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2019-2020年高考《考試大綱》調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（第五模擬）試卷含解析 一、填空題：共14題 1．已知復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的模為　　　　. 【答案】 【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及運(yùn)算.求解時(shí),先求得復(fù)數(shù)z,再確定其?；蚋鶕?jù)復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)直接求解. 通解　z==-+i,所以|z|=. 優(yōu)解　因?yàn)閦=,所以|z|=||===. 2．某校對(duì)全校1800名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試,按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]統(tǒng)計(jì)得到全校學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)(單位:分)的頻率分布直方圖(如圖),若要用分層抽樣的方法抽出100人進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查,則抽出的學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上(包含80分)的有____　　　　人. 【答案】30 【解析】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的頻率分布直方圖、分層抽樣等知識(shí),考查考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決相關(guān)問題的能力.求解時(shí),先由頻率分布直方圖求出全校學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù),再利用分層抽樣的方法求出抽出的學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù).由題意得,成績(jī)?cè)?0分以上的頻率為(0.022+0.008)10=0.3,所以成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生人數(shù)為0.31 800=540.又用分層抽樣的方法抽出100人,所以抽出的學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為540=30. 3．設(shè)集合A滿足{a}?A?{a,b,c,d},則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為　　　　. 【答案】7 【解析】本題主要考查集合的相關(guān)概念,意在考查考生對(duì)子集、真子集的理解.求解本題時(shí),先由條件確定集合A中可能包含的元素,再求出集合A的個(gè)數(shù).根據(jù)子集的定義,可得集合A中必定含有a元素,而且含有a,b,c,d中的至多三個(gè)元素.因此,滿足條件{a}?A?{a,b,c,d}的集合A有:{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,c,d},{a,b,d},共7個(gè). 4．一袋中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的黑球、紅球和白球,其中有3個(gè)黑球,若從中隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸出紅球的概率為0.2,則摸出白球的概率為　　　　. 【答案】0.5 【解析】本題主要考查概率的求解等知識(shí),意在考查考生的閱讀理解能力及計(jì)算能力.求解本題時(shí),先確定袋中白球的個(gè)數(shù),再求得摸出白球的概率,或利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式求解.通解　設(shè)袋中紅球的個(gè)數(shù)為x,則=0.2,所以x=2.又黑球共有3個(gè),所以白球有5個(gè),所以摸出白球的概率P==0.5.優(yōu)解　由題意得,隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸出黑球的概率為0.3.由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得,摸出白球的概率為1-(0.2+0.3)=0.5. 5．已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,=2+, 則||=　　　　. 【答案】 【解析】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、模等知識(shí),意在考查考生的運(yùn)算求解能力.