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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 數(shù)列的求和練習(xí) 1、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=a（a≠3），，設(shè)，n∈N*． （1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； （2）若an+1≥an，n∈N*，求實數(shù)a的最小值； （3）當(dāng)a=4時，給出一個新數(shù)列{en}，其中，設(shè)這個新數(shù)列的前n項和為Cn，若Cn可以寫成tp（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，則稱Cn為“指數(shù)型和”．問{Cn}中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由． 2、已知數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上。 （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的實數(shù)的范圍 3、設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an＋1＝2Sn＋2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，且bn是的等比中項，求bn的前n項和Tn. 4、已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*），定義：使乘積a1?a2?…?aK為正整數(shù)的k（k∈N*）叫做“簡易數(shù)”． （1）若k=3時，則a1?a2?a3=　　； （2）求在[3，xx]內(nèi)所有“簡易數(shù)”的和為　　． 5、已知數(shù)列{an}的前項n和為Sn，點（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)f（x）=3x2﹣2x的圖象上． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設(shè)bn=是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得2Tn≤λ﹣xx對所有n∈N*都成立的實數(shù)λ的范圍． 6、設(shè)Sn是數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項和，已知a1=4，an+1=Sn+3n，設(shè)bn=Sn﹣3n． （Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式； （Ⅱ）令cn=2log2bn﹣+2，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn． 7、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項a1=1，公差d≠0．若ab1，ab2，ab3，…，abn，…成等比數(shù)列，且b1=1，b2=2，b3=5． （1）求數(shù)列{bn}的通項公式bn； （2）設(shè)cn=log3（2bn﹣1），求和Tn=c1c2﹣c2c3+c3c4﹣c4c5+…+c2n﹣1c2n﹣c2nc2n+1． 8、已知等差數(shù)列的前n項的和為 ，且 . （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和。 9、已知函數(shù)的圖象過點，且點在函數(shù)的圖象上． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）令，若數(shù)列的前項和為，求證：． 10、已知數(shù)列中， (1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列； (2)若是數(shù)列的前n項和，求滿足的所有正整數(shù)n. 11、已知等差數(shù)列｛｝的各項均為正數(shù)， =1，且成等比數(shù)列． 　（I）求的通項公式， 　　（II）設(shè)，求數(shù)列｛｝的前n項和Tn. 12、已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且有 , 點在直線上. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）試比較與的大小,并加以證明. 13、已知數(shù)列的前項和為，，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列的前項和為，=+++……+．試比較與的大?。? 14、已知數(shù)列的前項和為，且，其中 （1）求數(shù)列的通項公式; （2）若，數(shù)列的前項和為，求證： 15、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=4，Sn=nan+2﹣（n≥2，n∈N*） （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：b1=4且bn+1=bn2﹣（n﹣1）bn﹣2（n∈N*），求證：bn＞an（n≥2，n∈N*）； （3）求證：（1+）（1+）…（1+）＜． 16、已知等比數(shù)列{an}的公比為q，a1=，其前n項和為Sn（n∈N*），且S2，S4，S3成等差數(shù)列． （I）求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）設(shè)bn=Sn﹣（n∈N*），求bn的最大值與最小值． 