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2019年高中數(shù)學(xué) 單元測評三 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 新人教A版選修1-2 一、選擇題：本大題共10小題，共50分． 1．“a＝0”是“復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0. 答案：B 2．復(fù)數(shù)2＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a2－b2的值為(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．－1 解析：2＝＝－i＝a＋bi. 所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1. 答案：D 3．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t等于(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：z1＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i，因?yàn)閦1是實(shí)數(shù)，所以4t－3＝0，所以t＝. 答案：A 4．如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋2i，－2＋i,0，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　) A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i 解析：＝＋＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋3i. 答案：D 5．設(shè)z∈C，若z2為純虛數(shù)，則z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)落在(　　) A．實(shí)軸上 B．虛軸上 C．直線y＝x(x≠0)上 D．以上三項(xiàng)都不對 解析：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi. ∵z2為純虛數(shù)，∴ ∴y＝x(x≠0)． 答案：C 6．已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，滿足|z－1|＝x，那么z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)(x，y)的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析：∵z＝x＋yi(x，y∈R，x≥)，滿足|z－1|＝x， ∴(x－1)2＋y2＝x2，故y2＝2x－1. 答案：D 7．當(dāng)z＝－時(shí)，z100＋z50＋1的值等于(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 解析：∵z2＝2＝＝－i. ∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1 ＝i50－i25＋1＝－i. 答案：D 8．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為A，將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，再向左平移一個(gè)單位，向下平移一個(gè)單位，得到B點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)A恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則復(fù)數(shù)z為(　　) A．－1 B．1 C．i D．－i 解析：設(shè)z＝a＋bi，B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，則z1＝(a＋bi)i－1－i＝(－b－1)＋(a－1)i， ∵點(diǎn)B與點(diǎn)A恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱， ∴∴∴z＝1. 答案：B 9．如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 解析：|z＋i|＋|z－i|＝2，則點(diǎn)Z在以(0,1)和(0，－1)為端點(diǎn)的線段上，|z＋1＋i|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(－1，－1)的距離．由圖知最小值為1. 答案：A 10．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．若z＋z＞0，則z＞－z B．|z1－z2|＝ C．z＋z＝0?z1＝z2＝0 D．|z|＝|1|2 解析：A錯(cuò)，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i； B錯(cuò)，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i； C錯(cuò)，反例：z1＝1，z2＝i； D正確，z1＝a＋bi， 則|z|＝a2＋b2，||2＝a2＋b2，故|z|＝||2. 答案：D 第Ⅱ卷(非選擇題，共70分) 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 11．在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z＝x－i所對應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________． 解析：∵z對應(yīng)的點(diǎn)Z都在單位圓內(nèi)， ∴|OZ|＜1，即 ＜1. ∴x2＋＜1，∴x2＜，∴－＜x＜. 答案：－＜x＜ 12．定義運(yùn)算＝ad－bc，則對復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)符合條件＝3＋2i的復(fù)數(shù)z等于__________． 解析：由定義運(yùn)算，得＝2zi－z＝3＋2i， 則z＝＝＝－i. 答案：－i 13．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，且＋＝，則x＋y＝__________. 解析：＋＝?＋＝?x(1＋i)＋y(1＋2i)＝(1＋3i)?解得所以x＋y＝4. 答案：4 14．已知復(fù)數(shù)z0＝3＋2i，復(fù)數(shù)z滿足zz0＝3z＋z0，則復(fù)數(shù)z＝__________. 解析：z＝＝＝＝1－i. 答案：1－i 三、解答題：本大題共4小題，滿分50分． 15．(12分)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)i＝1＋i，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1z2為實(shí)數(shù)，求z2. 解：由(z1－2)i＝1＋i得， z1－2＝＝(1＋i)(－i)＝1－i， ∴z1＝3－i.(6分) 依題意可設(shè)z2＝x＋2i(x∈R)，則z1z2＝(3－i)(x＋2i)＝3x＋2＋(6－x)i為實(shí)數(shù)， ∴x＝6，∴z2＝6＋2i.(12分) 16．(12分)設(shè)z1是方程x2－6x＋25＝0的一個(gè)根． (1)求z1； (2)設(shè)z2＝a＋i(其中i為虛數(shù)單位，a∈R)，若z2的共軛復(fù)數(shù)滿足|z|＝125，求z. 解：(1)因?yàn)棣ぃ?2－425＝－64，所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i.(4分) (2)由|(34i)3(a－i)|＝625，得125＝125，a＝2.(8分) 當(dāng)a＝－2時(shí)，z＝(－2＋i)2＝3－4i；(10分) 當(dāng)a＝2時(shí)，z＝(2＋i)2＝3＋4i.(12分) 17．(12分)設(shè)w＝－＋i， (1)求證：1＋w＋w2＝0； (2)計(jì)算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)． 解：(1)證明：∵w＝－＋i， ∴w2＝(－＋i)2 ＝＋2(－)(i)＋(i)2 ＝－i－＝－－i. ∴1＋w＋w2＝1－＋i－－i＝0. (6分) (2)由1＋w＋w2＝0知，(w－1)(1＋w＋w2)＝0， ∴w3－1＝0，∴w3＝1. ∴(1＋w－w2)(1－w＋w2)＝(－2w2)(－2w) ＝4w3＝4.(12分) 18．(14分)設(shè)z1，z2∈C， (1)求證：|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2； (2)設(shè)|z1|＝3，|z2|＝5，|z1＋z2|＝6，求|z1－z2|. 解：(1)證明：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 則|z1＋z2|2＋|z1－z2|2 ＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2 ＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2 ＝2a2＋2c2＋2b2＋2d2 ＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)， 又2|z1|2＋2|z2|2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)， 故|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2. (7分) (2)∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2， ∴62＋|z1－z2|2＝232＋252. ∴|z1－z2|2＝68－36＝32. ∴|z1－z2|＝4.(14分)