求解本題的思路有兩種:通解　先求,再求||;優(yōu)解　利用數(shù)形結(jié)合,先作出向量,再利用幾何意義求得||.通解　由題意得,=4++4.又四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,所以⊥,所以=0.又||=,||=,所以=42+2=10,所以||=.優(yōu)解　由題意作出=2+,如圖所示,則||為邊長(zhǎng)分別為,2的矩形CFME的對(duì)角線的長(zhǎng),所以||=. 6．已知雙曲線C:-y2=1與直線l:x+ky+4=0,若直線l與雙曲線C的一條漸近線平行,則雙曲線C的右焦點(diǎn)到直線l的距離是　　　　. 【答案】3 【解析】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線平行的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式等相關(guān)知識(shí),意在考查考生的運(yùn)算求解能力.求解本題的思路就是先確定雙曲線C的右焦點(diǎn)及k的值,再利用點(diǎn)到直線的距離公式求之.由題意得,雙曲線C:-y2=1的右焦點(diǎn)F(2,0),其漸近線方程為y=x.又直線l:x+ky+4=0與雙曲線C的一條漸近線平行,所以k=,所以直線l的方程為xy+4=0,所以雙曲線C的右焦點(diǎn)到直線l的距離d==3. 7．執(zhí)行如圖所示的算法流程圖,則輸出的k的值是　　　　. 【答案】81 【解析】本題主要考查算法流程圖、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等知識(shí),意在考查考生的閱讀理解能力及運(yùn)算能力.求解本題的關(guān)鍵是正確理解循環(huán)語(yǔ)句.由題意得,算法流程圖的功能是求和,即S=1+3+32+33+…+3n.因?yàn)镾=1+3+32+33+34=121,S<121不成立,所以輸出的k的值是81. 8．已知高與底面半徑相等的圓錐的體積為,其側(cè)面積與高為2的圓柱OO1的側(cè)面積相等,則圓柱OO1的體積為　　　　. 【答案】2π 【解析】本題主要考查簡(jiǎn)單幾何體及其特征、幾何體的側(cè)面積及體積的計(jì)算等知識(shí),意在考查考生的空間想象能力與計(jì)算能力.求解本題的思路就是先求得圓錐的底面半徑,再由題意求出圓柱OO1的底面半徑,最后求得圓柱OO1的體積.設(shè)圓錐的底面半徑為r,圓柱OO1的底面半徑為R,因?yàn)楦吲c底面半徑相等的圓錐的體積為,所以πr2r=,所以r=2.又圓錐的側(cè)面積與高為2的圓柱OO1的側(cè)面積相等,所以πrr=2πR2,所以R=1,所以圓柱OO1的體積為πR22=2π. 9．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且an>0,若a1+a2+…+a100=500,則a50a51的最大值為　　　　. 【答案】25 【解析】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和及基本不等式等知識(shí),意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力及運(yùn)算能力.求解本題的思路:通解　利用等差數(shù)列的基本量將a50a51化為關(guān)于公差d的二次函數(shù),求解即可;優(yōu)解　先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得a50+a51,再利用基本不等式求得a50a51的最大值.通解　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≥0),由題意得,100a1+4 950d=500,所以a1=5-49.5d,所以a50a51=(a1+49d)(a1+50d)=(5-0.5d)(5+0.5d)=-0.25d2+25.又d≥0,所以當(dāng)d=0時(shí),a50a51有最大值25.優(yōu)解　由等差數(shù)列的性質(zhì)知,項(xiàng)數(shù)和相等,則項(xiàng)的和也相等.所以50(a50+a51)=500,即a50+a51=10,所以由基本不等式得a50a51≤()2=25,當(dāng)且僅當(dāng)a50=a51時(shí)取等號(hào),所以a50a51有最大值25. 10．若函數(shù)f(x)=在(-∞,+∞)上單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. 【答案】(-1,0] 【解析】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí),意在考查考生分析問題、解決問題的能力.求解本題需要注意的是對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論. 當(dāng)a=0時(shí),顯然滿足題意.當(dāng)a>0時(shí),由題意得,,所以,無(wú)解.