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2019-2020年高考《考試大綱》調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（第七模擬）含解析 一、填空題：共14題 1．若集合A={x|-1≤x≤1},B={x|y=},則A∪B=　　　　. 【答案】{x|x≥-1} 【解析】本題主要考查集合的概念、并運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.先求出集合B,再進(jìn)行并運(yùn)算即可.由y=得x≥0,∴B={x|x≥0},故A∪B={x|x≥-1}. 2．已知復(fù)數(shù)z1=3+i,z2=1-2i,則的模為　　　　. 【答案】 【解析】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模,考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.解題的關(guān)鍵是熟悉復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則,即分子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù).　 由題意得,,故||=||=. 3．在競(jìng)選2022年冬奧會(huì)的舉辦國(guó)時(shí),若投票人中有女性8位,男性12位,現(xiàn)用分層抽樣的方法從這20位投票人中抽取5位,則抽到的女性人數(shù)為　　　　. 【答案】2 【解析】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的分層抽樣知識(shí),考查考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決相關(guān)實(shí)際問題的能力.求解時(shí),根據(jù)分層抽樣的知識(shí)列式計(jì)算.設(shè)抽到的女性人數(shù)為x,由題意,結(jié)合分層抽樣可得,,∴x=2. 4．執(zhí)行如圖所示的流程圖,若輸出的結(jié)果為1,則輸入的實(shí)數(shù)x的值為　　　　. 【答案】2或-2 【解析】本題考查選擇結(jié)構(gòu)的流程圖、簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí),考查考生的運(yùn)算求解能力.解決此類問題的關(guān)鍵是明確流程圖的算法功能及其結(jié)構(gòu)類型.根據(jù)流程圖可知,若x>1,則由log2x=1,得x=2;若x≤1,則由x3+9=1,得x=-2.綜上,實(shí)數(shù)x的值為2或-2. 【備注】流程圖是算法的直觀表示,是算法轉(zhuǎn)化為程序的媒介,它的趣味性、實(shí)用性倍受高考的青睞,且流程圖與其他知識(shí)之間有較強(qiáng)的聯(lián)系,例如與統(tǒng)計(jì)、數(shù)列、函數(shù)(分段函數(shù)為主)等之間都有一定的聯(lián)系,因此算法知識(shí)與其他知識(shí)的結(jié)合將是高考的熱點(diǎn),也恰恰體現(xiàn)了算法的普遍性、工具性. 5．已知f(x)=,則f(-2)=　　　　. 【答案】37 【解析】本題主要考查分段函數(shù)求值,考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和基本的計(jì)算能力.由分段函數(shù)的解析式可知,f(-2)=f(1)=f(4)=f(7)=47+9=37. 6．已知在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=3,a5+a6=12,則a9+a10=　　　　. 【答案】48 【解析】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)等,考查考生的運(yùn)算求解能力.可用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組求解;也可根據(jù)a1+a2,a5+a6,a9+a10成等比數(shù)列求解. 通解　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由已知得a1+a1q=3且a1q4+a1q5=12,兩式相除得q4=4,故a9+a10=a1q8+a1q9=q4(a1q4+a1q5)=412=48. 優(yōu)解　根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)知,a1+a2,a5+a6,a9+a10也成等比數(shù)列,故=(a1+a2)(a9+a10),即122=3(a9+a10),所以a9+a10=48. 7．xx年高考填報(bào)志愿時(shí),甲、乙兩人約定從2所“985”重點(diǎn)大學(xué)、4所一般重點(diǎn)大學(xué)中選1所填報(bào),且每人只報(bào)1所,則他們報(bào)同一類重點(diǎn)大學(xué)的概率為　　　　. 【答案】 【解析】本題是古典概型問題,解答本題的關(guān)鍵是用列舉法得到基本事件總數(shù)及滿足條件的基本事件數(shù).設(shè)2所“985” 重點(diǎn)大學(xué)分別用1,2表示,4所一般重點(diǎn)大學(xué)分別用a,b,c,d表示, 則甲、乙兩人填報(bào)志愿的所有情況有:11,12,1a,1b,1c,1d,21,22,2a,2b,2c,2d,a1,a2,aa,ab,ac,ad,b1,b2,ba,bb,bc,bd,c1,c2,ca,cb,cc,cd,d1,d2,da,db,dc,dd,共36種.