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2019-2020年八年級數(shù)學下冊 18.1勾股定理第三課時教案 人教新課標版 三維目標 一、知識與技能 能將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題． 二、過程與方法 1．經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學模型過程，并能用勾股定理來解決此問題，發(fā)展學生的應用意識． 2．在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，發(fā)展學生的實踐能力和創(chuàng)新精神． 3．在解決實際問題的過程中，學會與人合作，并能與他人交流思維過程和結(jié)果，形成反思的意識． 三、情感態(tài)度與價值觀 1．在用勾股定理探索實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心． 2．在解決實際問題的過程中形成實事求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考的習慣． 教學重點 將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型． 教學難點 如何用解直角三角形的知識和勾股定理解決實際問題． 教具準備 多媒體課件． 教學過程 一、創(chuàng)設情境，引入新課 活動1 問題：欲登12米高的建筑物，為完全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長的梯子？ 設計意圖： 勾股定理是幾何中幾個最重要的定理之一，它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數(shù)量關系，它可以解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一，在生產(chǎn)生活實際中用途很大．它不僅在數(shù)學中，而且在其他自然科學中也被廣泛的應用． 此活動讓學生體驗勾股定理在生活中的一個簡單應用． 師生行為： 學生分小組討論，建立直角三角形的數(shù)學模型． 教師深入小組活動中，傾聽學生的想法． 此活動，教師應重點關注： ①學生能否將簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型； ②學生能否利用勾股定理解決實際問題并給予解釋； ③學生參加數(shù)學活動是否積極主動． 生：根據(jù)題意，（如圖）AC是建筑物，則AC=12m，BC=5m，AB是梯子的長度．所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13m． 所以至少需13m長的梯子． 師：很好！ 由勾股定理可知，已知兩直角邊的長a，b，就可以求出斜邊c的長．由勾股定理可得a2=c2-b2或b2=c2-a2，由此可知已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊，也就是說，在直角三角形中，已知兩邊就可求出第三邊的長． 二、講授新課 活動2 問題：一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？ 設計意圖： 進一步體會勾股定理在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，提高解決實際問題的能力． 師生行為： 學生分組討論、交流，教師深入學生的數(shù)學活動中，引導他們發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問題的途徑． 教師在此活動中應重點關注： ①學生能否獨立思考，發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑比較AC與寬2.2m的大小即可； ②學生遇到困難，能否有克服的勇氣和堅強的毅力． 生：從題意可以看出，木板橫著進，豎著進，都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過． 生：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板是否通過． 師生共析： 解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理AC2=AB2+BC2=12+22=52． 因此AC≈≈2.236． 因為AC>木板的寬，所以木板可以從門框內(nèi)通過． 活動3 問題：如圖，一個3m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？ 設計意圖： 進一步熟悉如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題，發(fā)展學生的應用意識和應用能力． 師生行為： 學生獨立思考后，在小組內(nèi)交流合作． 教師深入到學生的數(shù)學活動中，傾聽他們是如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的． 教師在此活動中應重點關注： ①學生克服困難的勇氣和堅強的意志力； ②學生用數(shù)學知識解決實際問題的意識． 生：梯子底端B隨著梯子頂端A沿墻下滑而外移到D，即BD的長度就是梯子外移的距離． 觀察圖形，可以看到BD=OD-OB，求BD可以先求出OB，OD． 師：OB，OD如何求呢？ 生：根據(jù)勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，所以OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752． OB≈1.658m（精確到0.001m） 在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，所以OD2=CD2-OC2=32-22=5． OD≈2.336m（精確到0.001） BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m（精確到0.01m），所以梯子頂端沿墻下滑0.5m，梯子底端外移0.58m． 