當(dāng)a<0時(shí),由題意得,,所以,所以-10,y=>0,由題意得x+2y≤2,-2x+3y≥1,而=3x-y,再利用線性規(guī)劃知識(shí)求解.因?yàn)閍,b,c都是正數(shù),所以由題意設(shè)x=>0,y=>0,則x+2y≤2,-2x+3y≥1,而=3x-y,所以問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.畫出可行域如圖中陰影部分所示.畫出直線l0∶3x-y=0,平移l0,當(dāng)過(guò)點(diǎn)B(,)時(shí),(3x-y)max=1,過(guò)點(diǎn)C(0,1)時(shí),(3x-y)min→-1,所以的取值范圍為(-1,1] . 13．已知P是直線x+y+3=0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓x2+y2-4x-2y+4=0的切線,A,B是切點(diǎn),C是圓心,則四邊形PACB的面積的最小值是　　　　. 【答案】 【解析】本題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí),意在考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力,特別是推理能力與運(yùn)算能力.求解本題的關(guān)鍵是將直線與圓的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題.通解　設(shè)點(diǎn)P(a,b),則a+b+3=0.由題意,圓x2+y2-4x-2y+4=0的圓心是C(2,1),半徑為1.因?yàn)閨PA|=|PB|,所以四邊形PACB的面積S=(|PA|+|PB|)=|PA|,所以|PA|最小時(shí),四邊形PACB的面積最小.又|PA|=,所以|PC|最小時(shí),|PA|最小.又|PC|=,所以當(dāng)a=-1,b=-2時(shí),|PC|有最小值3,所以|PA|的最小值為.所以四邊形PACB的面積的最小值是.優(yōu)解　由題意,圓x2+y2-4x-2y+4=0的圓心是C(2,1),半徑為1.因?yàn)閨PA|=|PB|,所以四邊形PACB的面積S=(|PA|+|PB|)=|PA|,所以|PA|最小時(shí),四邊形PACB的面積最小.又|PA|=,所以|PC|最小時(shí),|PA|最小.又|PC|min==3,所以|PA|min=,所以四邊形PACB的面積的最小值是. 14．已知函數(shù)f(x)=2exln-kx(e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　. 【答案】(e,+∞) 【解析】本題考查函數(shù)的圖象及零點(diǎn)等知識(shí),考查考生的數(shù)形結(jié)合能力與運(yùn)算求解能力.求解的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.因?yàn)閒(x)=2exln-kx,所以f(x)=ex-kx.令f(x)=0,得ex=kx,則函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g(x)=ex的圖象和直線y=kx有兩個(gè)不同的交點(diǎn).易知當(dāng)k=0時(shí),函數(shù)g(x)=ex的圖象和直線y=kx沒有交點(diǎn),當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)g(x)=ex的圖象和直線y=kx只有一個(gè)交點(diǎn),故k>0.現(xiàn)考慮函數(shù)g(x)=ex的圖象和直線y=kx相切時(shí)k的值,設(shè)切點(diǎn)為(x0,),因?yàn)間(x)=ex,所以切線的斜率k=,又k=,所以,解得x0=1,所以k=e.故要使函數(shù)g(x)=ex的圖象和直線y=kx有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則需k>e. 二、解答題：共12題 15．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,S為△ABC的面積,滿足S=(b2+c2-a2). (1)求角A; (2)若a=2,y=(1-)b+2c,求y的最大值. 【答案】(1)因?yàn)镾=(b2+c2-a2),由三角形的面積公式和余弦定理得,bcsinA=2bccosA,所以tanA=.又A∈(0,π),所以A=. (2)由(1)可知,B∈(0,).由得,b=4sinB,c=4sinC=4sin(-B)=4(cosB+sinB)=2cosB+2sin B. 又y=(1-)b+2c,所以y=(1-)4sinB+4cosB+4sinB=4sinB+4cosB=4sin(B+). 又B∈(0,),所以B+∈(,),所以當(dāng)B+,即B=時(shí),y取得最大值4. 【解析】本題主要考查正、余弦定理,三角函數(shù)的和、差角公式,三角函數(shù)的最值等知識(shí),考查了運(yùn)算能力及化歸與轉(zhuǎn)化能力.