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2019-2020年七年級(jí)上數(shù)學(xué)上冊(cè) 3.1.1 從算式到方程教案 人教新課標(biāo)版 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 （1）通過(guò)觀察，歸納一元一次方程的概念． （2）根據(jù)方程解的概念，會(huì)估算出簡(jiǎn)單的一元一次方程的解． 2．過(guò)程與方法． 通過(guò)對(duì)多種實(shí)際問(wèn)題的分析，感受方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界有效模型的意義． 3．情感態(tài)度與價(jià)值觀 鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行觀察思考，發(fā)展合作交流的意識(shí)和能力． 重、難點(diǎn)與關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：了解一元一次方程的有關(guān)概念，會(huì)根據(jù)已知條件，設(shè)未知數(shù)，列出簡(jiǎn)單的一元一次方程，并會(huì)估計(jì)方程的解． 2．難點(diǎn)：找出問(wèn)題中的相等關(guān)系，列出一元一次方程以及估計(jì)方程的解． 3．關(guān)鍵：找出能表示實(shí)際問(wèn)題的相等關(guān)系． 教具準(zhǔn)備：投影儀． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)提問(wèn) 在小學(xué)里，我們已學(xué)習(xí)了像2x=50，3x+1=4等簡(jiǎn)單方程，那么什么叫方程呢？什么叫方程的解和解方程呢？ 答：含有未知數(shù)的等式叫方程；能使方程等號(hào)兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解，求方程解的過(guò)程叫解方程． 方程是應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具，把問(wèn)題中未知數(shù)與已知數(shù)的聯(lián)系用等式形式表示出來(lái)．在研究問(wèn)題時(shí)，要分析數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)，列出方程，然后求出未知數(shù)． 怎樣根據(jù)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程？怎樣解方程？這是本章研究的問(wèn)題． 通過(guò)本章中豐富多彩的問(wèn)題，你將進(jìn)一步感受到方程的作用，并學(xué)習(xí)利用一地一次方程解決問(wèn)題的方法． 二、新授 1．怎樣列方程？ 讓學(xué)生觀察章前圖表，根據(jù)圖表中給出的信息，回答以下問(wèn)題． （1）根據(jù)圖中的汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地的時(shí)間表，你知道，汽車從王家莊行駛到青山用了多少時(shí)間？青山到秀水呢？ （2）青山與翠湖、秀水到翠湖的距離分別是多少？ （3）本問(wèn)題要求什么？ （4）你會(huì)用算術(shù)方法解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題呢？不妨試試列算式． （5）如果設(shè)王家莊到翠湖的路程為x（千米），你能列出方程嗎？ 解：（1）汽車從王家莊行駛到青山用了3小時(shí)，青山到秀水用了2小時(shí)． （2）青山與翠湖的距離為50千米，秀水與翠湖的距離為70千米． （3）王家莊到翠湖的距離是多少千米？ （4）分析：要求王家莊到翠湖的距離，只要求出王家莊到青山的距離，而王家莊到青山的時(shí)間為3小時(shí)，所以必需求汽車的速度． 如何求汽車的速度呢？ 這里青山到秀水的時(shí)間為2小時(shí)，路程為（50+70）千米，因此可求的汽車的平均速度為（50+70）2=60（千米／時(shí)） 王家莊到青山的路程為：603=180（千米） 所以王家莊到翠湖的路程為：180+50=230（千米） 列綜合算式為：3+50 （5）分析：先畫出示意圖，示意圖往往有助于分析問(wèn)題． 從上圖中可以用含x的式子表示關(guān)于路程的數(shù)量： 王家莊距青山（x-50）千米，王家莊距秀水（x+70）千米． 從章前圖表中可以得出關(guān)于時(shí)間的數(shù)量： 從王家莊到青山行車3小時(shí)，從王家莊到秀水行車5小時(shí)． 由路程數(shù)量和行車時(shí)間的數(shù)量，可以得到行車速度的表達(dá)式． 汽車從王家莊開(kāi)往青山時(shí)的速度為千米／時(shí)，汽車從王家莊開(kāi)往秀水的速度為千米／時(shí)． 要列出方程，必需找出“相等關(guān)系”，題目中還有哪些相等關(guān)系嗎？ 