記“甲、乙兩人報(bào)同一類重點(diǎn)大學(xué)”為事件A,則事件A所包含的情況有:11,12,21,22,aa,ab,ac,ad,ba,bb,bc,bd,ca,cb,cc,cd,da,db,dc,dd,共20種.故他們報(bào)同一類重點(diǎn)大學(xué)的概率P(A)=. 8．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)cos(ωx-)-(0<ω<1)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的解析式為　　　　　　　　. 【答案】f(x)=cos(x-) 【解析】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、簡(jiǎn)單的三角恒等變換等知識(shí),考查考生的運(yùn)算求解能力.先利用三角恒等變換對(duì)f(x)進(jìn)行化簡(jiǎn),再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得函數(shù)f(x)的解析式.f(x)=sin(ωx+)cos(ωx-)-=sin(ωx+-)cos(ωx-)-=cos2(ωx-)-cos(2ωx-),由題意知,當(dāng)x=時(shí),f(x)取最值,即ω-=kπ,k∈Z, 解得ω=,k∈Z.又ω∈(0,1),所以ω=,所以f(x)=cos(x-). 9．設(shè)過點(diǎn)M(4,4)的拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,則F到雙曲線-y2=1的漸近線的距離為　　　　. 【答案】 【解析】本題是解析幾何的綜合問題,考查了雙曲線的漸近線、拋物線的焦點(diǎn)、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí),考查考生的運(yùn)算求解能力.由題意,將M(4,4)代入拋物線y2=2px(p>0)可得,p=2,故拋物線的方程為y2=4x,所以其焦點(diǎn)為F(1,0),又雙曲線-y2=1的漸近線方程為x2y=0,故F到雙曲線-y2=1的漸近線的距離d=. 10．四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形,M、N分別是PA、PB的中點(diǎn),則四棱錐D-ABNM與四棱錐P-ABCD的體積之比為　　　　. 【答案】3∶8 【解析】本題主要考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征、體積等知識(shí),意在考查考生的空間想象能力與計(jì)算能力.解此類問題要注意對(duì)應(yīng)元素之間的關(guān)系,體積計(jì)算公式的靈活運(yùn)用. 解法一　連接NA、MB,VD-ABN=VN-ABD=VP-ABCD,VD-MBN=VD-ABN=VP-ABCD,又VD-AMB=VM-ABD=VP-ABCD,所以VD-ABNM=VD-MBN+VD-AMB=VP-ABCD,即VD-ABNM∶VP-ABCD=3∶8. 解法二　VD-ABNM=VD-PAB=VP-DAB=VP-ABCD,則VD-ABNM∶VP-ABCD=3∶8. 11．如圖,在△ABC中,E為AC上一點(diǎn),且=2,P為BE上一點(diǎn),且滿足=m+n(m>0,n>0),則+取得最小值時(shí),向量a=(m,n)的模為　　　　. 【答案】 【解析】本題主要考查向量的線性運(yùn)算、基本不等式的應(yīng)用等知識(shí).求解時(shí),首先根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出,然后結(jié)合已知條件得到m,n之間的關(guān)系式,再利用基本不等式求出取最小值時(shí)m,n的值,最后求出向量a的模.因?yàn)锽,P,E三點(diǎn)共線,所以=λ,所以-=λ(-)=λ(-),所以=(1-λ)+λ,故m=1-λ,n=λ,m+2n=1,所以+=(+)(m+2n)=1+4++≥5+22=9,當(dāng)且僅當(dāng),即m=n時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)m=n=,|a|=. 12．已知不等式x2+x-()n≥0(n∈N*)在x∈(-∞,λ]上恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是　　　　. 【答案】(-∞,-1] 【解析】本題主要考查不等式恒成立問題,考查考生的運(yùn)算求解能力、分析問題和解決問題的能力.由x2+x-()n≥0恒成立得x2+x≥()n,即x2+x≥(恒成立.因?yàn)?,所以x2+x2≥在(-∞,λ]上恒成立,令y=x2+x=(x+)2-,則二次函數(shù)的圖象開口向上,且對(duì)稱軸為x=-.當(dāng)λ≤-時(shí),函數(shù)在(-∞,λ]上單調(diào)遞減,要使不等式恒成立,則有λ2+λ≥,得λ≤-1;當(dāng)λ>-時(shí),函數(shù)的最小值在x=-處取得,此時(shí)y=-=-,不滿足題意.綜上,實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-∞,-1]. 