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2019年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 M單元 推理與證明（含解析） 目錄 M單元　推理與證明 1 M1　合情推理與演繹推理 1 M2　直接證明與間接證明 1 M3 數(shù)學(xué)歸納法 1 M4 單元綜合 1 M1　合情推理與演繹推理 【文重慶一中高二期末xx】2.請仔細(xì)觀察，運(yùn)用合情推理，寫在下面括號里的數(shù)最可能的是 1,1,2,3,5，（ ），13 A．8 B.9 C.10 D.11 【知識點(diǎn)】規(guī)律型中的數(shù)字變化問題. 【答案解析】A解析 ：解：觀察題中所給各數(shù)可知：3=1+2，5=2+3，8=3+5，13=5+8， ∴（ ）中的數(shù)為8． 故選A． 【思路點(diǎn)撥】觀察題中所給各數(shù)可知：從第3個(gè)數(shù)開始起每一個(gè)數(shù)等于前面相鄰的兩數(shù)之和，進(jìn)而即可得出答案． 【理浙江紹興一中高二期末xx】15．已知直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)，定義 ． 當(dāng)平面上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離滿足時(shí)，則的取值范圍是 ▲ ． 【知識點(diǎn)】新定義;數(shù)形結(jié)合的思想;距離公式的簡單應(yīng)用; 進(jìn)行簡單的合情推理． 【答案解析】解析 ：解：由題意可知點(diǎn)M在以A為圓心，r=4為半徑的圓周上，如圖所示： 由“非常距離”的新定義可知： 當(dāng)|x-a|=|y-b|時(shí)，d（M，A）取得最小值，d（M，A）min=； 當(dāng)|x-a|=4，|y-b|=0或|x-a|=0，|y-b|=4時(shí)，d（M，A）取得最大值，d（M，A）max=4， 故d（M，A）的取值范圍為． 故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】由題意可知點(diǎn)M在以A為圓心，r=4為半徑的圓周上，由“非常距離”的新定義，求出d（M，A）的最小值與最大值，即可得出結(jié)論． 【理吉林長春十一中高二期末xx】16.定義在上的函數(shù)滿足：①當(dāng)時(shí)，；②.設(shè)關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)從小到大依次為.若，則_______. （用表示） 【知識點(diǎn)】進(jìn)行簡單的合情推理；函數(shù)的零點(diǎn)；數(shù)列的求和． 【答案解析】解析 ：解：當(dāng)時(shí)，； ． ∴當(dāng)時(shí)，則，由可知：． 同理，當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，由，可得，； 同理，當(dāng)時(shí)，由，可得，； 此時(shí)．當(dāng)時(shí)． 則在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為，且滿足，依此類推：，…，． ∴當(dāng)時(shí)，． 故答案為： 【思路點(diǎn)撥】當(dāng)時(shí)，不必考慮．利用已知可得：當(dāng)時(shí)，由，可得，；同理，當(dāng)時(shí)，；此時(shí)．分別找出，，則在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為，且滿足，依此類推，…，．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出． 【江蘇鹽城中學(xué)高二期末xx】9．已知，，，….，類比這些等式，若（均為正實(shí)數(shù)），則= ▲ ． 【知識點(diǎn)】類比推理． 【答案解析】41解析 ：解：觀察下列等式，，，….，第n個(gè)應(yīng)該是= 則第5個(gè)等式中：a=6，b=a2-1=35,a+b=41． 故答案為：41． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)觀察所給的等式，歸納出第n個(gè)式子，即可寫出結(jié)果． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】9．定義為個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”，已知數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又，則（ ） A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】類比推理． 【答案解析】C 解析 ：解：由已知得， ∴ 當(dāng)n≥2時(shí)，驗(yàn)證知當(dāng)n=1時(shí)也成立， ∴an=4n﹣1，∴，∴ ∴=． 故選C． 【思路點(diǎn)撥】由已知得，求出Sn后，利用當(dāng)n≥2時(shí)，，即可求得通項(xiàng)an，最后利用裂項(xiàng)法，即可求和． 