17、已知數(shù)列{an}滿足a1=，an=2﹣（n≥2），Sn是數(shù)列{bn}的前n項和，且有=1+bn． （1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列； （2）求數(shù)列{bn}的通項公式； （3）設(shè)cn=，記數(shù)列{cn}的前n項和Tn，求證：Tn＜1． 18、已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，，， （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）若令，求證：. 19、已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，滿足， （1）求的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的子數(shù)列的前項和； （3）在（2）的條件下，若，求數(shù)列的前n項和。 20、已知數(shù)列滿足（），，記數(shù)列的前項和為，. （I）令，求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項公式； （II）證明： （i）對任意正整數(shù)，； （ii）數(shù)列從第2項開始是遞增數(shù)列. 答 案 1、（1）依題意，可求得Sn+1=2Sn+3n，當(dāng)a≠3時，=2，利用等比數(shù)列的定義即可證得數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； （2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，從而可求得an=，由an+1≥an，可求得a≥﹣9，從而可求得實數(shù)a的最小值； （3）由（1）當(dāng)a=4時，bn=2n﹣1，當(dāng)n≥2時，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可證得對正整數(shù)n都有Cn=2n+1，依題意由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數(shù)．分①當(dāng)p為偶數(shù)時與②當(dāng)p為奇數(shù)討論即可得到答案． 解：（1）an+1=Sn+3nSn+1=2Sn+3n，bn=Sn﹣3n，n∈N*， 當(dāng)a≠3時，===2， 所以{bn}為等比數(shù)列．b1=S1﹣3=a﹣3，bn=（a﹣3）2n﹣1． （2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1， an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*， ∴an=， ∵an+1≥an， ∴a≥﹣9，又a≠3， 所以a的最小值為﹣9； （3）由（1）當(dāng)a=4時，bn=2n﹣1， 當(dāng)n≥2時，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3， 所以對正整數(shù)n都有Cn=2n+1． 由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數(shù)． ①當(dāng)p為偶數(shù)時，tp﹣1=（+1）（﹣1）=2n， 因為tp+1和tp﹣1都是大于1的正整數(shù)， 所以存在正整數(shù)g，h，使得tp+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2， 所以2h=2且2g﹣h﹣1=1h=1，g=2，相應(yīng)的n=3，即有C3=32，C3為“指數(shù)型和”； ②當(dāng)p為奇數(shù)時，tp﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1），由于1+t+t2+…+tp﹣1是p個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又t﹣1為正偶數(shù)， 所以（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1）=2n不成立，此時沒有“指數(shù)型和”． 2、（1）點在函數(shù)的圖象上， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時，符合 （2） ＜ 又對所有都成立 故 3、(1) 當(dāng)n≥2時，由an＋1＝2Sn＋2得an＝2Sn－1＋2，兩式相減得，an＋1－an＝2an， 4、（1）當(dāng)k=3時，則a1?a2?a3=1?log23?log34=log24=2； （2）∵an=logn+1（n+2）， ∴由a1?a2…ak為整數(shù)得1?log23?log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）為整數(shù)， 設(shè)log2（k+2）=m，則k+2=2m， ∴k=2m﹣2， ∵211=2048＞xx， ∴區(qū)間[3，xx]內(nèi)所有和諧數(shù)為：23﹣2，24﹣2，…，210﹣2， 其和M=23﹣2+24﹣2+…+210﹣2 =23（1+2+22+…+27）﹣28 =﹣16 =2024． 故答案為：2，2024． 