根據(jù)汽車是勻速行駛的，可知各段路程的車速相等． 于是列出方程： = 以后我們將學(xué)習(xí)如何解這個(gè)方程，求出未知數(shù)x的值，從而得出王家莊到翠湖的路程． 思考：對(duì)于以上的問(wèn)題，你還能列出其他方程嗎？如果能，你依據(jù)的是哪個(gè)相等關(guān)系？ 根據(jù)汽車勻速行駛，可知各段路程的車速相等． 所以還可以列方程： =或= （前者是汽車從王家莊到青山與從青山到秀水，這兩段路程的車速相等，后者是汽車從王家莊到翠湖與從青山到秀水，這兩段路程的車速相等） 比較用算術(shù)方法和列方程方法解應(yīng)用題，用算術(shù)方法解題時(shí)，列出的算式表示用算術(shù)方法解題的計(jì)算過(guò)程，其中只能用已知數(shù)，對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題，列算式比較困難；而方程是根據(jù)問(wèn)題中的等量關(guān)系列出的等式，其中既含有已知數(shù)，又含有用字母表示的未知數(shù)，有了這個(gè)未知數(shù)，問(wèn)題中的已知量與未知量之間的關(guān)系就很容易用含有這個(gè)未知數(shù)的式子表示，再根據(jù)“相等關(guān)系”列出方程． 有了方程后人們解決許多問(wèn)題就更方便了，通過(guò)今后的學(xué)習(xí)，你會(huì)逐步認(rèn)識(shí)：從算式到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步． 列方程時(shí)，要先設(shè)字母表示未知數(shù)，通常用x、y、z等字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問(wèn)題中的相等關(guān)系，寫出含有未知數(shù)的等式即方程． 例1：根據(jù)下列問(wèn)題，設(shè)未知數(shù)并列出方程． （1）用一根長(zhǎng)24cm的鐵絲圍成一個(gè)正方形，正方形的邊長(zhǎng)是多少？ 分析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x（cm），那么周長(zhǎng)為4x（cm），依題意，得4x=24． （2）一臺(tái)計(jì)算機(jī)已使用1700小時(shí)，預(yù)計(jì)每月再使用150小時(shí)，經(jīng)過(guò)多少月這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到規(guī)定的檢修時(shí)間2450小時(shí)？ 分析：設(shè)再經(jīng)過(guò)x月這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到規(guī)定的檢測(cè)時(shí)間，根據(jù)每月再使用150小時(shí)，那么x月共使用150x小時(shí)． 能表示這個(gè)問(wèn)題的相等關(guān)系是什么？ 相等關(guān)系是：已使用的時(shí)間1700小時(shí)＋還可以使用的時(shí)間150x小時(shí)＝規(guī)定的檢測(cè)時(shí)間2450小時(shí)． 從而列出方程：1700+150x=2450． 找出表達(dá)問(wèn)題意義的相等關(guān)系是列出方程的關(guān)鍵． （3）某校女生占全體學(xué)生的52%，比男生多80人，這個(gè)學(xué)校有多少學(xué)生？ 問(wèn)：女生占全體學(xué)生數(shù)的52%，那么男生占全體學(xué)生數(shù)的（1-52%），如果設(shè)這個(gè)學(xué)校有x個(gè)學(xué)生，那么用含x的式子表示女、男學(xué)生數(shù)． 女生有52%x人，男生有（1-52%）x人； 問(wèn)題中的相等關(guān)系是什么？ （女生比男生多80人）即女生人數(shù)-男生人數(shù)=80或女生人數(shù)=男生人數(shù)+80． 列方程：0.52x-（1-0.52）x=80或0.52x=（1-0.52）x+80． 2．一元一次方程的概念． 觀察以上所列出的各方程，有什么特點(diǎn)？每個(gè)方程有幾個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是多少？ 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫做一元一次方程． 例如方程2x-3=3x+1，-3=2y等都是一元一次方程，而x+y=5，x2+3x=2都不是一元一次方程． 以上分析過(guò)程可歸納為： 分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系──設(shè)未知數(shù)x──用含x的式子表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系──找出相等關(guān)系，利用相等關(guān)系列出方程（一元一次方程）． 列方程是解決實(shí)際問(wèn)題的一種重要方法，利用方程可以解出未知數(shù)． 