【文江西省鷹潭一中高二期末xx】15．將按如上表的規(guī)律填在列的數(shù)表中，設(shè)排在數(shù)表的第行，第列，則 ． 【知識點(diǎn)】歸納推理. 【答案解析】507解析 ：解：根據(jù)圖表的規(guī)律：每行有4個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)的指數(shù)按自然數(shù)列排列，并且奇數(shù)行指數(shù)由小到大，偶數(shù)行指數(shù)由大到小，因?yàn)?，則 在圖表的第504行、第3列，所以507. 故答案為：507. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖表的規(guī)律：每行有4個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)的指數(shù)按自然數(shù)列排列，并且奇數(shù)行指數(shù)由小到大，偶數(shù)行指數(shù)由大到小，進(jìn)而計(jì)算出結(jié)果. 【文吉林一中高二期末xx】16. 已知數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列. 類比上述結(jié)論，已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，若= ，則數(shù)列{}也為等比數(shù)列. 【知識點(diǎn)】類比推理. 【答案解析】 解析 ：解：由等差數(shù)列的的和，則等比數(shù)列可類比為﹒的積；對求算術(shù)平均值，所以對﹒求幾何平均值，所以類比結(jié)果為. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差數(shù)列構(gòu)造的新的等差數(shù)列是由原來的等差數(shù)列的和下標(biāo)一致的數(shù)字倍的和，除以下標(biāo)的和，等比數(shù)列要類比出一個(gè)結(jié)論，只有乘積變化為乘方，除法變?yōu)殚_方，寫出結(jié)論． 【江西鷹潭一中高一期末xx】9．定義為個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”，已知數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又，則（ ） A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】類比推理． 【答案解析】C 解析 ：解：由已知得， ∴ 當(dāng)n≥2時(shí)，驗(yàn)證知當(dāng)n=1時(shí)也成立， ∴an=4n﹣1，∴，∴ ∴=． 故選C． 【思路點(diǎn)撥】由已知得，求出Sn后，利用當(dāng)n≥2時(shí)，，即可求得通項(xiàng)an，最后利用裂項(xiàng)法，即可求和． M2　直接證明與間接證明 【江蘇鹽城中學(xué)高二期末xx】17（文科學(xué)生做）設(shè)函數(shù). （1）用反證法證明：函數(shù)不可能為偶函數(shù)； （2）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是. 【知識點(diǎn)】反證法與放縮法；必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【答案解析】（1）見解析（2）見解析 解析 ：解：(1)假設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)， …………2分 則，即，解得， …………4分 這與矛盾，所以函數(shù)不可能是偶函數(shù). …………6分 (2)因?yàn)?，所? …………8分 ①充分性：當(dāng)時(shí)，， 所以函數(shù)在單調(diào)遞減； …………10分 ②必要性：當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞減時(shí)， 有，即，又，所以. …………13分 綜合①②知，原命題成立. …………14分 【思路點(diǎn)撥】（1）假設(shè)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），代入利用對數(shù)的性質(zhì)，可得矛盾，即可得證； （2）分充分性、必要性進(jìn)行論證，即可得到結(jié)論． M3 數(shù)學(xué)歸納法 【文江蘇揚(yáng)州中學(xué)高二期末xx】9．已知， 則 ▲ ． 【知識點(diǎn)】歸納推理． 【答案解析】 解析 ：解：由題意對于 =2，此時(shí)n=7，m=2，所以==2； 對于 =3，此時(shí)m=3，n=26，所以==3； 對于 =4，此時(shí)m=4，n=63，所以==4； 可見，m的值是等號左邊根號下和式前面的數(shù)，而化簡后的結(jié)果就是m的值， ∴=xx中的m即為xx，∴此時(shí)則=xx． 故答案為xx. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)前面幾項(xiàng)分別求出各自對應(yīng)的m，n，然后計(jì)算出相應(yīng)的，再進(jìn)行歸納推理，給出一般性結(jié)論． 