5、解：（1）∵點（n，S）在函數(shù)f（x）=3x2﹣2x的圖象上，∴ 當(dāng)n=1時，a1=S1=3﹣2=1…（2分） 當(dāng)n≥2時，=6n﹣5…（5分） 當(dāng)n=1時，6n﹣1=1符合∴…（6分） （2）∵， ∴=…（10分） ∴2Tn＜1 又∵2Tn≤λ﹣xx對所有n∈N*都成立∴1≤λ﹣xx 故λ≥xx…（12分） 6、（Ⅰ）由an+1=Sn+3n可得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n），從而得到bn+1=2bn，于是有：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，可求得b1=1，從而可求得數(shù)列{bn}的通項公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣，設(shè)M=1++++…++…①則M=++++…++…②，利用錯位相減法即可求得數(shù)列{cn}的前n項和Tn． 證明：（Ⅰ）∵an+1=Sn+3n， ∴Sn+1﹣Sn=Sn+3n 即Sn+1=2Sn+3n， ∴Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n） ∴bn+1=2bn…（4分） 又b1=S1﹣3=a1﹣3=1， ∴{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列， 故數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n﹣1…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣…（8分） 設(shè)M=1++++…++…① 則M=++++…++…② ①﹣②得： M=1+++++…+﹣=2﹣﹣， ∴M=4﹣﹣=4﹣， ∴Tn=n（n+1）+﹣4…（12分） 7、（1）由已知得（1+d）2=1（1+4d），從而d=2，q=3，由此能求出． （2）由cn=log3（2bn﹣1）=n﹣1，Tn=c2（c1﹣c3）+c4（c3﹣c5）+c6（c5﹣c7）+…+c2n（c2n﹣1﹣c2n+1）=﹣2（c2+c4+…+c2n），能求出Tn． 解：（1）∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項a1=1，公差d≠0． ab1，ab2，ab3，…，abn，…成等比數(shù)列，且b1=1，b2=2，b3=5． ∴，∴（1+d）2=1（1+4d）， 1+2d+d2=1+4d， 解得d=2或d=0（舍）， ．∴q=3…（3分） ， ∴…（6分） （2）cn=log3（2bn﹣1）=n﹣1…（7分）， Tn=c2（c1﹣c3）+c4（c3﹣c5）+c6（c5﹣c7）+…+c2n（c2n﹣1﹣c2n+1） =﹣2（c2+c4+…+c2n） =﹣2[1+3+5+…+（2n﹣1）] =﹣2n2…（12分） 8、 9、（1）由條件函數(shù)的圖象過點，知：，所以：， 過點，所以：，則： （2） 所以： 10、解析：（Ⅰ）設(shè)，因為 ==, 所以數(shù)列是以即為首項，以為公比的等比數(shù)列. ……… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，即， 由，得， 所以， …………………….10分 顯然當(dāng)時，單調(diào)遞減， 又當(dāng)時，＞0，當(dāng)時，＜0，所以當(dāng)時，＜0； ， 同理，當(dāng)且僅當(dāng)時，＞0， 綜上，滿足的所有正整數(shù)為1和2．…………………………………… 13分 【思路點撥】（Ⅰ）設(shè)，則=﹣，，由此能證明數(shù)列是以即為首項，以為公比的等比數(shù)列．（Ⅱ）由bn=a2n﹣=﹣?（）n﹣1=﹣?（）n，得+，從而a2n﹣1+a2n=﹣2?（）n﹣6n+9，由此能求出S2n．從而能求出滿足Sn＞0的所有正整數(shù)n． 11、(Ⅰ) ;（Ⅱ）. 【知識點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)．D3 D4 解析：(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列公差為，由題意知， 因為成等比數(shù)列，所以， ，即 所以 ……… 4分 所以. ……… 6分 （Ⅱ）， ……… 8分 所以. ……… 12分 【思路點撥】（Ⅰ）由題意知，從而可得公差，所以； （Ⅱ）將列項為，求和即得Tn的值． 12、（1）；（2）見解析 【知識點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．D1 D4 解析：(1)當(dāng)時, ， 解得： …………………………………1分 當(dāng)時, ， 則有 ，即： ∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列. ……………………………………3分 ∴. …………………………………………………………………4分 (2) ∵點在直線上 ∴ . …………………………………………………5分 因為①,所以②. 由①-②得,, 所以. ……………8分 因為 所以確定與的大小關(guān)系等價于比較與 的大小. ………………9分 當(dāng)時，; 當(dāng)時, ； 當(dāng)時, ; 當(dāng)時, 可猜想當(dāng)時, ……………………………………………………10分 證明如下:當(dāng)時, . ………………………………………13分 綜上所述, 當(dāng)時, ； 當(dāng)時, ; 當(dāng)時, . ………………………………………………14分 13、（1）（2）見解析 【知識點】遞推公式；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的和；D1 D3 D4 解析：（1）由， ……………1分 由，其中 于是 …………………3分 整理得， …………………4分 所以數(shù)列是首項及公比均為的等比數(shù)列. …………………5分 …………………6分 （2）由（1）得 于是 ………8分 …………………9分 又，問題轉(zhuǎn)化為比較與的大小，即與的大小 設(shè) …………………10分 當(dāng)時，，∴當(dāng)時單調(diào)遞增， ∴當(dāng)時，，而， ∴當(dāng)時， …………………12分 經(jīng)檢驗=1，2，3時，仍有 …………………13分 因此，對任意正整數(shù)，都有即 …………………14分 【思路點撥】（1）根據(jù)已知條件中的遞推關(guān)系式先得到，再由由，整理即可；（2）借助于已知條件把問題問題轉(zhuǎn)化為比較與的大小，即與的大小，進而證明即可。 