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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導(dǎo)講座 第二十八講 避免漏解的奧秘 “會而不對，對而不全”，這是許多同學在解題時無法避免而又屢犯不止的錯誤，提高解題周密性，避免漏解的奧秘在于：掌握分類討論法，學會分類討論． 分類討論就是按照一定的標準，把研究對象分成幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結(jié)作出結(jié)論的思想方法，其實質(zhì)是化整為零、各個擊破的轉(zhuǎn)化策略． 解題時何時需要進行分類?一般來說，當問題包含的因素發(fā)生變化，問題結(jié)果也相應(yīng)發(fā)生變化，我們就需要對這一關(guān)鍵因素分類討論，怎樣進行正確分類?分類的基本要求是不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持同一的分類標準，多級討論，逐級進行． 【例題求解】 【例1】 四條線段的長分別為9，5，，1(其中為正實數(shù))，用它們拼成兩個直角三角形，且AB與CD是其中的兩條線段(如圖)，則可取值的個數(shù)為 ． 思路點撥 AB是四條線段中最長的，故AB=9或AB=，又CD長不定，所以應(yīng)就AB、CD的取值作全面討論． 注：初中數(shù)學常見的分類方法有： (1)按定義、性質(zhì)、法則、公式分類； (2)對參數(shù)分類； (3)按圖形位置分類； (4)按圖形特征分類； (5)按余數(shù)分類． 注：參數(shù)是較為常見的分類對象，因為參數(shù)的不同取值，可能導(dǎo)致不同的運算結(jié)果，或者必須使用不同的方法去解決，這一分類方法在方程、不等式、函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用． 【例2】 方程的所有整數(shù)解的個數(shù)是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 思路點撥 這是一個特殊的冪指數(shù)方程問題，根據(jù)冪指數(shù)的意義，可將原問題分成三個并列的簡單問題求解：(1)非零實數(shù)的零次冪等于1；(2)1的任何次冪等于1；(3)的偶次冪等于1． 【例3】 試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根． 思路點撥 根據(jù)方程定義，是否為零影響方程的次數(shù)，這是質(zhì)的不同，解法也不同，所以，應(yīng)對r=0及≠0兩種情況分類求解． 【例4】 已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC邊的長為10，∠B和∠C都為銳角，M為AB邊上的一動點(M與點A、B不重合)．過點M作MN∥BC，交AC于點N．設(shè)MN=． (1)用表示△AMN的面積S△AMN； (2)用△AMN沿MN折疊，使△AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi))，設(shè)點A落在平面BCNM內(nèi)的點為A′，△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為．①試求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；②當為何值時重疊部分的面積最大，最大為多少? 思路點撥 折疊△AMN，A點位置不確定，可能在△ABC內(nèi)或在BC邊上或在△ABC外，故需按以上三種情況分別求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，進而求出的最大值． 注：有關(guān)平面幾何問題，經(jīng)常按圖形相互之間的位置進行分類，因為圖形存在不同的位置關(guān)系，其解答結(jié)果可能不同，也可能需要使用不同的方法解決，初中平面幾何按位置關(guān)系分類，最終一般都歸結(jié)為點、直線和圓之間的位置關(guān)系． 【例5】 已知⊙Ol與⊙O2外切，⊙Ol的半徑R=2，設(shè)⊙O2的半徑是r． (1)如果⊙Ol與⊙O2的圓心距d=4，求r的值； (2)如果⊙Ol、⊙O2的公切線中有兩條互相垂直，并且r≤R，求r的值． 思路點撥 題中沒有給出圖形，題設(shè)中外切兩圓的公切線中有兩條互相垂直，情況不惟一，故應(yīng)分類討論． 注：中考壓軸題分類討論有以下常見情形： (1)由點的不確定定引起的分類討論； (2)由圖形全等或相似的對應(yīng)關(guān)系的不確定性引起的分類討論； (3)由圖形運動導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化引起的分類討論． 學力訓練 1．已知m為實數(shù)，如果函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，那么m的取值為 ． 2．若實數(shù)、滿足，，則的值為 ． 3．若半徑為5和4的兩個圓相交，且公共弦長為6，則它們的圓心距等于 ． 4．已知⊙O和不在⊙O上的一點P，過P直線交⊙O于A、B點，若PAPB=4，OP=5，則⊙O的半徑為 ． 5．和拋物線只有一個公共點(-1，-1)的直線解析式為( ) A． B． C．或 D． 6．若線段AB兩端點到直線的距離分別為4和8，則AB的中點到直線的距離是( ) A．2 B．4 C．6 D．2或6 7．點A(-4，0)，B(2，0)是坐標平面上兩定點，C是的圖象上的動點，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出( ) A．1個 B．2個 C． 3個 D．4個 8．如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果邊AB上的點P使得以P、A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似，那么這樣的P點有( ) A．1個 B． 2個 C．3個 D．4個 9．已知關(guān)于的方程． (1)求證：無論是取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根； (2)若等腰三角形ABC的一邊長，另兩邊長為、恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長． 10．已知：如圖，拋物線C1經(jīng)過A，B，C三點，頂點為D，且與x軸的另一個交點為E． （1）求拋物線C1的解析式； （2）求四邊形ABCD的面積； （3）△AOB與△BDE是否相似，如果相似，請予以證明；如果不相似，請說明理由； （4）設(shè)拋物線C1的對稱軸與x軸交于點F，另一條拋物線C2經(jīng)過點E（拋物線C2與拋物線C1不重合），且頂點為M（a，b），對稱軸與x軸相交于點G，且以M，G，E為頂點的三角形與以D，E，F(xiàn)為頂點的三角形全等，求a，b的值（只需寫出結(jié)果，不必寫出解答過程） 11．以O(shè)為圓心的兩個同心圓的半徑分別為9cm和5cm，⊙O′與這兩個圓都相切，則⊙O′的半徑是 ． 12．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50，則底角B的大小為 ． 13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則R的取值范圍是 ． 14．已知點A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中m<6，以M為圓心，MC為半徑作圓，那么當m= 時，⊙M與直線AB相切． 15．關(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)是的值． 16．華鑫超市對顧客實行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下： (1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠； (2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優(yōu)惠； (3)若一次購物超過500元，其中500元的部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠． 小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元，現(xiàn)在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少? 17．如圖，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上(與點A、C不重合)，Q點在BC上． (1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長； (2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長； (3)試問：在AB上是否存在點M，使得△PQM為等腰直角三角形?若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出PQ的長． 18．已知關(guān)于的方程(q≥0)的兩個實數(shù)根為，且≤． (1)試用含有，的代數(shù)式表示和； (2)求證：≤1≤ (3)若以，為坐標的點M(，)在△ABC的三條邊上運動，且△ABC頂點的坐標分別為A(1，2)，B(，1)，C(1，1)，問是否存在點M使+=，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由． 19．某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖甲的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖乙表示的拋物線段表示． (1)寫出圖甲表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系；寫出圖乙表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式． (2)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?(注：市場售價和種植成本的單位：元／102㎏，時間單位：天) 參考答案