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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理（含解析）新人教A版 【試卷綜析】本試卷是高二理科期末試卷，本試卷以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體，以能力測(cè)試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí)，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識(shí)考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識(shí)，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：不等式性質(zhì)、基本不等式、絕對(duì)值不等式、不等式的證明、概率、離散隨機(jī)變量的分布列、期望與方差、二項(xiàng)式定理、獨(dú)立性檢驗(yàn)思想、回歸方程的建立與回歸分析、正態(tài)分布、排列組合、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、復(fù)數(shù)等；考查學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力，是份較好的試卷. 一．選擇題：（每小題5分，共40分，每題只有一個(gè)選項(xiàng)正確） 1．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義 【答案解析】C解析：因?yàn)?－1－2i，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則選C. 【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是高考常考考點(diǎn)之一，熟記復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵. 2. ,則=( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)分布 【答案解析】A解析：由正態(tài)分布的性質(zhì)得P(－2≤ξ≤2)=2 P(－2≤ξ≤0)=0.8，所以= =0.1，則選A 【思路點(diǎn)撥】因?yàn)檎龖B(tài)分布的對(duì)稱軸為y軸，可由正態(tài)分布圖像的性質(zhì)解答. 3. 在驗(yàn)證吸煙與否與患肺炎與否有關(guān)的統(tǒng)計(jì)中，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，認(rèn)為這兩件事情無關(guān)的可能性不足1%，那么的一個(gè)可能取值為(　　) A．6.635 B． 5.024 C．7.897 D．3.841 P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn) 【答案解析】C解析：由表格知 ，則的取值應(yīng)大于6.635，所以選C 【思路點(diǎn)撥】本題可先結(jié)合表格找出認(rèn)為這兩件事情無關(guān)的可能性為1%時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，再對(duì)選項(xiàng)與此參考值進(jìn)行比較即可. 4．5人站成一排，甲乙兩人必須站在一起的不同站法有 （ ） A．12種 B．24種 C． 48種 D．60種 【知識(shí)點(diǎn)】排列的應(yīng)用 【答案解析】C解析：可先排甲乙兩人有種排法，再把甲乙兩人與其他人做排列有=24種排法，由分步乘法原理得一共有224=48種排法，所以選C. 【思路點(diǎn)撥】本題屬于相鄰排列問題，可先排必須相鄰的元素，再把排好的相鄰元素看成一個(gè)元素與剩余的元素一起做全排列即可. 5. 一個(gè)袋中裝有大小相同的5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)在不放回的取2次球，每次取出一個(gè)球，記“第1次拿出的是白球”為事件，“第2次拿出的是白球”為事件，則事件與同時(shí)發(fā)生的概率是( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】概率的求法 【答案解析】D解析：因?yàn)閺拇胁环呕氐娜?次球，一共有種方法，其中兩次都為白球有種取法，所以所求的概率為，則選D. 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查的是古典概型的求法，利用古典概型計(jì)算公式，只需分別求出總的情況種數(shù)與所求事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，代入公式即可. 6．下列各式中，最小值是2的是( ) A． B． C． D．2-3x- 【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式 【答案解析】C解析：因?yàn)锳，B選項(xiàng)中的 式子的值可以取負(fù)值，故排除，又 而 不成立，所以等號(hào)不成立，不能得到最小值為2，故排除，所以選C. 【思路點(diǎn)撥】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，必須注意滿足三個(gè)要素：一正，二定，三相等，本題通過三個(gè)要素用排除法即可確定選項(xiàng). 7．圓上有10個(gè)點(diǎn)，過每三個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個(gè)數(shù)為（ ） A．720 B．360 C．240 D．120 【知識(shí)點(diǎn)】組合數(shù)的應(yīng)用 【答案解析】D解析：因?yàn)閳A上任意三點(diǎn)不共線，所以任過三點(diǎn)都可以畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個(gè)數(shù)為=120個(gè)，所以選D. 【思路點(diǎn)撥】通過分析條件，把實(shí)際問題歸結(jié)為組合數(shù)問題是解題的關(guān)鍵. 8.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（ ） A. 2 B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 【答案解析】B解析：因?yàn)?所以切線的斜率為，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線與直線垂直，則有，得a=－2，所以選B. 【思路點(diǎn)撥】借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出切線斜率，再利用直線垂直的條件即可求出a值. 二、填空題（本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分，把答案填在答題卡相應(yīng)橫線上） （一）必做題（9～13題） 9.