【典型總結(jié)】本題考查了歸納推理的知識與方法，一般是先根據(jù)前面的有限項(xiàng)找出規(guī)律，然后再求解；這個(gè)題就是根據(jù)問題先求出每個(gè)等式中的m，n，然后再代入求值，根據(jù)前面的幾個(gè)值反映出的規(guī)律下結(jié)論；注意：這種歸納推理是不完全歸納，因此得出的結(jié)論未必適合后面所有的情況． 【理江蘇揚(yáng)州中學(xué)高二期末xx】22．（本小題滿分10分） 已知函數(shù)在上是增函數(shù)． ⑴求實(shí)數(shù)的取值范圍； ⑵當(dāng)為中最小值時(shí)，定義數(shù)列滿足：，且， 用數(shù)學(xué)歸納法證明，并判斷與的大?。? 【知識點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【答案解析】⑴⑵解析 ：解：⑴即在恒成立， ； ……4分 ⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明：． （?。r(shí)，由題設(shè)； （ⅱ）假設(shè)時(shí)， 則當(dāng)時(shí)， 由⑴知：在上是增函數(shù)，又， 所以， 綜合（?。áⅲ┑茫簩θ我?，． ……8分 因?yàn)?，所以，即? … …10分 【思路點(diǎn)撥】（1）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值恒大于等于0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍A； （2）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟證明an∈（﹣1，0），通過作差法比較an+1與an的大?。? 【理江蘇揚(yáng)州中學(xué)高二期末xx】9．已知， 則 ▲ ． 【知識點(diǎn)】歸納推理． 【答案解析】 解析 ：解：由題意對于 =2，此時(shí)n=7，m=2，所以==2； 對于 =3，此時(shí)m=3，n=26，所以==3； 對于 =4，此時(shí)m=4，n=63，所以==4； 可見，m的值是等號左邊根號下和式前面的數(shù)，而化簡后的結(jié)果就是m的值， ∴=xx中的m即為xx，∴此時(shí)則=xx． 故答案為xx. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)前面幾項(xiàng)分別求出各自對應(yīng)的m，n，然后計(jì)算出相應(yīng)的，再進(jìn)行歸納推理，給出一般性結(jié)論． 【典型總結(jié)】本題考查了歸納推理的知識與方法，一般是先根據(jù)前面的有限項(xiàng)找出規(guī)律，然后再求解；這個(gè)題就是根據(jù)問題先求出每個(gè)等式中的m，n，然后再代入求值，根據(jù)前面的幾個(gè)值反映出的規(guī)律下結(jié)論；注意：這種歸納推理是不完全歸納，因此得出的結(jié)論未必適合后面所有的情況． 【江蘇鹽城中學(xué)高二期末xx】16．（本小題滿分14分） （理科學(xué)生做）設(shè)數(shù)列滿足，. （1）求； （2）先猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. 【知識點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法；歸納推理． 【答案解析】（1）（2），證明見解析. 解析 ：解：（1）由條件，依次得， ，， …………6分 （2）由（1），猜想. …………7分 下用數(shù)學(xué)歸納法證明之： ①當(dāng)時(shí)，，猜想成立； ………8分 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即有， …………9分 則當(dāng)時(shí)，有， 即當(dāng)時(shí)猜想也成立， …………13分 綜合①②知，數(shù)列通項(xiàng)公式為. …………14分 【思路點(diǎn)撥】（1）直接利用已知關(guān)系式，通過n=1，2，3，4，求出a2，a3，a4； （2）利用（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟證明即可. 【理江西鷹潭一中高二期末xx】6．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“ ”時(shí)，從“”變到 “”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是( ) A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法． 【答案解析】C 解析 ：解：由題意，n=k 時(shí)，左邊為（k+1）（k+2）…（k+k）；n=k+1時(shí)，左邊為（k+2）（k+3）…（k+1+k+1）； 從而增加兩項(xiàng)為（2k+1）（2k+2），且減少一項(xiàng)為（k+1）， 故選C． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知等式，分別考慮n=k、n=k+1時(shí)的左邊因式，比較增加與減少的項(xiàng)，從而得解． M4 單元綜合