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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(xx中山模擬)物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題,特別是菜價(jià),我國某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià),提出四種綠色運(yùn)輸方案.據(jù)預(yù)測(cè),這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測(cè)的運(yùn)輸任務(wù)Q0,各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,在這四種方案中,運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是(　　) 【解析】選B.由題知運(yùn)輸效率即,即相當(dāng)于圖象上的點(diǎn)(t,Q)與原點(diǎn)連線的斜率,即連線斜率逐步提高.由題知選項(xiàng)A,效率不變,選項(xiàng)C逐步減小,選項(xiàng)D先減小,再增大,選項(xiàng)B為逐步提高,故選B. 2.(xx嘉興模擬)某汽車運(yùn)輸公司,購買了一批豪華大客車投入客運(yùn),據(jù)市場分析,每輛客車營運(yùn)總利潤y(萬元)與營運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系如圖所示(近似拋物線的一段),則每輛客車營運(yùn)多少年使其營運(yùn)年平均利潤最大(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】選C.求得:y=-(x-6)2+11, 所以有最大值2,此時(shí)x=5. 3.牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏溫度的不同而不同,假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)y=kax,若牛奶在0℃的冰箱中,保鮮時(shí)間約為100 h,在5℃的冰箱中,保鮮時(shí)間約為80 h,那么在10℃時(shí)保鮮時(shí)間約為(　　) A.49 h B.56 h C.64 h D.72 h 【解析】選C.由得k=100,a5=,所以當(dāng)10℃時(shí),保鮮時(shí)間為100a10=100()2=64(h),故選C. 4.(xx天津模擬)國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下:年收入在280萬元及以下的稅率為p%,超過280萬元的部分按(p+2)%征稅,有一公司的實(shí)際繳稅比例為(p+0.25)%,則該公司的年收入是(　　) A.560萬元 B.420萬元 C.350萬元 D.320萬元 【思路點(diǎn)撥】設(shè)年收入為x,構(gòu)建分段函數(shù)模型求解. 【解析】選D.設(shè)該公司的年收入為x,納稅額為y, 則由題意,得 y= 依題意有, =(p+0.25)%,解之得x=320(萬元). 【加固訓(xùn)練】(xx張家界模擬)由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展,計(jì)算機(jī)的成本不斷降低,若每隔5年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低,現(xiàn)在價(jià)格為8 100元的計(jì)算機(jī)經(jīng)過15年價(jià)格應(yīng)降為(　　) A. 2 000元 B. 2 400元 C. 2 800元 D. 3 000元 【解析】選B.設(shè)經(jīng)過3個(gè)5年,產(chǎn)品價(jià)格為y元,則y=8 100(1-)3=2 400. 5.圖形M(如圖所示)是由底為1,高為1的等腰三角形及高為2和3的兩個(gè)矩形所構(gòu)成,函數(shù)S=S(a)(a≥0)是圖形M介于平行線y=0及y=a之間的那一部分面積,則函數(shù)S(a)的圖象大致是(　　) 【解析】選C.依題意,當(dāng)0≤a≤1時(shí), 當(dāng)13時(shí),S(a)= +2+3=,于是 S(a)= 由解析式可知選C. 【一題多解】本題還可以采用如下方法 選C.直線y=a在[0,1]上平移時(shí)S(a)的變化量越來越小,故可排除選項(xiàng)A,B.而直線y=a在[1,2]上平移時(shí)S(a)的變化量比在[2,3]上的變化量大,故可排除選項(xiàng)D. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.(xx漳州模擬)有一批材料可以建成200 m長的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地,中間用同樣材料隔成三個(gè)面積相等的小矩形(如圖所示),則圍成場地的最大面積為　　　　　(圍墻厚度不計(jì)). 【解題提示】根據(jù)題目中條件,建立二次函數(shù)模型,采用配方法求最高值即可. 【解析】設(shè)矩形場地的寬度為x m,則矩形場地的長為(200-4x)m,面積S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故當(dāng)x=25時(shí),S取得最大值2 500,即圍成場地的最大面積為2 500 m2. 答案:2 500 m2 7.某單位“五一”期間組團(tuán)包機(jī)去上海旅游,其中旅行社的包機(jī)費(fèi)為30 000元,旅游團(tuán)中的每人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅游團(tuán)中的人數(shù)在30或30以下,飛機(jī)票每張收費(fèi)1 800元.若旅游團(tuán)的人數(shù)多于30人,則給以優(yōu)惠,每多1人,機(jī)票費(fèi)每張減少20元,但旅游團(tuán)的人數(shù)最多有75人,那么旅游團(tuán)的人數(shù)為　　　人時(shí),旅行社獲得的利潤最大. 【解析】設(shè)旅游團(tuán)的人數(shù)為x人,飛機(jī)票為y元,利潤為Q元,依題意, ①當(dāng)1≤x≤30時(shí),y =1 800元,此時(shí)利潤Q=yx-30 000=1 800x-30 000,此時(shí)最大值是當(dāng)x=30時(shí),Qmax=1 80030-30 000=24 000(元); ②當(dāng)300且a≠1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)p大于等于80時(shí)聽課效果最佳. (1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式. (2)老師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳?請(qǐng)說明理由. 【解析】(1)t∈(0,14]時(shí), 設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將(14,81)代入得c=-,t∈(0,14]時(shí),p=f(t)= -(t-12)2+82;t∈[14,40]時(shí),將(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=, 所以p=f(t)= (2)t∈(0,14]時(shí),由-(t-12)2+82≥80, 解得12-2≤t≤12+2, 所以t∈[12-2,14], t∈(14,40]時(shí),由log(t-5)+83≥80,解得52). (2)因?yàn)閤>2,所以225x+=10 800, 所以y=225x+ -360≥10 440.當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí),等號(hào)成立. 即當(dāng)x=24 m時(shí),修建圍墻的總費(fèi)用最小,最小總費(fèi)用是10 440元. (20分鐘　40分) 1.(5分)已知一容器中有A,B兩種菌,且在任何時(shí)刻A,B兩種菌的個(gè)數(shù)乘積為定值1010,為了簡單起見,科學(xué)家用PA=lg(nA)來記錄A菌個(gè)數(shù)的資料,其中nA為A菌的個(gè)數(shù),則下列判斷中正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①PA≥1; ②若今天的PA值比昨天的PA值增加1,則今天的A菌個(gè)數(shù)比昨天的A菌個(gè)數(shù)多了10個(gè); ③假設(shè)科學(xué)家將B菌個(gè)數(shù)控制為5萬個(gè),則此時(shí)52)米, 由得|AM|=, 所以S矩形AMPN=|AN||AM|=. (1)由S矩形AMPN>32,得>32, 又x>2,于是3x2-32x+64>0, 解得28, 即AN長的取值范圍為(2, )∪(8,+∞). (2)S矩形AMPN= ==24,當(dāng)且僅當(dāng)3(x-2)=, 即x=4時(shí),y=取得最小值24. 所以當(dāng)AN=4米時(shí),矩形AMPN的面積最小,最小為24平方米. 5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為f(x)=,x∈[0,24],其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù),且a∈[0,1],若用每天f(x)的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù),并記作M(a). (1)令t=,x∈[0,24],求t的取值范圍. (2)省政府規(guī)定,每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2,試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)? 【解析】(1)當(dāng)x=0時(shí),t=0; 當(dāng)00,即-2n2+40n-72>0,解得2

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