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2019年高考數學二輪復習 攻略一 函數與方程思想，數形結合思想 一、函數與方程思想 函數與方程思想是中學數學的基本思想，是歷年高考的重點和熱點，主要依據題意，構造恰當的函數，或建立相應的方程來解決問題，它涉及三大題型．高、中、低檔試題都有出現(xiàn)．近幾年來代數壓軸題多為考查應用函數思想解題的能力． 函數與方程思想的應用主要體現(xiàn)在以下幾方面： (1)函數與不等式的相互轉化，對函數y＝f(x)，當y>0時，就化為不等式f(x)>0，借助于函數的圖象和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式． (2)數列的通項與前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列問題十分重要． (3)解析幾何中的許多問題．需要通過解二元方程組才能解決．這都涉及二次方程與二次函數的有關理論． (4)立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決，建立空間直角坐標系后，立體幾何與函數的關系更加密切． 1．運用函數與方程思想解決函數、方程、不等式問題 此類問題是多元問題中的常見題型，通常有兩種處理思路：一是分離變量構造函數，將方程有解轉化為求函數的值域；二是換元，將問題轉化為二次方程，進而構造函數加以解決． 【例1】　(xx福建高考)已知函數f(x)＝ex－ax(a為常數)的圖象與y軸交于點A，曲線y＝f(x)在點A處的切線斜率為－1. (1)求a的值及函數f(x)的極值； (2)證明：當x＞0時，x2＜ex； (3)證明：對任意給定的正數c，總存在x0，使得當x∈(x0，＋∞)時，恒有x＜cex. 【解】　(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 當x＜ln 2時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減； 當x＞ln 2時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增． 所以當x＝ln 2時，f(x)有極小值， 且極小值為f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)無極大值． (2)令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x. 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g′(x)＞0. 所以g(x)在R上單調遞增，又g(0)＝1＞0， 所以當x＞0時，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜ex. (3)對任意給定的正數c，取x0＝， 由(2)知，當x＞0時，x2＜ex. 所以當x＞x0時，ex＞x2＞x，即x＜cex. 因此，對任意給定的正數c，總存在x0，當x∈(x0，＋∞)時，恒有x＜cex. 2．運用函數與方程思想解決數列問題 數列問題函數(方程)化法與形式結構函數(方程)化法類似，但要注意數列問題中n的取值范圍為正整數，涉及的函數具有離散性特點，其一般解題步驟是： 第一步：分析數列式子的結構特征． 第二步：根據結構特征構造“特征”函數(方程)，轉化問題形式． 第三步：研究函數性質，結合解決問題的需要研究函數(方程)的相關性質，主要涉及函數單調性與最值、值域問題的研究． 第四步：回歸問題．結合對函數(方程)相關性質的研究，回歸問題． 【例2】　已知Sn＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，設f(n)＝S2n＋1－Sn＋1，試確定實數m的取值范圍，使得對于一切大于1的正整數n，不等式f(n)>[logm(m－1)]2－[log(m－1)m]2恒成立． 【解】　由f(n)＝S2n＋1－Sn＋1，得f(n)＝＋＋…＋， ∴f(n＋1)＝＋＋…＋. ∴f(n＋1)－f(n)＝＋－ ＝＋>0. ∴f(n)>f(n－1)>…>f(3)>f(2)(n∈N*，n≥2)． ∴f(n)min＝f(2)＝＋＝. 要使對于一切大于1的正整數n，原不等式恒成立，只需不等式>[logm(m－1)]2－[log(m－1)m]2成立． 設y＝[logm(m－1)]2，則y>0. 于是解得0且m≠2. ∴實數m的取值范圍為∪(2，＋∞)． 3．運用函數與方程思想解決幾何問題在立體幾何和解析幾何中有許多問題需要運用到方程或建立函數表達式的方法加以解決．特別是在解析幾何中涉及到范圍或最值問題時可用如下思路去完成： 第一步：聯(lián)立方程． 第二步：求解判別式Δ. 第三步：代換．利用題設條件和圓錐曲線的幾何性質，得到所求目標參數和判別式不等式中的參數的一個等量關系，將其代換． 第四步：下結論．將上述等量代換式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目標參數的取值范圍． 第五步：回顧反思．在研究直線與圓錐曲線的位置關系問題時，無論題目中有沒有涉及求參數的取值范圍，都不能忽視了判別式對某些量的制約，這是求解這類問題的關鍵環(huán)節(jié)． 【例3】　(xx四川高考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形． (Ⅰ)求橢圓C的標準方程； (Ⅱ)設F為橢圓C的左焦點，T為直線x＝－3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q. (ⅰ)證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標原點)； (ⅱ)當最小時，求點T的坐標． (Ⅰ)【解】　由已知可得 解得a2＝6，b2＝2， 所以橢圓C的標準方程是＋＝1. (Ⅱ)(ⅰ)【證明】　由(Ⅰ)可得，F(xiàn)的坐標是(－2,0)，設T點的坐標為(－3，m)， 則直線TF的斜率kTF＝＝－m. 當m≠0時，直線PQ的斜率kPQ＝，直線PQ的方程是x＝my－2. 當m＝0時，直線PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式． 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立， 得 消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0， 其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. 