活動4 問題：“執(zhí)竿進屋”：笨人持竿要進屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭．有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角．笨伯依言試一試，不多不少剛抵足．借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服． ──當代數(shù)學教育家清華大學教授 許莼舫著作《古算題味》 設計意圖： 通過古代算題的研究，揭發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，進一步提高學習數(shù)學應用數(shù)學知識的能力． 師生行為： 學生先獨立思考，讀懂題意，后小組交流、討論、合作完成本活動． 教師深入到學生的數(shù)學活動中去，傾聽學生理解題意，尋找解題思路的過程． 本活動教師應重點關注： ①學生能否積極主動地參與； ②學生能否運用勾股定理，借助方程（或方程組）解決問題． 生：解：設竿長為x尺，門框的寬度為（x-4）尺，高度為（x-2）尺，根據(jù)題意和勾股定理，得 x2=（x-4）2+（x-2）2． 化簡，得x2-12x+20=0， （x-10）（x-2）=0， x1=10，x2=2（不合題意，舍去）． 所以竿長為10尺． 三、鞏固提高 活動5 練習：1．有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長（結(jié)果保留整數(shù)）． 2．如下圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上一點，測得CB=60m，AC=20m，你能求出A、B兩點間的距離嗎？ 設計意圖： 進一步提高學生應用勾股定理解決問題的能力．提高學生學習數(shù)學的興趣． 師生行為： 由學生在黑板上板演，其他同學在練習本上完成，教師可巡視學生完成的情況，對程度較差的學生給予及時的輔導． 在本活動中，教師應重點關注： ①學生能否獨立完成任務； ②學生解答的過程是否嚴格規(guī)范． 生：1．解：設圓的直徑為xdm，根據(jù)勾股定理，得502+502=x2， 解得x≈71． 所以圓的直徑改為71dm． 2．解：如右圖，在Rt△ABC中，AC=20m，BC=60m，根據(jù)勾股定理，得 AB2=BC2-AC2=602-202=3 200，AB=40． 所以A，B兩點間的距離為40m． 四、課時小結(jié) 活動6 問題：談談你這節(jié)課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單應用題；學會構造直角三角形． 設計意圖： 通過本節(jié)，讓學生利用勾股定理，完成了將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學模型的全過程． 師生行為： 學生思考總結(jié)． 教師完善，得出結(jié)論： 本節(jié)是從實際問題出發(fā)，轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解決． 在活動6中，教師應重點關注： （1）學生能否從實際問題出發(fā)，將實際問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的問題，并用勾股定理完成解決，體驗勾股定理的重要性； （2）完成是否積極主動地參與小結(jié)． 板書設計 18．1 勾股定理（三） 活動與探究 一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B點，那么沿哪條路爬最近？你能幫它找出來嗎？（這個長方體的長為15厘米，寬為10厘米，高為20厘米，點B離點C5厘米） 過程：要求螞蟻爬行的最短路徑，需將空間圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，即將A和B所在的相鄰的兩個面展示，利用“兩點之間，線段最短”，就可求得． 結(jié)果：根據(jù)題意，最短路徑有下列三種情況（如下圖所示）． 由圖（1）求得AB2=AB12+BB12=152+202=625； 由圖（2）求得AB2=BC12+C1A2=252+102=725； 由圖（3）求得AB2=AC2+BC2=302+52=925． 比較上面結(jié)果，可知最短路徑應為AB=25厘米． 備課資料 一、雅典涼席 畢達哥拉斯平日生活簡樸，他的一張雅典涼席（草編的帶有綠方格的席子）已伴隨他十幾個春秋了，夏天又快到了，他的妻子將草席破損處剪去后，剩下一個不方不正的殘片（如下圖）． “換一張新的吧！”畢氏的妻子嘟噥著，“實在不能用了．” 正在一旁演算題目的畢氏放下手中的筆，看了看那塊被妻子剪裁后的草席道：“把它裁裁拼拼還能用一夏天”．說完他想了一陣，便用手在席子上比劃著說：“這樣裁成3塊（如上圖中粗線所示部分），便可將它們拼成一個正方形．” 畢氏說完，妻子看了看又想了一陣說：“你這裁法拼起來太麻煩，還有別的更好的裁法嗎？” 畢氏又想了一陣，還是把殘草席裁成了3塊（圖（1）），用它們拼成了一個正方形涼席（圖（2）），并且花紋也沒有被打亂，妻子看后很滿意． 你能試試將按第一種裁法得到的3個圖形拼成一個正方形嗎？ 二、考慮練習 1．某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B 200米，結(jié)果他在水中實際游了520米，求該河流的寬度． 2．如下圖，要修一個育苗棚，棚寬a=2m，b=1.5m，長d=16m，求覆蓋在頂上的塑料薄膜需多少平方米？ 答案：1．約480m 2．40m2