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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十六講 開放性問題評說 一個數(shù)學(xué)問題的構(gòu)成含有四個要素：題目的條件、解題的依據(jù)、解題的方法、題目的結(jié)論，如果題目所含的四個要素是解題者已經(jīng)知道，或者結(jié)論雖未指明，但它是完全確定的，這樣的問題就是封閉性的數(shù)學(xué)問題． 開放性問題是相對于封閉性問題而言，從所呈現(xiàn)問題的方式看，有下列幾種基本形式： 1．條件開放題 稱條件不充分或沒有確定已知條件的開放性問題為條件開放題，解題時需執(zhí)果尋因，根據(jù)結(jié)論和已有的已知條件，尋找使得結(jié)論成立的其他條件． 2．結(jié)論開放題 稱結(jié)論不確定或沒有確定結(jié)論的開放性問題為結(jié)論開放題，解題時需由因?qū)Ч?，由已知條件導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論． 3．判斷性開放題 稱判定幾何圖形的形狀大小、圖形的位置關(guān)系、方程(組)的解的情況或判定具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象是否存在的開放題問題稱為判斷性開放題，解題的基本思路是：由已知條件及知識作出判斷，然后加以證明． 【例題求解】 【例1】 如圖，⊙O與⊙O1外切于點T，PT為其內(nèi)公切線，AB為其外公切線，且A、B為切點，AB與PT相交于點P，根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段，請寫出一個正確結(jié)論，并加以證明． 思路點撥 為了能寫出更多的正確結(jié)論，我們可以從以下幾分角度作探索，線段關(guān)系，角的關(guān)系、三角形的關(guān)系及由此推出的相應(yīng)結(jié)論． 注：明確要求將數(shù)學(xué)開放性題作為中考試題，還是近一二年的事情．開放性問題沒有明確的目標(biāo)和解題方向，留有極大的探索空間． ⌒ 解開放性問題，不具有定向的解題思路，解題時總要有合情合理、實事求是的分析，要把歸納與演繹協(xié)調(diào)配合起來，把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相互結(jié)合起來，把一般能力和數(shù)學(xué)能力 同時發(fā)揮出來．杭州市對本例評分標(biāo)準(zhǔn)是以正確結(jié)論的難易程度為標(biāo)準(zhǔn)靈活打分，分值直接反映考生的能力及創(chuàng)新性． 【例2】 如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，A是BD的中點，過A點的切線與CB的延長線交于點E． ⌒ (1)求證：ABDA=COBE； (2)若點E在CB延長線上運動，點A在BD上運動，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA，其他條件不變，問具備什么條件使原結(jié)論成立? (要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明) 思路點撥 對于(2)，能畫出圖形盡可能畫出圖形，要使結(jié)論ABDA=CDBE成立，即要證△ABE∽△CDA，已有條件∠ABE=∠CDA，還需增加等角條件，這可由多種途徑得到． 注：許多開放性問題解題思路也是開放的(多角度、多維度思考)，探索的條件或結(jié)論并不惟一．故解開放性問題，應(yīng)盡可能深入探究，發(fā)散思維，提高思維的品質(zhì)，切忌入寶山而空返． 【例3】(1)如圖1，若⊙O1與⊙O2外切于A，BC是⊙O1與⊙O2外公切線，B、C為切點，求證：AB⊥AC． (2)如圖2，若⊙O1與⊙O2外離，BC是⊙O1與⊙O2的外公切線，B、C為切點，連心線O1 O2分別交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN的延長線交于P，則BP與CP是否垂直?證明你的結(jié)論． (3)如圖3，若⊙O1與⊙O2相交，BC是⊙O1與⊙O2的公切線，B、C為切點，連心線O1 O2分別交⊙O1、⊙O2于M、N，Q是線段MN上一點，連結(jié)BQ、CQ，則BQ與CQ是否垂直?證明你的結(jié)論． 思路點撥 本例是在基本條件不變的情況下，通過運動改變兩圓的位置而設(shè)計的，在運動變化中，結(jié)論可能改變或不變，關(guān)鍵是把(1)的證法類比運用到(2)、(3)問題中． 注：開放性問題還有以下呈現(xiàn)方式： (1)先提出特殊情況進(jìn)行研究，再要求歸納猜測和確定一般結(jié)論； (2)先對某一給定條件和結(jié)論的問題進(jìn)行研究，再探討改變條件時其結(jié)論應(yīng)發(fā)生的變化，或改變結(jié)論時其條件相應(yīng)發(fā)生的變化． 【例4】 已知直線 (>0)與軸、軸分別交于A、C兩點，開口向上的拋物線過A、C兩點，且與軸交于另一點B． (1)如果A、B兩點到原點O的距離AO、BO滿足AO＝3BO，點B到直線AC的距離等于，求這條直線和拋物線的解析式； (2)是否存在這樣的拋物線，使得tan∠ACB=2，且△ABC外接圓截得軸所得的弦長等于5？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由． 思路點撥 (1)通過“點B到直線AC的距離等于”，利用等積變換求出A、B兩點的距離；(2)先假設(shè)存在這樣的拋物線，再由條件推理計算求得，最后加以驗證即可． 注：解存在性開放問題的基本方法是假設(shè)求解法，即假設(shè)存在→演繹推理→得出結(jié)論(合理或矛盾)． 【例5】 如圖，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把它與正三角形的接近程度稱為“正度”．在研究“正度”時，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等． 設(shè)等腰三角形的底和腰分別為、，底角和頂角分別為、．要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)． 同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形； 同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形． 