14、（1） ；（2） 見解析【知識點】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式．D1 D4 解析：（1）令，得，即，由已知，得………1分 把式子中的用替代，得到 由可得 即，即 即得：，……………………4分 所以：即 ………………6分 又，所以又，……………7分 （2）, ……………………11分 【思路點撥】（1）求出數(shù)列的首項，通過，得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，利用累加法求數(shù)列{an}的通項公式；（2）化簡bn=+，為，然后求解數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，即可證明：Tn＜2n+． 15、（1）運用下標(biāo)變?yōu)閚﹣1相減的方法，結(jié)合數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，即可求得通項； （2）運用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意兩個解題步驟，特別是假設(shè)的運用； （3）設(shè)f（x）=ln（1+x）﹣x，通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得ln（1+x）＜x，又n≥2時，＜=，結(jié)合裂項相消和累加法，及對數(shù)的運算性質(zhì)即可得證． （1）解：Sn=nan+2﹣（n≥2，n∈N*）① Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1+2﹣（n≥3，n∈N*）② ①﹣②得an=nan﹣（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣1）， 即有an﹣an﹣1=1（n≥3，n∈N*） ①中令n=2，a1+a2=2a2+2﹣1，a2=3， 綜上an=； （2）證明：①當(dāng)n=2時，b2=b12﹣2=14＞3=a2，不等式成立； ②假設(shè)n=k（k≥2）時，不等式bk＞k+1（k≥2時ak=k+1）， 那么當(dāng)n=k+1時， bk+1=bk2﹣（k﹣1）bk﹣2=bk（bk﹣k+1）﹣2 ＞bk（k+1﹣k+1）﹣2=2bk﹣2＞2（k+1）﹣2（由歸設(shè)）=2k≥k+2 ∴n=k+1命題真； 綜合①②知當(dāng)n≥2時，bn＞an． （3）證明：設(shè)f（x）=ln（1+x）﹣x，f′（x）=﹣1=﹣＜0， f（x）在（0，+∞）遞減，則f（x）＜f（0）=0， 即ln（1+x）＜x，又n≥2時，＜=， 則ln（1+）＜＜=﹣， 即有l(wèi)n（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（﹣）+（﹣）+…+（﹣） =﹣． 則有（1+）（1+）…（1+）＜． 16、解：（Ⅰ）由題意，q≠1，則 ∵S2，S4，S3成等差數(shù)列， ∴2S4=S2+S3， 又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列， ∴4（a1+a1q+a1q2+a1q3）=（a1+a1q）+（a1+a1q+a1q2）， 整理得：2q2﹣q﹣1=0， 解得：q=1或q=﹣， ∴an=； （Ⅱ）Sn=1﹣， n為奇數(shù)時，Sn=1+，隨著n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1=， 因為y=x﹣在（0，+∞）上為增函數(shù)，bn=Sn﹣（n∈N*）， 所以0＜bn≤； n為偶數(shù)時，Sn=1﹣，隨著n的增大而增大，所以S2≤Sn＜1， 因為y=x﹣在（0，+∞）上為增函數(shù)，bn=Sn﹣（n∈N*）， 所以﹣≤bn＜0； 所以﹣≤bn＜0或0＜bn≤， 所以bn的最大值為，最小值為﹣． 17、（1）證明：∵， ∴， ∴， 即：∴． ∴數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列． （2）當(dāng)n≥2時，， ， 即：； ∴， 當(dāng)n=1時，b1=S1=2，∴． （3）證明：由（1）知： ∴， ∴， ∴． 18、（1）∵，∴。 ∴ 。 ∴ 。 ∴數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。 （2）由（1）知，公差為1，所以所以，故 19、（1） （2） （3） 20、（I）由得 ， 所以且，故是以為首項為公差的等差數(shù)列. 所以　　　　　　 　　　………４分 （II） （i）由（I）知，，要證，只需證. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時，，結(jié)論成立. 　?、诩僭O(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即. 那么，當(dāng)時， ，即結(jié)論成立. 由①②可知，結(jié)論對一切正整數(shù)都成立. …………………９分 （ii）由，則 . …………………11分 令，且，則，因為， 所以在單調(diào)遞增，則，即，. 故數(shù)列是遞增數(shù)列. …………………14分