所以y1＋y2＝，y1y2＝， x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝. 所以PQ的中點M的坐標為， 所以直線OM的斜率kOM＝－. 又直線OT的斜率kOT＝－，所以點M在直線OT上， 因此OT平分線段PQ. (ⅱ)【解】　由(ⅰ)可得， |TF|＝， |PQ|＝ ＝ ＝ ＝ 所以＝ ＝≥＝. 當且僅當m2＋1＝，即m＝1時，等號成立，此時取得最小值． 所以當最小時，T點的坐標是(－3,1)或(－3，－1)． 二、數形結合思想 數形結合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來：研究方程根的情況，討論函數的值域(最值)及求變量的取值范圍等．對這類內容的選擇題、填空題，數形結合特別有效．從今年的高考題來看，數形結合的重點是研究“以形助數”，但“以數定形”在今后的高考中將會有所加強，應引起重視，復習中應提高用數形結合思想解題的意識，畫圖不能太草，要善于用特殊數或特殊點來精確確定圖形間的位置關系． 1．應用數形結合的思想應注意以下數與形的轉化 (1)集合的運算及韋恩圖； (2)函數及其圖象； (3)數列通項及求和公式的函數特征及函數圖象； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲線； (5)對于研究距離、角或面積的問題，直接從幾何圖形入手進行求解即可； (6)對于研究函數、方程或不等式(最值)的問題，可通過函數的圖象求解(函數的零點、頂點是關鍵點)，做好知識的遷移與綜合運用． 2．運用數形結合思想解決討論方程內解或圖象的交點問題 用函數的圖象討論方程(特別是含參數的指數、對數、根式、三角函數等復雜方程)的解的個數是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數式看作是兩個熟悉函數的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉化為兩個熟悉的函數)，然后在同一坐標系中作出兩個函數的圖象，圖象的交點個數即為方程解的個數． 【例4】　(xx天津高考)已知函數f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍為________． 【解】　原問題等價于方程f(x)＝a|x－1|恰有4個互異的實數根 解法一：分別畫出函數y＝f(x)與y＝a|x－1|的圖象 (1)由x2＋3x＝a(x－1)得， x2＋(3－a)x＋a＝0， Δ＝(3－a)2－4a， 由Δ＝0得a＝9或a＝1(舍)， 此時a>9， (2)由－x2－3x＝a(1－x)， 得x2＋(3－a)x＋a＝0， 由Δ＝0得a＝1或a＝9(舍)， 結合圖象知09，∴a∈(0,1)∪(9，＋∞)． 解法二：分離參數法 a＝ ＝， 由平移和對稱知 畫出函數y＝ 的圖象， 由圖知a∈(0,1)∪(9，＋∞)． 【答案】　(0,1)∪(9，＋∞) 3．運用數形結合思想解決有關最后問題 “形”可以使某些抽象問題具體化，而‘數”可以使思維精確化，應用數形結合在某些求最值問題中，可以收到意想不到的效果． (1)把代數式進行幾何轉化，轉化為具有直觀幾何意義構圖形，例如①看作直線的斜率，轉化為平面直角坐標系內兩點(x1，y1)和(x2，y2)的連線的斜率，特別適用于一個定點和一個動點(動點在一個區(qū)域內)的形式：②或(a－m)2＋(b－n)2：看作是兩點(a，b)和(m，n)間的距離或距離的平方． (2)其他具有幾何意義的概念都可以利用相關的幾何圖形直觀進行分析判斷，例如：①向量的問題，可以考慮用向量的圖形大小與方向及向量運算的幾何意義構造圖形直觀解題；②復數與復平面內的點的一一對應關系，可以把復數的有關運算轉化為圖形． 【例5】　(1)已知實數x，y滿足不等式組 ①求函數z＝的值域； ②求w＝的最值． (2)用min{a，b，c}表示a，b，c三個數中的最小值．設f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，則f(x)的最大值為(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 【解析】　(1)①由解析幾何知識可知，所給的不等式組表示圓x2＋y2＝4的右半圓域(含邊界)， z＝可改寫為y＋3＝z(x＋1)，把z看作參數，則此方程表示過定點P(－1，－3)，斜率為z的直線系． 所求問題的幾何意義是：求過半圓域x2＋y2≤4(x≥0)內或邊界上任一點與點P(－1，－3)的直線斜率的最大、最小值． 由圖顯見，過點P和點A(0,2)的直線斜率最大，zmax＝＝5. 過點P向半圓作切線，切線的斜率最?。? 設切點為B(a，b)，則過B點的切線方程為ax＋by＝4. 又B在半圓周上，P在切線上，則有 又a>0，解得，因此zmin＝. 綜上可知函數的值域為. ②所求問題的幾何意義是：求半圓域x2＋y2≤4(x≥0)內或邊界上任一點到P(－1，－3)的距離的最大值與最小值，由數形結合可知wmax＝|PO|＋r＝＋2，wmin＝|PC|＝＝， 即最大值為＋2，最小值為. (2)f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的圖象如圖．令x＋2＝10－x，解得x＝4.當x＝4時，f(x)取最大值，f(4)＝4＋2＝6. 故選C. 【答案】　C 4．運用數形結合思想解決解析幾何中的問題 在數形結合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數問題進行幾何分析(或僅對幾何問題進行代數分析)在許多時候是很難行得通的． 例如，在解析幾何中，我們主要是運用代數的方法來研究幾何問題，但是在許多時候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復雜的問題簡單化． 【例6】　已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值． 【解】　根據題意，畫出圖形如下圖， 當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方無窮遠處運動時，Rt△PAC的面積SRt△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大； 當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置， 即CP垂直于直線3x＋4y＋8＝0時，S四邊形PACB應有唯一的最小值， 此時|PC|＝＝3， 從而|PA|＝＝2. ∴(S四邊形PACB)min＝2|PA||AC|＝2.