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2019-2020年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 集合與函數(shù)課時(shí)提升訓(xùn)練（11） 1、對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意，都有，且對任意∈D，當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù)． （1）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由； （2）設(shè)是（1）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式對一切R恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和的值． 2、函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．若實(shí)數(shù)滿足不等式的取值范圍是 A．　　　 B． 　　 C．　　　　 D． 3、已知函數(shù)，過點(diǎn)P（0，m）作曲線的切線，斜率恒大于零，則的取值范圍為 7、已知集合,有下列命題 ①若　則；②若則；③若則的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱； ④若則對于任意不等的實(shí)數(shù)，總有成立.其中所有正確命題的序號是 8、對于兩個(gè)正整數(shù)，定義某種運(yùn)算“”如下，當(dāng)都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)， ；當(dāng)中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，，則在此定義下， 集合NN中元素的個(gè)數(shù)是 . 10、對于任意實(shí)數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，例如：，。那么 11、設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí)是單調(diào)函數(shù),則滿足的所有之和為 12、已知函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。 15、若，則定義為曲線的線．已知，，則的線為． 16、在平面直角坐標(biāo)系中,橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，如果函數(shù)的圖象恰好通過個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)為階整點(diǎn)函數(shù).有下列函數(shù)：①； ② ③ ④， 其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是( ) A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④ 20、函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A、 B、 C、 D、 26、已知函數(shù)，則（ ） A．8 B．9 C．11 D．10 28、已知集合={1,2,3}， ={1,2,3,4，5}，定義函數(shù).若點(diǎn)A(1,(1))、B(2,)、C(3,)，ΔABC的外接圓圓心為，且,則滿足條件的函數(shù)有( ) A.15個(gè) B.20個(gè) C. 25個(gè) D. 30個(gè) 29、.已知函數(shù)，在定義域[-2，2]上表示的曲線過原點(diǎn)，且在x＝1處的切線斜率均為．有以下命題：①是奇函數(shù)；②若在內(nèi)遞減，則的最大值為4；③的最大值為，最小值為，則； ④若對，恒成立，則的最大值為2．其中正確命題的個(gè)數(shù)為 A .1個(gè)　　　　 B. 2個(gè)　　　　 C .3個(gè)　　　　 D. 4個(gè) 32、若函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,若在區(qū)間上,有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A． B． C． D． 33、若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中，那么在兩個(gè)函數(shù)值中（ ）A．只有一個(gè)小于1 B．至少有一個(gè)小于1C．都小于1 D．可能都大于1 34、若實(shí)數(shù)滿足，則稱是函數(shù)的一個(gè)次不動點(diǎn)．設(shè)函數(shù)與函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的所有次不動點(diǎn)之和為，則A． B． C． D． 35、方程的解的個(gè)數(shù)為 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 37、(本大題滿分13分)若存在常數(shù)k和b (k、b∈R)，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)x分別滿足：和，則稱直線l：為和的“隔離直線”．已知， (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)求的極值；(2)函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由． 38、.(本小題滿分13分)已知常數(shù)a為正實(shí)數(shù)，曲線Cn：y＝在其上一點(diǎn)Pn(xn，yn)的切線ln總經(jīng)過定點(diǎn)(－a,0)(n∈N*). (1)求證：點(diǎn)列：P1，P2，…，Pn在同一直線上；(2)求證： (n∈N*). 39、（本小題滿分14分）對于函數(shù)和，若存在常數(shù)，對于任意，不等式都成立，則稱直線是函數(shù)的分界線. 