13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線y=x+2與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-a)2+y2=2上運(yùn)動(dòng).若∠MPN恒為銳角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　. 【答案】(-∞,-4)∪(-1,+∞) 【解析】這是一道兩個(gè)重要C級(jí)考點(diǎn)的綜合題,主要考查直線的方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí),意在考查考生轉(zhuǎn)化與化歸的能力及運(yùn)算求解能力.解決此題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為圓C1與圓C2外離,且直線MN與圓C2無公共點(diǎn)或>0恒成立,且點(diǎn)P不在直線y=x+2上. 解法一　由題意知,M(-2,0),N(0,2),則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1),以MN為直徑的圓記為C1,則C1(-1,1),圓C1的半徑r1=,圓(x-a)2+y2=2記為C2,則C2(a,0),圓C2的半徑r2=.由題意知,圓C1與圓C2外離,且直線MN與圓C2無公共點(diǎn).圓C1與圓C2外離?|C1C2|>r1+r2?>r1+r2=2,解得a>-1或a<--1.直線MN與圓C2無公共點(diǎn)?,解得a>0或a<-4.所以a<-4或a>-1. 解法二　由題意知,M(-2,0),N(0,2),設(shè)P(a+cosθ,sinθ),則=(a+2+cosθ,sinθ),=(a+cosθ,sinθ-2).由題意知>0恒成立,且點(diǎn)P不在直線y=x+2上. >0?(a+2+cosθ)(a+cosθ)+sinθ(sinθ-2)>0?(a2+2a+2)+2[(a+1)cosθ-sinθ]>0?(a+1)2+1+2cos(θ+φ)>0,其中tanφ=(a+1≠0),必須(a+1)2+1-2>0,所以>2,解得a>-1或a<--1.點(diǎn)P不在直線y=x+2上?a+cosθ-sinθ+2≠0?關(guān)于θ的方程sin(θ-)=無解?||>1?a>0或a<-4.所以a<-4或a>-1. 14．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,函數(shù)y=f(x)log2是奇函數(shù),f(2)=0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)<,則不等式>0的解集為　　　　　　. 【答案】(-∞,-2)∪(0,2) 【解析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.先判斷函數(shù)y=的奇偶性,然后利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,再利用單調(diào)性解不等式即可. 易得函數(shù)y=log2是奇函數(shù),又函數(shù)y=f(x)log2是奇函數(shù),故函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),所以函數(shù)y=是奇函數(shù).由f(x)<可得,當(dāng)x>0時(shí),<0,即當(dāng)x>0時(shí),()<0,故函數(shù)y=在(0,+∞)上是減函數(shù),在(-∞,0)上是減函數(shù),其大致圖象如圖所示,結(jié)合圖象易得,不等式>0的解集為(-∞,-2)∪(0,2). 二、解答題：共12題 15．在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sin(A+)=2cos A. (1)若cosC=,求證:2a-3c=0; (2)若B∈(0,),且cos(A-B)=,求sin B. 【答案】由sin(A+)=2cosA,得sinA+cosA=2cosA, 即sinA=cosA,因?yàn)锳∈(0,π),且cosA≠0,所以tanA=,所以A=. (1)因?yàn)閟in2C+cos2C=1,cosC=,C∈(0,π),所以sinC=, 由正弦定理,得,即2a-3c=0. (2)因?yàn)锽∈(0,),所以A-B=-B∈(0,), 因?yàn)閟in2(A-B)+cos2(A-B)=1,cos(A-B)=,所以sin(A-B)=,所以sinB=sin[A-(A-B)]=sinAcos(A-B)-cosAsin(A-B)=. 【解析】本題考查三角恒等變換、三角求值和解三角形.(1)由三角恒等變換可求出角A,由正弦定理可得出邊之間的關(guān)系;(2)由B=A-(A-B),根據(jù)兩角差的正弦公式可求出sinB的值. 【備注】江蘇高考第15題側(cè)重考查三角恒等變換,而兩角和(差)的正弦、余弦及正切這一C級(jí)考點(diǎn)更是近5年的必考知識(shí)點(diǎn),將三角恒等變換放在三角形中進(jìn)行考查(此時(shí)要注意角的取值范圍的限制),或者將平面向量、三角恒等變換結(jié)合起來是當(dāng)前高考的主要命題方向,但問題的核心仍然是三角恒等變換.在解決這類試題時(shí),只要抓住問題的本質(zhì),靈活地選用三角公式即可求解. 16．如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中點(diǎn),D為CC1的中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn),且CE=EB. 