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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 章末總結(jié) 新人教A版選修1-1 知識點(diǎn)一　圓錐曲線的定義和性質(zhì) 對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略；應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，要注意與數(shù)形結(jié)合思想、方程思想結(jié)合起來．總之，圓錐曲線的定義、性質(zhì)在解題中有重要作用，要注意靈活運(yùn)用． 例1　已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60，S△PF1F2＝12，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 知識點(diǎn)二　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線一般有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離． 在直線與雙曲線、拋物線的位置關(guān)系中有一種情況，即直線與其交于一點(diǎn)和切于一點(diǎn)，二者在幾何意義上是截然不同的，反映在代數(shù)方程上也是完全不同的，這在解題中既是一個(gè)難點(diǎn)也是一個(gè)十分容易被忽視的地方．圓錐曲線的切線是圓錐曲線的割線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)無限靠近時(shí)的極限情況，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即判別式等于零；而與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)的直線，是一種特殊的情況(拋物線中與對稱軸平行，雙曲線中與漸近線平行)，反映在消元后的方程上，該方程是一次的． 例2　 如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P(2，0)且斜率為k的直線l交拋物線y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點(diǎn)． (1)求x1x2與y1y2的值； (2)求證：OM⊥ON. 知識點(diǎn)三　軌跡問題 軌跡是解析幾何的基本問題，求解的方法有以下幾種： (1)直接法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動點(diǎn)為(x，y)，根據(jù)幾何條件直接尋求x、y之間的關(guān)系式． (2)代入法：利用所求曲線上的動點(diǎn)與某一已知曲線上的動點(diǎn)的關(guān)系，把所求動點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知動點(diǎn)．具體地說，就是用所求動點(diǎn)的坐標(biāo)x、y來表示已知動點(diǎn)的坐標(biāo)并代入已知動點(diǎn)滿足的曲線的方程，由此即可求得所求動點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系式． (3)定義法：如果所給幾何條件正好符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點(diǎn)的軌跡方程． (4)參數(shù)法：當(dāng)很難找到形成曲線的動點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y所滿足的關(guān)系式時(shí)，借助第三個(gè)變量t，建立t和x，t和y的關(guān)系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通過一些條件消掉t就間接地找到了x和y所滿足的方程，從而求出動點(diǎn)P(x，y)所形成的曲線的普通方程． 例3　設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線y2＝4px (p>0)上除原點(diǎn)O以外的兩個(gè)動點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足為M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？ 知識點(diǎn)四　圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是明確的，定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的某個(gè)點(diǎn)或值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量． 例4　若直線l：y＝kx＋m與橢圓＋＝1相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左、右頂點(diǎn))，A2為橢圓的右頂點(diǎn)且AA2⊥BA2，求證：直線l過定點(diǎn)． 知識點(diǎn)五　圓錐曲線中的最值、范圍問題 圓錐曲線中的最值、范圍問題，是高考熱點(diǎn)，主要有以下兩種求解策略： (1)平面幾何法 平面幾何法求最值問題，主要是運(yùn)用圓錐曲線的定義和平面幾何知識求解． (2)目標(biāo)函數(shù)法 建立目標(biāo)函數(shù)解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，是常規(guī)方法，其關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確定最值． 例5　已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓＋＝1內(nèi)的兩定點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上的動點(diǎn)，求|MA|＋|MB|的最值． 例6　已知F1、F2為橢圓x2＋＝1的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是過焦點(diǎn)F1的一條動弦，求△ABF2面積的最大值． 章末總結(jié) 答案 重點(diǎn)解讀 例1　解　 如圖所示，設(shè)雙曲線方程為－＝1 (a>0，b>0)． ∵e＝＝2，∴c＝2a. 由雙曲線的定義， 得||PF1|－|PF2||＝2a＝c， 在△PF1F2中，由余弦定理，得： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60 ＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60)， 即4c2＝c2＋|PF1||PF2|. ① 又S△PF1F2＝12， ∴|PF1||PF2|sin 60＝12， 即|PF1||PF2|＝48. ② 由①②，得c2＝16，c＝4， 則a＝2，b2＝c2－a2＝12， ∴所求的雙曲線方程為－＝1. 例2　(1)解　過點(diǎn)P(2,0)且斜率為k的直線方程為：y＝k(x－2)． 把y＝k(x－2)代入y2＝2x， 消去y得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0， 由于直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)， 故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0， x1x2＝4，x1＋x2＝4＋， ∵M(jìn)、N兩點(diǎn)在拋物線上， ∴yy＝4x1x2＝16， 而y1y2<0，∴y1y2＝－4. （2）證明 ∵ ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， ＝x1x2＋y1y2＝4－4＝0. ⊥，即OM⊥ON. 例3　解　設(shè)直線OA的方程為y＝kx (k≠1，因?yàn)楫?dāng)k＝1時(shí)，直線AB的斜率不存在)，則直線OB的方程為y＝－， 進(jìn)而可求A、B(4pk2，－4pk)． 于是直線AB的斜率為kAB＝， 從而kOM＝， ∴直線OM的方程為y＝x， ① 直線AB的方程為y＋4pk＝(x－4pk2)． ② 將①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)， 即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)， ③ 又k2x－ky＝x，代入③式并化簡， 得(x－2p)2＋y2＝4p2. 當(dāng)k＝1時(shí)，易求得直線AB的方程為x＝4p. 故此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)上． ∴點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)， ∴其軌跡是以(2p,0)為圓心，半徑為2p的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)． 例4　 證明　設(shè)A(x1，y1)， B(x2，y2)， 聯(lián)立 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， 則 即 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2 ＝. ∵橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2⊥BA2， ∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0. ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0. ∴＋＋＋4＝0. ∴7m2＋16km＋4k2＝0， 解得m1＝－2k，m2＝－，且均滿足3＋4k2－m2>0. 當(dāng)m1＝－2k時(shí)，l的方程為y＝k(x－2)， 直線過定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾． 當(dāng)m2＝－時(shí)，l的方程為y＝k，直線過定點(diǎn)， ∴直線l過定點(diǎn)． 例5　解　因?yàn)锳(4,0)是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)A′為橢圓的左 焦點(diǎn)，則A′(－4,0)，由橢圓定義知|MA|＋|MA′|＝10. 如圖所示，則|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|＋|MB|－|MA′|＝10＋|MB|－|MA′|≤ 10＋|A′B|. 當(dāng)點(diǎn)M在BA′的延長線上時(shí)取等號． 所以當(dāng)M為射線BA′與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， (|MA|＋|MB|)max＝10＋|A′B|＝10＋2. 又如圖所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|－|MA′|＋|MB| ＝10－(|MA′|－|MB|) ≥10－|A′B|， 當(dāng)M在A′B的延長線上時(shí)取等號． 所以當(dāng)M為射線A′B與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， (|MA|＋|MB|)min＝10－|A′B|＝10－2. 例6　解　由題意，|F1F2|＝2. 設(shè)直線AB方程為y＝kx＋1， 代入橢圓方程2x2＋y2＝2， 得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 則xA＋xB＝－，xAxB＝－， ∴|xA－xB|＝. S△ABF2＝|F1F2||xA－xB| ＝2 ＝2 ≤2＝. 當(dāng)＝，即k＝0時(shí)， S△ABF2有最大面積為.