對(duì)于(1),先由題意并借助余弦定理求得tanA,再利用三角函數(shù)求得角A;對(duì)于(2),先由條件利用正弦定理將y=(1-)b+2c化為關(guān)于角B的三角函數(shù),最后利用角的取值范圍確定其最值. 【備注】江蘇省三角解答題的特點(diǎn)是短小精悍,正、余弦定理,三角恒等變換,三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)等知識(shí)是高考對(duì)三角部分考查的重點(diǎn),其中三角恒等變換是重中之重,將三角恒等變換與向量知識(shí)相結(jié)合命制成小綜合題是近幾年常見的考查形式.對(duì)于以三角形為背景的三角恒等變換,考生常常會(huì)忽視對(duì)角的取值范圍的討論而出現(xiàn)不必要的失誤,因此要注意精確把握題意,準(zhǔn)確計(jì)算. 16．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=,AC=1,BC=2,D是CB1的中點(diǎn),E是AB1的中點(diǎn). (1)求證:DE∥平面A1B1C1; (2)求證:平面BDE⊥平面ABB1A1. 【答案】(1)因?yàn)镈是CB1的中點(diǎn),E是AB1的中點(diǎn),所以DE∥AC.又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,所以DE∥A1C1.又DE?平面A1B1C1,A1C1?平面A1B1C1,所以DE∥平面A1B1C1. (2)因?yàn)锳B=,AC=1,BC=2,所以AB2+AC2=BC2,所以三角形ABC是直角三角形,且AC⊥AB.因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥平面ABC.又AC?平面ABC,所以AA1⊥AC.又由(1)得DE∥AC,所以DE⊥AB,DE⊥AA1.又AB∩AA1=A,AB、AA1?平面ABB1A1,所以DE⊥平面ABB1A1. 又DE?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABB1A1. 【解析】本題主要考查線面平行、面面垂直的判定等,考查考生的空間想象能力、推理論證能力.對(duì)于(1),先由條件證明DE∥AC,又AC∥A1C1,進(jìn)而證明DE∥A1C1,再由線面平行的判定定理證明DE∥平面A1B1C1;對(duì)于(2),先由條件證明DE⊥平面ABB1A1,再由面面垂直的判定定理證明平面BDE⊥平面ABB1A1. 【備注】根據(jù)新課程高考對(duì)立體幾何的要求,解答題主要考查線線、線面、面面平行與垂直的證明,且多為中低檔題.在復(fù)習(xí)中,要做到以下三點(diǎn):一抓住重點(diǎn),立體幾何的重點(diǎn)是線線、線面、面面平行與垂直的證明及簡(jiǎn)單幾何體的表面積、體積的計(jì)算,對(duì)于這兩個(gè)重點(diǎn),要強(qiáng)化訓(xùn)練,熟悉證明及求解的方法;二注重規(guī)范,包括語(yǔ)言規(guī)范、過(guò)程規(guī)范等,要加強(qiáng)針對(duì)性訓(xùn)練,做到?jīng)]有遺漏;三提升能力,要在復(fù)習(xí)訓(xùn)練中,不斷培養(yǎng)自己的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 17．某空調(diào)制造公司有一條自動(dòng)生產(chǎn)的流水線,價(jià)值約為a萬(wàn)元,現(xiàn)為了改善該流水線的生產(chǎn)能力,提高產(chǎn)品的增加值,需要進(jìn)行全面的技術(shù)革新.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,產(chǎn)品的增加值y(單位:萬(wàn)元)與技術(shù)革新投入的資金x(單位:萬(wàn)元)之間滿足:①y與(a-x)和x2的乘積成正比;②當(dāng)x=時(shí),y=a3;③x∈(0,],其中m是正數(shù). (1)求y關(guān)于x的表達(dá)式; (2)試問當(dāng)技術(shù)革新投入多少萬(wàn)元時(shí),產(chǎn)品的增加值y最大. 【答案】(1)由題意可設(shè)y=f(x)=k(a-x)x2.因?yàn)楫?dāng)x=時(shí),y=a3,所以k=8. 所以y=f(x)=8(a-x)x2,x∈(0,],其中m是正數(shù). (2)因?yàn)閒(x)=-24x2+16ax,所以由f(x)=0得,x=或x=0(舍去).當(dāng)≤,即00恒成立,所以f(x)在(0,]上是增函數(shù), 所以y的最大值為a3,這時(shí)x=.當(dāng),即m>1時(shí),若x∈(0,),則f(x)>0,所以f(x)在(0,)上是增函數(shù), 若x∈(,],則f(x)<0,所以f(x)在(,]上是減函數(shù),所以y的最大值為a3,這時(shí)x=.所以當(dāng)01時(shí),技術(shù)革新投入萬(wàn)元時(shí),產(chǎn)品的增加值y最大,且為a3. 【解析】本題是一道實(shí)際應(yīng)用題,主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),意在考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力和解決實(shí)際問題的能力.