求證:(1)DE∥平面A1MC1; (2)平面A1MC1⊥平面B1MC1. 【答案】(1)取BC的中點(diǎn)N,連接MN,C1N. ∵M(jìn),N分別是AB,CB的中點(diǎn),∴MN∥AC∥A1C1, ∴A1,M,N,C1四點(diǎn)共面,且平面A1MNC1∩平面BCC1B1=C1N.又CE=EB,∴點(diǎn)E為CN的中點(diǎn).∵點(diǎn)D為CC1的中點(diǎn),∴ED∥C1N.∵ED?平面A1MNC1,C1N?平面A1MNC1, ∴DE∥平面A1MNC1,即DE∥平面A1MC1. (2)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AC. ∵AC⊥AB,AA1∩AB=A,∴AC⊥平面ABB1A1.又B1M?平面ABB1A1,∴B1M⊥AC.∵AC∥A1C1,∴B1M⊥A1C1. ∵AA1⊥AB,∴四邊形ABB1A1是矩形, 又AB=2AA1,M是AB的中點(diǎn),∴B1M⊥A1M. ∵A1C1,A1M?平面A1MC1,A1C1∩A1M=A, ∴B1M⊥平面A1MC1,又B1M?平面B1MC1, ∴平面A1MC1⊥平面B1MC1. 【解析】本題主要考查空間中直線和平面、平面與平面的位置關(guān)系,考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力.(1)利用線面平行的判定定理即可證明;(2)利用面面垂直的判定定理證明. 【備注】新的課程標(biāo)準(zhǔn)較大幅度地降低了幾何論證的要求,所以近幾年立體幾何的高考題以點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題居多,主要考查位置關(guān)系的判定與證明,解題策略主要是轉(zhuǎn)化,立體幾何中的轉(zhuǎn)化主要有平行的轉(zhuǎn)化、垂直的轉(zhuǎn)化,即: 17．某商會(huì)擬在市區(qū)投資新建一座大型冷庫,冷庫的地面設(shè)計(jì)為如圖所示的周長(zhǎng)為300 m的平面區(qū)域,兩頭是半圓形,中間區(qū)域是矩形ABCD,冷庫的高設(shè)計(jì)為地面區(qū)域兩頭半圓形半徑的,冷庫內(nèi)矩形區(qū)域ABCD對(duì)應(yīng)的空間用來冷藏物品. (1)求用來冷藏物品的空間容量關(guān)于AB的長(zhǎng)度的表達(dá)式; (2)為了讓用來冷藏物品的空間容量盡可能大,應(yīng)該如何設(shè)計(jì)AB與BC的長(zhǎng)度?并求出最大空間容量. 【答案】(1)設(shè)中間矩形區(qū)域中AB、BC的長(zhǎng)度分別為x、y,用來冷藏物品的空間容量記為V,則半圓的周長(zhǎng)為, 因?yàn)槔鋷斓牡孛嬖O(shè)計(jì)的周長(zhǎng)為300,所以2x+2=300,即2x+πy=300,所以y=.又冷庫的高設(shè)計(jì)為地面區(qū)域兩頭半圓形半徑的,故高h(yuǎn)=.所以用來冷藏物品的空間容量V=xyh=x,其中x∈(0,150). (2)記f(x)=2x3-600x2+45 000x,其中x∈(0,150),則f(x)=6x2-1 200x+45 000,其中x∈(0,150).令f(x)=0,得x=50,因?yàn)楫?dāng)x∈(0,50)時(shí),f(x)>0,當(dāng)x∈(50,150)時(shí),f(x)<0, 所以當(dāng)x=50時(shí),用來冷藏物品的空間容量最大.即當(dāng)AB、BC的長(zhǎng)度分別設(shè)計(jì)為50 m,m時(shí),用來冷藏物品的空間容量最大,且最大空間容量為m3. 【解析】本題是一道實(shí)際應(yīng)用題,主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、利用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力以及對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)、解釋和處理的評(píng)價(jià)能力.(1)認(rèn)真閱讀、理解題意,知道用來冷藏物品的空間容量即為長(zhǎng)方體的體積,即可列出函數(shù)表達(dá)式;(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值. 【備注】實(shí)際應(yīng)用問題一般會(huì)“源于生活,應(yīng)用于生活”,經(jīng)常涉及路程、物價(jià)、產(chǎn)量、費(fèi)用等問題,也可涉及長(zhǎng)度、角度、面積、體積等幾何量,解答這類問題一般要列出有關(guān)的函數(shù)解析式,然后用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識(shí)解決.近幾年高考應(yīng)用題的立意、實(shí)際背景和情境、設(shè)問角度和方式都很新穎靈活,堅(jiān)持“貼近課本、貼近生活、貼近實(shí)際”的原則,要求考生一方面要牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法,另一方面要善于把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,實(shí)現(xiàn)由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化. 18．