觀察方程4x=24，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=6時(shí)，4x的值是24，這時(shí)方程等號(hào)左右兩邊相等，x=6叫做方程4x=24的解，這就是說(shuō)，方程4x=24中未知數(shù)x的值應(yīng)是6． 從方程1700+150x=2450，你能估算出x的值嗎？ 這里x是正整數(shù)，如果x=1，那么方程左邊=1700+1501=1850≠右邊 所以x≠1． 如果x=2，則方程左邊=1700+1502=xx≠右邊， 所以x≠2． 類似地，我們可以列出下面的表． x的值 1 2 3 4 5 6 … 1700+150x 1850 xx 2150 2300 2450 2600 … 從表中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=5時(shí)，1700+150x的值是2450． 這時(shí)方程1700+150x=2450等號(hào)左右兩邊相等，x=5叫做方程1700+150x=2450的解，這就是說(shuō)，方程1700+150x=2450中未知數(shù)x的值應(yīng)是5． 解方程就是求出使方程中等號(hào)兩邊相等的未知數(shù)的值的過(guò)程，這個(gè)值就是方程的解． 你能從表中發(fā)現(xiàn)方程1700+150x=2600的解嗎？ 當(dāng)x=6時(shí)，1700+150x的值為2600，即x=6時(shí)方程等號(hào)兩邊的值相等，所以這個(gè)方程的解是x=6． 思考：你能估算出方程2（x+1.5x）=24和方程0.52x-（1-0.52）x=80的解嗎？ 以上估算難度較大，第一個(gè)方程，當(dāng)x=4時(shí)，方程左邊=20<24；當(dāng)x=5時(shí)方程左邊=25>24，所以取x=4.7或x=4.8．試一試，結(jié)果當(dāng)x=4.8時(shí)，方程左邊=24=右邊，所以方程的解為x=4.8．第二個(gè)方程的解為x=xx，困難更大了，可以告訴學(xué)生，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了方程的解法后，就很容易求出x的值了． 思考：x=1000和x=xx中哪一個(gè)是方程0.52x-（1-0.52）x=80的解？ 三、鞏固練習(xí) 課本第82頁(yè)練習(xí)． 1．設(shè)沿跑道跑x周，可以跑3000m，根據(jù)相等關(guān)系──x周共長(zhǎng)3000m． 所以列方程：400x=3000，如果x=7，則400x=2800<3000，如果x=8，則400x=3200>3000，如果x=7.5，則400x=4007.5=3000，所以沿跑道跑7周半，可以跑3000m． 2．如果設(shè)買甲種鉛筆x枝，那么買乙種鉛筆（20-x）枝，買甲種鉛筆用去0.3x元，乙種鉛筆用去0.6（20-x）元，相等關(guān)系是： 兩種鉛筆共用了9元錢，由此可列方程． 0.3x+0.6（20-x）=9 3．設(shè)上底長(zhǎng)為xcm，那么下底長(zhǎng)為（x+2）cm， 根據(jù)梯形面積公式，可列方程： =40 四、課堂小結(jié) 方程在小學(xué)里已初步學(xué)過(guò)，對(duì)于方程中的一些概念，如：方程的解和解方程等，要進(jìn)一步弄清楚，今天還學(xué)習(xí)了一元一次方程的定義，“一元”是指方程中只有一個(gè)未知數(shù)，“一次”是指方程中未知數(shù)的指數(shù)是一，這樣的方程才是一元一次方程． 用估算求方程的解，實(shí)際上是檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為方程的解，方法是：把這個(gè)數(shù)分別代入方程的左、右兩邊，看是否相等，若方程只有一邊含有未知數(shù)，而另一邊只有一個(gè)數(shù)，則只需代入只有未知數(shù)的一邊，計(jì)算出結(jié)果，看其是否和另一邊相等． 列方程是本節(jié)課重點(diǎn)，掌握列方程解決實(shí)際問(wèn)題方法步驟： 設(shè)未知數(shù)──用含未知數(shù)的式子表示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系． 找出相等關(guān)系──列出一元一次方程． 其中找相等關(guān)系是關(guān)鍵也是一個(gè)難點(diǎn)，這個(gè)相等關(guān)系要能夠表示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系，也就是題目中給出的條件應(yīng)予充分利用，不能把同一條件重復(fù)利用． 五、作業(yè)布置 1．課本第84頁(yè)至第85頁(yè)習(xí)題3．1第1、2、5、6、9題． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 課后反思：——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————