對(duì)于(1),可由題意直接求出函數(shù)y關(guān)于x的表達(dá)式;對(duì)于(2),先由條件求出函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),再利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)y=f(x)最大時(shí)x的值,注意分兩種情況進(jìn)行討論. 【備注】培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是新課程的一個(gè)重要理念,因此設(shè)計(jì)貼近學(xué)生實(shí)際的應(yīng)用問題成為江蘇省高考的熱點(diǎn).本題是函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題,這是高考中最常見的一類典型問題,解決這類問題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題,提取有用信息,將實(shí)際問題準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,而真正的落腳點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求解最值,要注意按照“設(shè)、列、解、答”這四個(gè)步驟規(guī)范作答,得出相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)論后,要回歸到實(shí)際問題中進(jìn)行敘述. 18．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F,P(-,)是橢圓C上的一點(diǎn),且PA⊥FP. (1)求橢圓C的方程; (2)若動(dòng)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),問:在x軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使它們到直線l的距離之積等于20?如果存在,求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)由題意得,A(a,0),F(-c,0),=0.又P(-,),所以(a+,-)(-c+,-)=0,即(-c)+=0.①又點(diǎn)P在橢圓C上,所以+=1,所以b2=20.②又a2=20+c2,③所以由①③得,a=6,c=4, 故橢圓C的方程為+=1. (2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+m,代入橢圓C的方程,消去y,整理得(9k2+5)x2+18kmx+9m2-180=0.(*) 因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以m≠0,方程(*)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.又9k2+5>0,所以Δ=0, 得(18km)2-4(9k2+5)(9m2-180)=0,所以m2=36k2+20.假設(shè)存在Q1(q1,0),Q2(q2,0)滿足題意,且Q1,Q2到直線l的距離分別為d1,d2, 則d1d2==||=20對(duì)任意的實(shí)數(shù)k恒成立, 所以所以或當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.綜上,存在兩個(gè)定點(diǎn)(4,0),(-4,0),它們到直線l的距離之積等于20. 【解析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式,考查了考生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力.對(duì)于(1),先由題意得方程,再求值可得;對(duì)于(2),要分類討論,一是動(dòng)直線l的斜率存在,先建立參數(shù)k,m的關(guān)系,再假設(shè)存在并結(jié)合題意求出兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo),二是動(dòng)直線l的斜率不存在,可以驗(yàn)證符合題意. 【備注】高考對(duì)解析幾何的考查主要是直線、圓和圓錐曲線的方程的求法,以及直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系的有關(guān)問題,復(fù)習(xí)中要強(qiáng)化訓(xùn)練,把握思路,既要過(guò)方法關(guān),又要過(guò)運(yùn)算關(guān).同時(shí)要注意加強(qiáng)對(duì)平面幾何知識(shí),特別是圓的幾何性質(zhì)的復(fù)習(xí),注意向量方法在解析幾何中的應(yīng)用,注意提高靈活解題的能力. 19．