探究：（1）他們的方案哪個較為合理，為什么? (2)對你認(rèn)為不夠合理的方案，請加以改進(jìn)(給出式子即可)； （3）請再給出一種衡量“正度”的表達(dá)式． 思路點撥 通過閱讀，正確理解“正度”這個新概念，同時也要抓住“在研究‘正度’時，應(yīng)保證相似三角形的‘正度’相等”這句話的實質(zhì)，可先采取舉實例加深對“正度”的理解，再判斷方案的合理性并改進(jìn)方法． 注：（1）解結(jié)論開放題往往要充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，通過觀察、比較、聯(lián)想、猜測、推理和截判斷等探索活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論． （2） 閱讀是學(xué)習(xí)的重要途徑，在這種閱讀型研究性問題中，涌現(xiàn)了許多介紹新的知識和新的研究方法的問題，能極大地開闊我們的視野． （3）研究性學(xué)習(xí)是課程改革的一個亮點，研究性學(xué)習(xí)是美國芝加哥大學(xué)教授施瓦布在《作為探究的科學(xué)教學(xué)》的演講時提出的．他主張引導(dǎo)學(xué)生直接用科學(xué)研究的方式進(jìn)行教學(xué)，即設(shè)定情境、提出問題、分析問題、設(shè)計實驗、驗證假設(shè)、分析結(jié)果、得出結(jié)論．研究性問題是近年中考中出現(xiàn)的一種新題型，它要求我們適應(yīng)新情況，通過實踐，增強探究和創(chuàng)新意識，學(xué)習(xí)科學(xué)研究方法． 學(xué)力訓(xùn)練 1．如圖，是四邊形ABCD的對稱軸，如果AD∥BC，有下列結(jié)論： ①AB∥CD，②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC． 其中正確的是 ． (把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上) 2．如圖，是一個邊長為的小正方形與兩個長、寬分別為、的小矩形ABCD，則整個圖形可表達(dá)出一些有關(guān)多項式分解因式的等式，請你寫出其中任意三個等式：① ；② ；③ ． 3．有一個二次函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點： 甲：對稱軸是直線； 乙：與軸兩個交點的橫坐標(biāo)都是整數(shù)； 丙：與軸交點的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3． 請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式： ． 4．如圖，已知AB為⊙O的直徑，直線與⊙O相切于點D，AC⊥于C，AC交⊙O于點E，DF⊥AB于F． (1)圖中哪條線段與BF相等?試證明你的結(jié)論； (2)若AE=3，CD=2，求⊙O的直徑． 5．在一個服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料(如圖)．現(xiàn)找出其中的一種，測得∠C=90，AC=BC=4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切，請設(shè)計出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑(只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑)． 6．如圖，拋物線與x軸交于點A(x1，0)，B(x2，0)( x1<0AB2，則△ABC是銳角三角形；③在△ABC和△AB1C1中，、、分別為△ABC的三邊，、、分別為△AB1C1的三邊，若>，>，>，則△ABC的面積大S于△AB1C1的面積S1．以上三個命題中，真命題的個數(shù)是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知：AB是⊙O的直徑，AP、AQ是⊙O的兩條弦，如圖1，經(jīng)過B做⊙O的切線，分別交直線AP、AQ于點M、N．可以得出結(jié)論APAM＝AQAN成立． (1)若將直線向上平行移動，使直線與⊙O相交，如圖2所示，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立?若成立，寫出證明，若不成立，說明理由； (2)若將直線繼續(xù)向上平行移動，使直線與⊙O相離，其他條件不變，請在圖3上畫出符合條件的圖形，上述結(jié)論成立嗎?若成立，寫出證明；若不成立，說明理由． 10．如圖，已知圓心A(0，3)， A與軸相切，⊙B的圓心在軸的正半軸上，且⊙B與⊙A外切于點P，兩圓的公切線MP交軸于點M，交軸于點N． （1）若sin∠OAB=，求直線MP的解析式及經(jīng)過M、N、B三點的拋物線的解析式； (2)若A的位置大小不變，⊙B的圓心在軸的正半軸上移動，并使⊙B與⊙A始終外切，過M作⊙B的切線MC，切點為C在此變化過程中探究： ①四邊形OMCB是什么四邊形，對你的結(jié)論加以證明； ②經(jīng)過M、N、B點的拋物線內(nèi)是否存在以BN為腰的等腰三角形?若存在，表示出來；若不存在，說明理由． 11．有一張矩形紙片ABCD，E、F、分別是BC、AD上的點(但不與頂點重合)，若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB=，AD=，BE=． (1)求證：AF=EC； (2)用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作EEBC． ①當(dāng)為何值時，直線EE經(jīng)過原矩形的一個頂點? ②在直線EE經(jīng)過原矩形的一個頂點的情形下，連結(jié)BE，直線BE與EF是否平行?你若認(rèn)為平行，請給予證明；你若認(rèn)為不平行，試探究當(dāng)與有何種數(shù)量關(guān)系時，它們就垂直? 12．(1)證明：若取任意整數(shù)時，二次函數(shù)總?cè)≌麛?shù)值，那么，、、都是整數(shù)． (2)寫出上述命題的逆命題，且證明你的結(jié)論． 13．已知四邊形ABCD的面積為32，AB、CD、AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16． (1)這樣的四邊形有幾個? (2)求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值． 參考答案