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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 8.6 空間向量及其運算高效作業(yè) 理 新人教A版 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在下列四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．設(shè)三棱錐O－ABC中，＝a，＝b，＝c，G是△ABC的重心，則＝(　　) A．a(chǎn)＋b－c B．a(chǎn)＋b＋c C.(a＋b＋c) D.(a＋b＋c) 解析：如圖，連接AG并延長交BC于點D. 則D是BC的中點，連接OD， 則＝＋ ＝a＋ ＝a＋(－) ＝a＋(b＋c－a) ＝a＋b＋c ＝(a＋b＋c)． 答案：D 2．如圖所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析：＝＋＝(－)＋＝－a＋b＋c.故選A. 答案：A 3．有4個命題： ①若p＝xa＋yb，則p與a、b共面；②若p與a、b共面，則p＝xa＋yb；③若＝x＋y，則P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，則＝x＋y. 其中真命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①正確，②中若a，b共線，p與a不共線，則p＝xa＋yb就不成立，③正確，④中若M，A，B共線，點P不在此直線上，則＝x＋y不正確．故選B. 答案：B 4．已知空間四邊形ABCD中，G為CD的中點，則＋(＋)等于(　　) A. B. C. D. 解析：依題意有＋(＋)＝＋＝. 答案：A 5．已知直線l的方向向量為l，直線m的方向向量為m，若l＝αb＋βc(α，β∈R)，m∥a，a⊥b，a⊥c且a≠0，則直線m與直線l(　　) A．共線 B．相交 C．垂直 D．不共面 解析：由m∥a且a≠0，可得：m＝ta(t∈R)，所以ml＝m(αb＋βc)＝αmb＋βmc＝αtab＋βtac＝0，故m與l垂直，即直線m與直線l垂直． 答案：C 6．在空間四邊形ABCD中，下列各式正確的是(　　) A.＋＋＝0 B.＋＝ C.＝＋ D．以上都不對 解析：如圖，設(shè)a＝，b＝，c＝，則＋＋＝(b－a)(－c)＋(c－a)b＋(－a)(c－b)＝－bc＋ac＋cb－ab－ac＋ab＝0. 答案：A 二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上) 7．在四面體O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝________.(用a，b，c表示) 解析：由題意得＝(＋)＝[＋(＋)]＝[a＋(b＋c)]＝a＋b＋c. 答案：a＋b＋c 8．(xx溫州一模)如圖，在空間四邊形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，對角線AC，BD的中點分別是E，F(xiàn)，則＝________. 解析：設(shè)BC的中點為G，連結(jié)EG，F(xiàn)G， 則＝＋＝＋＝－(5a＋6b－8c)－(a－2c)＝－3a－3b＋5c. 答案：－3a－3b＋5c 9．(xx上海調(diào)研)已知空間四邊形ABCD的四條邊和對角線長都為a，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則四個數(shù)量積：①2；②2；③2；④2中，結(jié)果為a2的式子的序號是________． 解析：2＝2||||cos120＝2aacos120＝－a2； 2＝2||||cos60＝2aacos60＝a2.； 2＝2||||＝2acos180＝－a2； 2＝2||||cos120＝2acos120＝－. 綜上，結(jié)果為a2的式子的序號②. 答案：② 10．(xx衡水一模)已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面CC1D1D中的中心是F，若＝＋m＋n，則m＝________，n＝________. 解析：如圖， ∵＝＋ ＝＋(＋) ＝＋(＋) ＝＋＋， ∴m＝n＝. 答案：　 三、解答題(本大題共3小題，共40分，11、12題各13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟) 11．(xx岳陽二模)已知空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E、F分別為邊CD、AD的中點，化簡表達式＋＋. 解：因為G為△BCD的重心， 所以||＝||， ∴＝，又＝， 求三角形法則可知， ＋＝＋＝， ＋＝， 從而＋＋＝. 12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90，D、E分別為AB、BB′的中點． (1)求證：CE⊥A′D； (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值． 解：(1)證明：設(shè)＝a，＝b，＝c， 根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且ab＝bc＝ca＝0， ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴＝－c2＋b2＝0， ∴⊥，即CE⊥A′D. (2)＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|. ＝(－a＋c)＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 13．已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，試用向量法證明AD⊥BC. 證明：證法一：＝(＋)(－) ＝－－2－ ＝(－－) ＝＝0. 即AD⊥BC. 證法二：選取一組基底． 設(shè)＝a，＝b，＝c. ∵AB⊥CD，∴a(c－b)＝0， 即ac＝ba. 同理：ab＝bc，∴cc＝bc. ∴c(b－a)＝0. ∴＝0，即AD⊥BC.