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2019-2020年高考數(shù)學(xué)備考試題庫(kù) 第八章 第7節(jié) 拋物線 文（含解析） 1．(xx天津，5分)已知雙曲線 －＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l 上，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選A　由題意可得＝2，c＝5，所以c2＝a2＋b2＝5a2＝25，解得a2＝5，b2＝20，則所求雙曲線的方程為－＝1. 2．(xx江西，5分)過雙曲線C：－＝1 的右頂點(diǎn)作x 軸的垂線，與C 的一條漸近線相交于一點(diǎn)A.若以 C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過 A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C 的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選A　設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，則F(c,0)(其中c＝)，且c＝|OF|＝r＝4，不妨將直線x＝a代入雙曲線的一條漸近線方程y＝x，得y＝b，則A(a，b)． 由|FA|＝r＝4，得 ＝4， 即a2－8a＋16＋b2＝16， 所以c2－8a＝0，所以8a＝c2＝42，解得a＝2， 所以b2＝c2－a2＝16－4＝12， 所以所求雙曲線的方程為－＝1. 3．(xx北京，5分)設(shè)雙曲線C 的兩個(gè)焦點(diǎn)為(－，0)，(，0)，一個(gè)頂點(diǎn)是(1,0)，則C 的方程為________． 解析：根據(jù)已知條件可判斷雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，所以a＝1，c＝，于是b2＝c2－a2＝1，所以方程為x2－y2＝1. 答案：x2－y2＝1 4．(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，5分)已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝(　　) A．2 B. C. D．1 解析：選D　因?yàn)殡p曲線的方程為－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.選D. 5．(xx廣東，5分)若實(shí)數(shù)k 滿足00，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C．4 D. 解析：選D　根據(jù)已知條件，知||PF1|－|PF2||＝2a，所以4a2＝b2－3ab，所以b＝4a，雙曲線的離心率e＝＝＝，選D. 7．(xx湖北，5分)設(shè)a，b 是關(guān)于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0 的兩個(gè)不等實(shí)根，則過 A(a，a2)，B(b，b2) 兩點(diǎn)的直線與雙曲線 －＝1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選A　關(guān)于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的兩個(gè)不等實(shí)根為0，－tan θ(tan θ≠0)，則過A，B兩點(diǎn)的直線方程為y＝－xtan θ，雙曲線－＝1的漸近線為y＝xtan θ，所以直線y＝－xtan θ與雙曲線沒有公共點(diǎn)．故選A. 8. (xx山東，5分)已知雙曲線 －＝1(a>0，b>0)的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F.若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為 2c，且|FA|＝c，則雙曲線的漸近線方程為________． 解析：拋物線x2＝2py的準(zhǔn)線方程為y＝－，與雙曲線的方程聯(lián)立得x2＝a2， 根據(jù)已知得a2＝c2.　?、? 由|AF|＝c，得＋a2＝c2. ② 由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求雙曲線的漸近線方程是y＝x. 答案：y＝x 9．(xx浙江，5分)設(shè)直線x－3y＋m＝0(m≠0) 與雙曲線－＝1(a>0，b>0) 的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn) P(m,0)滿足|PA|＝|PB| ，則該雙曲線的離心率是________． 解析：聯(lián)立直線方程與雙曲線漸近線方程y＝x可解得交點(diǎn)為，，而kAB＝，由|PA|＝|PB|，可得AB的中點(diǎn)與點(diǎn)P連線的斜率為－3，即＝－3，化簡(jiǎn)得4b2＝a2，所以e＝. 答案： 10．(xx四川，5分)雙曲線－y2＝1的離心率等于________． 解析：由雙曲線的方程易得a＝2，b＝1，c＝，故離心率e＝＝. 答案： 11．（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，5分）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　) A．2　　　　　　　　 B．2 C．2 D．4 解析：本題主要考查拋物線的定義、數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算能力．由題意知拋物線的焦點(diǎn)F(，0)，如圖，由拋物線定義知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4，所以xP＝3，代入拋物線方程求得yP＝2，所以S△POF＝|OF|yP＝2. 答案：C　 12．（xx山東，5分）拋物線C1：y＝x2(p＞0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平等于C2的一條漸近線，則p＝(　　) A. B. C. D. 解析：本題主要考查了拋物線和雙曲線的概念、性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的意義，進(jìn)一步考查了運(yùn)算求解能力．由圖(圖略)可知，與C1在點(diǎn)M處的切線平行的漸近線方程為y＝x.設(shè)M，則利用求導(dǎo)得切線的斜率為＝，p＝t.易知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，則點(diǎn)，(2,0)，共線，所以＝，解得t＝，所以p＝. 答案：D　 13．（xx江西，5分）已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|∶|MN|＝(　　) A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3 解析：本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想與分析、解決問題的能力．過點(diǎn)M作MM′垂直于準(zhǔn)線y＝－1于點(diǎn)M′，則由拋物線的定義知|MM′|＝|FM|，所以＝＝sin ∠MNM′，而∠MNM′為直線FA的傾斜角α的補(bǔ)角． 因?yàn)橹本€FA過點(diǎn)A(2,0)，F(xiàn)(0,1)，所以kFA＝－＝tan α，所以sin α＝，所以sin ∠MNM′＝ .故|FM|∶|MN|＝1∶. 答案：C 14．（xx北京，5分）若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為________． 解析：本題主要考查拋物線的方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力． 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以＝1，p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝－＝－1. 答案：2　x＝－1 15．（xx浙江，14分）已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)． (1)求拋物線C的方程； (2) 過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．若直線AO，BO分別交直線l：y＝x－2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值． 解：本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力． (1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，則＝1， 所以拋物線C的方程為x2＝4y. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1. 由消去y，整理得x2－4kx－4＝0， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 從而|x1－x2|＝4. 由 解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM＝＝＝. 同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN＝. 所以|MN|＝|xM－xN| ＝ ＝8 ＝. 令4k－3＝t，t≠0，則k＝. 當(dāng)t>0時(shí)，|MN|＝2 >2. 當(dāng)t<0時(shí)， |MN|＝2 ≥. 綜上所述，當(dāng)t＝－，即k＝－時(shí)，|MN|的最小值是. 16．（xx山東，5分）已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng)　　　　　　　　　　　　 B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 解析：雙曲線的漸近線方程為y＝x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝x.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，所以＝2，所以p＝8，所以拋物線方程為x2＝16y. 答案：D 17．（xx安徽，5分）過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3，則|BF|＝________. 解析：拋物線y2＝4x準(zhǔn)線為x＝－1，焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由拋物線的定義可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝2，由拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，假設(shè)A(2,2)，由A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線可知直線AB的方程為y－0＝2(x－1)，代入拋物線方程消去y得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故|BF|＝. 答案： 18.（xx陜西，5分）右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬______米． 解析：以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py，則點(diǎn)(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當(dāng)y＝－3時(shí)，x2＝6，所以水面寬為2. 答案：2 19．（xx江西，13分）已知三點(diǎn)O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點(diǎn)M(x，y)滿足|＋|＝(＋)＋2. (1)求曲線C的方程； (2)點(diǎn)Q(x0，y0)(－24即可．根據(jù)拋物線定義，|FM|＝y(tǒng)0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范圍是(2，＋∞)． 答案：C 22．（2011遼寧，5分）已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B．1 C. D. 解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|＋|BF|)－＝－＝. 答案：C 23．（xx湖南，5分）設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：由拋物線的方程得＝＝2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6. 答案：B