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 。 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 【答案解析】60解析：因?yàn)?，令 12－3r=0，得r=4，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是. 【思路點(diǎn)撥】在二項(xiàng)展開式中遇到求展開式中的某項(xiàng)或某項(xiàng)的系數(shù)問題時(shí)，通常利用其展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行解答. 10．從數(shù)字1、2、3、4、5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為 【知識(shí)點(diǎn)】古典概型 【答案解析】 解析：從數(shù)字1、2、3、4、5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)可以得到個(gè)兩位數(shù)，若這個(gè)兩位數(shù)大于40，則有種情況，所以所求的概率為 . 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查的是古典概型的求法，利用古典概型計(jì)算公式，只需分別求出總的情況種數(shù)與所求事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，代入公式即可. 11．已知隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的值為 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布 【答案解析】 解析： . 【思路點(diǎn)撥】熟記二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式是解此題的關(guān)鍵. 12.不等式|x-1|+|x+2|≥5.的解集是 【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法 【答案解析】{x▏x≤－3或x≥2}解析：因?yàn)樵跀?shù)軸上到兩點(diǎn)距離之和為5的點(diǎn)為﹣3，2，所以在數(shù)軸上到兩點(diǎn)距離之和大于等于5的實(shí)數(shù)x的范圍是{x▏x≤－3或x≥2}. 【思路點(diǎn)撥】在解絕對(duì)值不等式時(shí)，若兩個(gè)絕對(duì)值中x的系數(shù)相等可利用絕對(duì)值的幾何意義直接求解，若兩個(gè)絕對(duì)值中x的系數(shù)不相等可用零點(diǎn)分段討論去絕對(duì)值解不等式. 13. 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)。如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為。記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式： 三角形數(shù) N(n,3)= 正方形數(shù) N(n,4)= 五邊形數(shù) N(n,5)= 六邊形數(shù) N(n,6)= 可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)= ____________ 【知識(shí)點(diǎn)】歸納推理 【答案解析】1000解析：觀察所給的四個(gè)表達(dá)式，可發(fā)現(xiàn)n的二次項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)和為1，則k=24時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)為，所以N(10,24)= . 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查的是歸納推理的應(yīng)用，觀察發(fā)現(xiàn)所給式子之間的系數(shù)規(guī)律即式子內(nèi)部系數(shù)之間的關(guān)系時(shí)解題的關(guān)鍵. （二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題，若兩題都做，取14題得分為最后得分） 14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是（是參數(shù)），若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，則曲線C的極坐標(biāo)方程可寫為 . 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程，極坐標(biāo) 【答案解析】ρ=4cosθ解析：由曲線C的參數(shù)方程得 ，由直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)公式 代入整理得ρ=4cosθ 【思路點(diǎn)撥】把參數(shù)方程化成極坐標(biāo)方程時(shí)，可先化成普通方程，再由普通方程化成極坐標(biāo)方程. 15．（幾何證明選講選做題）如圖所示，圓的直徑， 為圓周上一點(diǎn)，．過作圓的切線，過作 的垂線，分別與直線、圓交于點(diǎn)，則 線段的長(zhǎng)為 ． 【知識(shí)點(diǎn)】圓的性質(zhì)，切割線定理 【答案解析】3解析：因?yàn)?，，所以∠ABC=60，AC= ，則 ∠ACD=60，AD= ，DC= ，由切割線定理得，即 ，所以AE=AD﹣DE=. 【思路點(diǎn)撥】觀察所給條件，可發(fā)現(xiàn)通過切割線定理建立已知與所求的關(guān)系，再利用圓的性質(zhì)求出AC與DC、AD，即可解答. 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.） 16.（12分）一個(gè)布袋里有3個(gè)紅球，2個(gè)白球共５個(gè)球. 現(xiàn)抽取3次，每次任意抽取2個(gè)，并待放回后再抽下一次，求： （1）３次抽取中，每次取出的2個(gè)球都是1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率； （2）３次抽取中，有2次取出的2個(gè)球是1個(gè)白球和1個(gè)紅球，還有1次取出的2個(gè)球同色的概率； 【知識(shí)點(diǎn)】概率，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率 【答案解析】(1)0.216(2)0.432解析：記事件A：“一次取出2個(gè)球是1個(gè)白球和1個(gè)紅球”，事件B：“一次取出的2個(gè)球都是白球”，事件C：“一次取出的2個(gè)球都是紅球”，A、B、C互相獨(dú)立 (1)因?yàn)?，所以 (2)因?yàn)?，所以所求事件的概率為 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生K次的概率特征，利用公式直接計(jì)算所求事件的概率即可 17．