已知函數(shù)為自然對數(shù)的底，為常數(shù)）. (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅱ)設(shè)，試探究函數(shù)與函數(shù)是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由. 40、已知函數(shù)和．其中．（1）若函數(shù)與的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)恰好在軸上，求的值；（2）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當(dāng)時(shí)，． 1、解：（1）對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)或時(shí)，恒成立，故是“平底型”函數(shù)． 對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以不存在閉區(qū)間，使當(dāng)時(shí)，恒成立．故不是“平底型”函數(shù)． （Ⅱ）若對一切R恒成立，則．所以．又，則． 則，解得．故實(shí)數(shù)的范圍是． （Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，則存在區(qū)間和常數(shù)， 使得恒成立．所以恒成立，即．解得或． 當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)恒成立．此時(shí)，是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)． 當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． 此時(shí)，不是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)． 綜上分析，m＝1，n＝1為所求． 2、B 3、 7、②③ 8、 10、264 11、xx 12、 15、 16、C 20、D 28、B29、B 32、D33、 分析：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，，故與中至少有1個(gè)小于1． 34、B 35、C 37、(1)解：∵，∴當(dāng)時(shí)， ∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；∴當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)取極小值，其極小值為0． (2)解：由(1)可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)隔離直線的斜率為k，則直線方程為，即 由，可得當(dāng)時(shí)恒成立由得下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．令，則， 當(dāng)時(shí)，．∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減； ∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為0．從而，即恒成立． ∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線． 38、.證法一：(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝(nx)′＝.(1分)Cn：y＝在點(diǎn)Pn(xn，yn)處的切線ln的斜率kn＝f′(xn)＝，∴l(xiāng)n的方程為y－yn＝(x－xn).(2分) ∵ln經(jīng)過點(diǎn)(－a,0)，∴yn＝－(－a－xn)＝(a＋xn).又∵Pn在曲線Cn上，∴yn＝＝(a＋xn)， ∴xn＝a，∴yn＝，∴Pn(a，)總在直線x＝a上，即P1，P2，…，Pn在同一直線x＝a上.(4分) (2)由(1)可知yn＝，∴f(i)＝＝＝.(5分)＝<＝2(－)(i＝1,2，…，n)， .(9分) 設(shè)函數(shù)F(x)＝－ln(x＋1)，x∈[0,1]，有F(0)＝0，∴F′(x)＝－＝＝>0(x∈(0,1))， ∴F(x)在[0,1]上為增函數(shù)，即當(dāng)0F(0)＝0，故當(dāng)0ln(x＋1)恒成立.(11分)取x＝(i＝1,2,3，…，n)，f(i)＝>ln(1＋)＝ln(i＋1)－lni，即f(1)＝>ln2，f(2)＝>ln(1＋)＝ln3－ln2，…，f(n)＝>ln(n＋1)－lnn， 綜上所述有 (n∈N*).(13分) 證法二：(1)設(shè)切線ln的斜率為kn，由切線過點(diǎn)(－a,0)得切線方程為y＝kn(x＋a)，則方程組的解為.(1分)由方程組用代入法消去y化簡得kx2＋(2ak－n)x＋ka2＝0，(*)有Δ＝(2ak－n)2－4kka2＝－4ank＋n2＝0，∴k＝.(2分)代入方程(*)，得x2＋(2a－n)x＋a2＝0，即x2－2ax＋a2＝0， ∴x＝a，即有xn＝a，yn＝＝，即P1，P2，…，Pn在同一直線x＝a上.(4分)(2)先證：0x>ln(x＋1)，以下類似給分. 39、（本小題滿分14分） 解：（1），當(dāng)時(shí)，，即， 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù) 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).…7分 （2）若存在，則恒成立， 令，則，所以，因此：恒成立，即恒成立， 由得到：，現(xiàn)在只要判斷是否恒成立，設(shè)，因?yàn)椋海?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，， 所以，即恒成立，所以函數(shù)與函數(shù)存在“分界線”. 40、解：（1）設(shè)函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），∵點(diǎn)（，0）也在函數(shù)的圖像上，∴．而，∴． （2）由題意可知當(dāng)時(shí)，,∴, 即：當(dāng)時(shí)，即．又,當(dāng)時(shí)，∴<0,∴,綜上可知，．