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的m,n∈N*,都有(Sm+n+S1)2=4a2ma2n. (1)求的值; (2)求證:{an}為等比數(shù)列. 【答案】(1)由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(S2+S1)2=4,即(a2+2a1)2=4.因?yàn)閍1>0,a2>0,所以a2+2a1=2a2,即=2. (2)解法一　令m=1,n=2,得(S3+S1)2=4a2a4,即(2a1+a2+a3)2=4a2a4,令m=n=2,得S4+S1=2a4,即2a1+a2+a3=a4. 又=2,所以a4=4a2=8a1,a3=4a1.由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(Sn+1+S1)2=4a2na2,(Sn+2+S1)2=4a2na4.兩式相除,得,所以=2, 即Sn+2+S1=2(Sn+1+S1),從而Sn+3+S1=2(Sn+2+S1).以上兩式相減,得an+3=2an+2,故當(dāng)n≥3時(shí),{an}是公比為2的等比數(shù)列.又a3=2a2=4a1,從而an=a12n-1,n∈N*.顯然,an=a12n-1滿足題設(shè),因此{(lán)an}是首項(xiàng)為a1,公比為2的等比數(shù)列. 解法二　在(Sm+n+S1)2=4a2na2m中,令m=n,得+S1=2.①令m=n+1,得S2n+1+S1=2,② 在①中,用n+1代替n得,S2n+2+S1=2a2n+2.③②-①,得a2n+1=2-2a2n=2(-),④ ③-②,得a2n+2=2a2n+2-2=2(-),⑤ 由④⑤得a2n+1=.⑥將⑥代入④,得a2n+1=2a2n,將⑥代入⑤得a2n+2=2a2n+1,所以=2.又=2,從而an=a12n-1,n∈N*. 顯然an=a12n-1滿足題設(shè),因此{(lán)an}是首項(xiàng)為a1,公比為2的等比數(shù)列. 【解析】本題主要考查等比數(shù)列的定義及性質(zhì),數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系等知識(shí),意在考查考生分析探究的能力、邏輯推理的能力與解決綜合性問題的能力.(1)采用賦值法,在已知等式中令m=n=1得出a1,a2的關(guān)系;(2)也采用賦值法,難點(diǎn)在于已知條件中的平方的處理. 【備注】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,將數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)結(jié)合起來(lái)命制為綜合性題目是近幾年高考對(duì)數(shù)列考查的熱點(diǎn),以數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)(如等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等常見的求和方法)為載體,考查考生推理論證的能力、分析問題和解決問題的能力、運(yùn)算求解的能力和思維水平. 20．已知函數(shù)f(x)=ax--lnx,g(x)=ax-a(a∈R). (1)若a=0,求函數(shù)f(x)在(,e)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的零點(diǎn)個(gè)數(shù); (2)若方程f(x)=g(x)恰有一個(gè)實(shí)根,求a的取值集合; (3)若方程f(x)=g(x)有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2(x11時(shí),h(x)<0,h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)00,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.故h(x)max=h(1)=a-1.①當(dāng)h(x)max=0,即a=1時(shí),因最大值點(diǎn)唯一,故符合題意; ②當(dāng)h(x)max<0,即a<1時(shí),h(x)<0恒成立,不符合題意;③當(dāng)h(x)max>0,即a>1時(shí),一方面,存在ea>1,h(ea)=-<0,另一方面,存在e-a<1,h(e-a)=2a-ea<2a-ea<0(易證當(dāng)a>1時(shí),ea>ea). 于是,h(x)有兩個(gè)零點(diǎn),不符合題意.綜上,a的取值集合為{1}. (3)①先證x1+x2>2.依題設(shè),有a=+lnx1=+lnx2,于是=ln. 記=t,t>1,則lnt=,故x1=,于是,x1+x2=x1(t+1)=,x1+x2-2=. 記函數(shù)k(x)=-lnx,當(dāng)x>1時(shí),因?yàn)閗(x)=>0,故k(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增. 于是當(dāng)t>1時(shí),k(t)>k(1)=0.又lnt>0,所以x1+x2>2.②再證x1+x2<3ea-1-1.