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),圓x2+y2=與橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形相切. (1)求橢圓C的方程; (2)證明:+為定值,并求出此定值. 【答案】(1)因?yàn)镕(1,0)為橢圓的右焦點(diǎn),所以a2=b2+1,①設(shè)A,B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn),則直線AB的方程為+=1,即bx+ay-ab=0. 所以圓x2+y2=的圓心(0,0)到直線AB的距離的平方d2=,化簡(jiǎn)得2(a2+b2)=3a2b2,②由①②得a2=2,b2=1,所以橢圓C的方程為+y2=1. (2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),x1=x2=1,則+=1,解得, 所以|MF|=|NF|=,則+=2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l:y=k(x-1),聯(lián)立, 化簡(jiǎn)得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 解得x=,不妨取x1=,x2=, 所以x1>1,x2<1, 而|MF|= =|x1-1|=, 同理|NF|=|x2-1|=, 則+(+) =(+) = =2.所以+為定值2. 【解析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線、橢圓、圓的位置關(guān)系等知識(shí),考查了考生的運(yùn)算能力,分析問題、解決問題的能力.(1)列出關(guān)于a,b的方程組求解即可;(2)要分類討論,綜合確定+為定值. 【備注】在高考中,讓考生通過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算求出橢圓的方程、圓的方程、直線的方程,探討直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等問題是解析幾何部分的常規(guī)考點(diǎn).解析幾何研究的內(nèi)容就是給定曲線C,如何求出它所對(duì)應(yīng)的方程,并根據(jù)方程研究曲線的幾何性質(zhì),其特征是以數(shù)解形,坐標(biāo)法是幾何問題代數(shù)化的重要方法. 19．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn-1=2an-1-32n-1+4(n≥2,n∈N*),設(shè)bn=. (1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)Tn為數(shù)列{Sn-4}的前n項(xiàng)和,求Tn; (3)是否存在正整數(shù)m,n,使得bn+bn+1=bm成立?若存在,求出所有符合條件的正整數(shù)m,n;若不存在,請(qǐng)說明理由. 【答案】(1)由題意有Sn=2an-32n+4,n∈N*,∵a1=S1=2a1-2,∴a1=2.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,故an=2an-1+32n-1, 于是+.又bn=,b1==1,則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為b1=1,公差為的等差數(shù)列.∴bn=,∴an=2nbn=2n-1(3n-1). (2)∵Sn-4=22n-1(3n-1)-32n=2n(3n-4)=32nn-2n+2, ∴Tn=3(21+222+…+2nn)-4(2+22+…+2n),記Wn=21+222+…+2nn?、? 則2Wn=221+232+…+2n+1n　②, ①-②得,-Wn=2+22+…+2n-2n+1n=2n+1(1-n)-2,∴Wn=2n+1(n-1)+2. 故Tn=3[2n+1(n-1)+2]-4=2n+1(3n-7)+14. (3)由(1)得bn=,所以要使bn+bn+1=bm,則+, 整理得m-2n=,∵m,n是正整數(shù),故m-2n一定為整數(shù),∴m-2n=不可能成立, 即不存在正整數(shù)m,n,使得bn+bn+1=bm成立. 【解析】本題是數(shù)列的綜合問題,主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式,數(shù)列求和等知識(shí),意在考查考生的運(yùn)算求解能力與解決綜合問題的能力.(1)由Sn-1=2an-1-32n-1+4(n≥2,n∈N*)與Sn=2an-32n+4相減得an=2an-1+32n-1,從而得+,即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,從而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減法和分組求和法求解;(3)由bn+bn+1=bm得m-2n=,與m,n是正整數(shù)矛盾,故不存在. 【備注】遞推是學(xué)好數(shù)列的重要思想,涉及an及Sn的關(guān)系的問題,要用an=Sn-Sn-1(n≥2)消元化歸,如本題由Sn-1=2an-1-32n-1+4(n≥2,n∈N*)推出Sn=2an-32n+4,它其實(shí)就是函數(shù)中的變量代換法,在數(shù)列中一般用n-1,n+1等去代替n,也就是說已知條件中的遞推關(guān)系是關(guān)于n的恒等式,代換就是對(duì)n賦值.