（12分 ）某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下： 零件的個(gè)數(shù)x(個(gè)) 2 3 4 5 加工的時(shí)間y(小時(shí)) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線； (3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間？ 參考公式：回歸直線，其中[ 【知識(shí)點(diǎn)】回歸直線方程的建立，回歸分析, 【答案解析】（1）略（2）（3）8.05小時(shí) 解析：(1)散點(diǎn)圖如圖 (2)由表格計(jì)算得=52.5， ，=54，所以 ，所以 ，回歸直線如上圖； (3)將x=10代入回歸直線方程得 ，所以預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí) 【思路點(diǎn)撥】依據(jù)回歸直線方程中參數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算回歸直線的參數(shù)，即可得到回歸直線方程，再利用方程進(jìn)行預(yù)測(cè). 18．(本小題滿分14分) 同時(shí)拋擲4枚均勻的硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的次數(shù)為ξ． (Ⅰ) 求拋擲4枚硬幣，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率； (Ⅱ) 求的數(shù)學(xué)期望和方差． [Z_xx_k] 【知識(shí)點(diǎn)】概率的求法，二項(xiàng)分布的性質(zhì) 【答案解析】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 解析：(Ⅰ) 設(shè)“拋擲4枚硬幣，恰好2枚正面向上”為事件A，所以拋擲4枚硬幣的基本事件總數(shù)是=16 ，其中事件A含=6個(gè)基本事件，所以 ,所以拋擲4枚硬幣，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率為；(Ⅱ)隨機(jī)變量的取值為0,1，2,3，…，80，由(1)得：拋擲4枚硬幣，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率為，又因?yàn)樗鶔仈S的80次之間相互獨(dú)立，所以ξ ，則 ，所以 【思路點(diǎn)撥】在求隨機(jī)變量的期望與方差時(shí)，若其分布為二項(xiàng)分布可直接利用二項(xiàng)分布的期望與方差計(jì)算公式進(jìn)行解答. 19（本小題14分）給出四個(gè)等式： 1＝1 1－4＝－(1＋2) 1－4＋9＝1＋2＋3 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4) ……　　　　　　　　　　　 （1）寫出第5,6個(gè)等式，并猜測(cè)第n(n∈N)個(gè)等式 （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜測(cè)的等式． 【知識(shí)點(diǎn)】歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法 【答案解析】（1）1－4＋9－16+25＝1＋2＋3＋4＋5, 1－4＋9－16+25－49＝－﹙1＋2＋3＋4＋5＋7﹚, 1－4＋9－16+25－…＋ ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋n﹚； （2）略 解析：（1）1－4＋9－16+25＝1＋2＋3＋4＋5, 1－4＋9－16+25－49＝－﹙1＋2＋3＋4＋5＋7﹚, 1－4＋9－16+25－…＋ ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋n﹚； （2）證明①當(dāng)n=1時(shí)等式左邊=1，右邊=1，顯然等式成立； ②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1－4＋9－16+25－…＋ ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋k﹚，則 1－4＋9－16+25－…＋ + ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋k﹚+= =﹙1＋2＋3＋4＋…＋k+k+1﹚,即n=k+1時(shí)等式成立 ； 由①②知，對(duì)于任意的正整數(shù)n等成均成立. 【思路點(diǎn)撥】在利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，對(duì)于第二問可在假設(shè)的基礎(chǔ)上先通過兩邊填項(xiàng)湊出一邊，再證明另一邊相等. 20．（14分）設(shè)正數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列，,記 （1）求和[Z#X#X#K] （2）證明: 對(duì)任意的 ,有成立. 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、放縮法證明不等式 【答案解析】(1) (2)略； 解析：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)閿?shù)列為正數(shù)等比數(shù)列，則有，所以 ； (2)因?yàn)?，令 ，則 ，所以 【思路點(diǎn)撥】在證明和式或積式不等式時(shí)可先結(jié)合不等式的性質(zhì)觀察能否求和或求積，若不能求和或求積，則觀察能否用放縮法求和或求積進(jìn)行證明，本題還可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明. 21. (本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)（1，處的切線為. (Ⅰ)求； （Ⅱ）證明：. 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 【答案解析】(Ⅰ) a=1，b=2；( Ⅱ)略 解析：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， ，由題意得f(1)=2，f’(1)=e，解得a=1，b=2； ( Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，從而f(x) ＞1等價(jià)于 ，設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而在的最小值為. 設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而在的最大值為. 綜上：當(dāng)時(shí)，，即. 【思路點(diǎn)撥】在利用導(dǎo)數(shù)解答曲線的切線問題時(shí)，注意抓住兩個(gè)要點(diǎn)：1、切線的斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，2、切點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線方程和切線方程；在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答.