xx云南省玉溪一中高三月考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝ax(0＜a＜1)，且f(1)＋f(－1)＝，若數(shù)列{f(n)}(n∈N*)的前n項和等于，則n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：由f(1)＋f(－1)＝，得a＋a－1＝，即a＋＝，解得a＝2(舍去)或a＝，則數(shù)列{f(n)}是首項為a1＝，公比q＝的等比數(shù)列，所以Sn＝＝＝1－n，由1－n＝得n＝，解得n＝5，故選B. 答案：B 二、填空題 7．(xx山東師大附中第三次模擬)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a2a6＝9a4，a2＝1，則a1＝________. 解析：由a2a6＝9a4得a2(a2q4)＝9a2q2，解得q2＝9， 所以q＝3或q＝－3(舍去)， 所以由a2＝a1q， 得a1＝＝. 答案： 8．(xx河南省洛陽市高三檢測)已知等比數(shù)列{an}滿足an＞0，n＝1,2,3，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，則log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝________. 解析：∵a5a2n－5＝a＝…＝22n，且an＞0， ∴an＝2n， ∴l(xiāng)og2a2n－1＝log222n－1＝2n－1， ∴l(xiāng)og2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋2n－1＝＝n2. 答案：n2 9．(xx年高考遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝______. 解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1， ∴2an＋2anq2＝5anq， 即2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或q＝(舍去)． 又∵a＝a10＝a5q5， ∴a5＝q5＝25＝32， ∴32＝a1q4，解得a1＝2， ∴an＝22n－1＝2n，故an＝2n. 答案：2n 10．(xx北京市海淀區(qū)高三上學期期末)數(shù)列{an}滿足a1＝2且對任意的m，n∈N*，都有＝an，則a3＝________；{an}的前n項和Sn＝________. 解析：∵＝an，∴an＋m＝anam， ∴a3＝a1＋2＝a1a2＝a1a1a1＝23＝8； 令m＝1，則有an＋1＝ana1＝2an， ∴數(shù)列{an}是首項為a1＝2，公比q＝2的等比數(shù)列， ∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案：8　2n＋1－2 三、解答題 11．(xx蚌埠質檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，且S4＝. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求證：Sn＜. (1)解：設等比數(shù)列{an}的公比為q. ∵S1,2S2,3S3成等差數(shù)列 ∴4S2＝S1＋3S3 即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)， ∴a2＝3a3， ∴q＝＝. 又S4＝， 即＝， 解得a1＝1， ∴an＝n－1. (2)證明：由(1)得Sn＝ ＝ ＝1－n＜. 12．(xx長春調研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并寫出數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足4b1－14b2－14b3－1…4bn－1＝(an＋1)n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. (1)證明：∵an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＝1， ∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0， ∴＝2， ∴數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． ∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1. (2)解：∵4b1－14b2－14b3－1…4bn－1＝(an＋1)n， ∴4b1＋b2＋b3＋…＋bn－n＝2n2， ∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2， 即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n， ∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n2＋n.