數(shù)列以其內(nèi)容的豐富性和探索性、解法的靈活性和多樣性,從多角度檢測(cè)考生思維的廣度和深度,多年來倍受高考的青睞.其中等差數(shù)列、等比數(shù)列是C級(jí)考點(diǎn),為高考必考知識(shí)點(diǎn)之一,函數(shù)思想與數(shù)列的結(jié)合在高考命題中頻頻出現(xiàn),以此提升對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力,所以除了熟練掌握有關(guān)公式與性質(zhì),還需戴上“函數(shù)眼鏡”,善于運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)審視、分析問題. 20．已知a∈R,函數(shù)f(x)=ax-lnx,g(x)=(4-a)lnx+. (1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值; (2)若存在a∈(0,+∞),使得函數(shù)f(x)在(0,e]上的最小值是3(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),試求a的值; (3)試討論函數(shù)y=2f(x)+g(x)的單調(diào)性. 【答案】(1)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)=x-lnx,∴f(x)=1-,且函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),∴當(dāng)01時(shí),f(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增. ∴f(x)的極小值為f(1)=1,無極大值. (2)由已知,存在a∈(0,+∞),使得函數(shù)f(x)=ax-lnx在x∈(0,e]上有最小值3.f(x)=a-,其中a>0, ①當(dāng)0<時(shí),f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,e]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f()=1+lna=3,解得a=e2. ②當(dāng)≥e,即00). ①當(dāng)a≥0時(shí),y=2f(x)+g(x)在(0,)上是減函數(shù),在(,+∞)上是增函數(shù); ②當(dāng)-2==-, ∴異面直線MN與BC所成角的正弦值為. (2)設(shè)平面AMN的法向量為n=(x,y,z), 由n=0,n=0,得,令x=1,得y=-2,z=.∴n=(1,-2,)是平面AMN的一個(gè)法向量.又=(0,0,4)是平面AMB的一個(gè)法向量,且cos=.又二面角N-AM-B為銳角, ∴二面角N-AM-B的余弦值為. 【解析】本題主要考查利用空間向量求解異面直線所成的角、二面角等相關(guān)問題,考查考生的空間想象能力、運(yùn)算求解能力.先找出垂直關(guān)系,建立空間直角坐標(biāo)系,然后用空間向量求解空間角. 【備注】高考第22題中的立體幾何題多以常見且常規(guī)的柱體、錐體為載體,主要考查空間向量在求解空間角中的應(yīng)用,一般兩問都求解空間角,其中二面角必考,異面直線所成的角、線面角交替考;也有可能是題目中的已知條件含有空間角,設(shè)置為一證(空間中平行與垂直的位置關(guān)系)一求(不同于已知條件中的空間角類型)的命題模式.解題時(shí),要充分利用幾何體中已有的垂直關(guān)系建立合適的空間直角坐標(biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題,通過計(jì)算解決相關(guān)的問題. 26．已知函數(shù)f(x)=,若f1(x)=f(x),且fn+1(x)=f(fn(x)),其中n∈N*. (1)求f1(x),f2(x),f3(x); (2)由(1)猜想fn(x)的表達(dá)式,并證明你的猜想正確. 【答案】(1)由題意知,f1(x) =f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=. (2)由(1)猜想fn(x)=.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)n=1時(shí),f1(x)=,故猜想正確.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)猜想正確,即fk(x)=.則當(dāng)n=k+1時(shí),(x)=f(fk(x))=,即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想正確.由①②可知,猜想對(duì)n∈N*都正確. 【解析】本題主要以函數(shù)為載體考查數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí),考查考生的推理論證能力與邏輯思維能力. 【備注】本題是“歸納——猜想——證明”的模式,是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式,解決本題的方法在解決探究性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用,其一般思路是:通過觀察有限個(gè)特例,猜想出一般性的結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.