因?yàn)閒(x)-g(x)=0?m(x)=ax-1-xlnx=0,故x1,x2也是m(x)的兩個(gè)零點(diǎn). 由m(x)=a-1-lnx=0,得x=ea-1(記p=ea-1).易知,x=ea-1是m(x)的唯一最大值點(diǎn),故有 設(shè)函數(shù)r(x)=lnx--lnp,則r(x)=≥0,故r(x)單調(diào)遞增.故當(dāng)x>p時(shí),r(x)>r(p)=0;當(dāng)00,即-(3ea-1-1)x1+ea-1>0. 同理得-(3ea-1-1)x2+ea-1<0. 故-(3ea-1-1)x2+ea-1<-(3ea-1-1)x1+ea-1,(x2+x1)(x2-x1)<(3ea-1-1)(x2-x1), 于是,x1+x2<3ea-1-1.綜上,2b,求證:a-b+≥. 【答案】因?yàn)閍>b,所以a-b>0,所以a-b+[(a-b)+(a-b)+]≥3,所以原不等式成立. 【解析】本題主要考查算術(shù)—幾何平均不等式及其應(yīng)用等知識(shí),考查轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)算能力.求解本題的關(guān)鍵是利用配湊法把不等式左邊配成符合算術(shù)—幾何平均不等式的形式. 【備注】“不等式選講”是必修部分不等式內(nèi)容的拓展,絕對(duì)值不等式的求解、不等式的證明方法(比較法、綜合法、分析法)、不等式的基本性質(zhì)、利用不等式求最值等是高考考查的重點(diǎn).另外,雖然算術(shù)-幾何平均不等式與柯西不等式的考查要求為A級(jí),但也有可能成為高考考查的對(duì)象,復(fù)習(xí)時(shí)要通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)進(jìn)行強(qiáng)化. 25．如圖,四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,且AB∥CD,AD⊥CD,PD=CD=2,AD=AB=1. (1)求異面直線AD與PB所成角的余弦值; (2)求二面角P-AC-D的正弦值. 【答案】(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,CD?平面ABCD, 所以PD⊥AD,PD⊥CD.又AD⊥CD,所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DP所在的直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則D(0,0,0),P(0,0,2),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),所以=(1,0,0),=(1,1,-2).設(shè)異面直線AD與PB所成的角為θ,則cosθ=|cos<,>|=||=. 故異面直線AD與PB所成角的余弦值為. (2)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以平面DAC的一個(gè)法向量為=(0,0,2). 設(shè)平面PAC的法向量為n=(x,y,z),則n⊥,n⊥. 又=(1,0,-2),=(-1,2,0), 所以x-2z=0且-x+2y=0,令z=1,得x=2,y=1, 則n=(2,1,1)為平面PAC的一個(gè)法向量.設(shè)二面角P-AC-D的大小為φ(由圖可知φ為銳角), 則cosφ=|cos<,n>|=||=. 所以sinφ=,故二面角P-AC-D的正弦值為. 【解析】本題主要考查異面直線所成的角、二面角等知識(shí),考查考生利用空間向量解決立體幾何的相關(guān)問題,考查考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力. 【備注】利用空間向量解決立體幾何的相關(guān)問題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一,每隔一年便會(huì)考查一次,其常見的解題思路是利用直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系去證明線線、線面的位置關(guān)系,解決相關(guān)線線角、線面角、二面角等空間角的問題.復(fù)習(xí)中,考生要高度重視,關(guān)鍵要熟知原理,把握方法,準(zhǔn)確求解. 26．已知非空有限實(shí)數(shù)集S的所有非空子集依次記為S1,S2,S3,…,集合Sk(k=1,2,…)中所有元素的平均值記為bk.將所有bk組成數(shù)組T:b1,b2,b3,…,數(shù)組T中所有數(shù)的平均值記為m(T). (1)若S={1,2},求m(T); (2)若S={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥2),求m(T). 【答案】(1)S={1,2}的所有非空子集為{1},{2},{1,2},所以數(shù)組T為1,2,.因此m(T)=.(2)因?yàn)镾={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥2),所以m(T)= ai. 又,所以m(T)=ai=ai.