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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二十八章 銳角三角函數(shù)教案 （新版）新人教版 　1.了解銳角三角函數(shù)的概念,能夠正確應(yīng)用sin A,cos A,tan A表示直角三角形中兩邊的比. 　2.能推導(dǎo)并熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說(shuō)出這個(gè)角. 　3.能夠正確地使用計(jì)算器,由已知銳角求出它的三角函數(shù)值,由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角. 　4.理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系,以及什么是解直角三角形,會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形. 　5.會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,并能對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用. 　1.通過(guò)探究銳角的正弦、余弦、正切概念的形成,體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力. 　2.通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí),進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù),體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.培養(yǎng)學(xué)生從已有的知識(shí)、特殊圖形中去感知、遷移. 　3.綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解直角三角形,逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.培養(yǎng)學(xué)生思維能力的靈活性. 　4.通過(guò)畫示意圖,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 　5.經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí),體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 　1.通過(guò)積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于探索的精神. 　2.引導(dǎo)學(xué)生參與體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方式思考、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗(yàn)證,提高數(shù)學(xué)思維能力. 　3.通過(guò)主動(dòng)探究,合作交流,培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神,增強(qiáng)合作意識(shí),同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂(lè). 　4.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等數(shù)學(xué)活動(dòng),探索三角函數(shù)有關(guān)知識(shí),鍛煉克服困難的意志,建立自信心. 　5.在探索解直角三角形的過(guò)程中,滲透數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 　6.通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,培養(yǎng)建模思想,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考等學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度. 　本章《銳角三角函數(shù)》是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容,是初中階段研究三角形部分的最后階段,主要研究銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內(nèi)容,掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形的方法,既是相似三角形及函數(shù)的繼續(xù),也是繼續(xù)學(xué)習(xí)三角形的基礎(chǔ),本章屬于三角學(xué)中的最基礎(chǔ)的部分,而高中階段的三角內(nèi)容是三角學(xué)的主體部分,所以本章的學(xué)習(xí)是為高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備. 　本章在前邊研究了直角三角形中三邊之間的關(guān)系、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究邊角之間的關(guān)系,本章包括銳角三角函數(shù)的概念(主要是正弦、余弦和正切的概念),以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形等內(nèi)容,銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在實(shí)際當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用,這也為銳角三角函數(shù)提供了與實(shí)際聯(lián)系的機(jī)會(huì),研究銳角三角函數(shù)的直接基礎(chǔ)是相似三角形的一些結(jié)論,解直角三角形主要依賴銳角三角函數(shù)和勾股定理等內(nèi)容,因此相似三角形和勾股定理等是學(xué)習(xí)本章的直接基礎(chǔ).通過(guò)本章的學(xué)習(xí),使學(xué)生全面掌握直角三角形的組成元素之間的關(guān)系,并綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決與直角三角形有關(guān)的度量問(wèn)題,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模思想. 　【重點(diǎn)】 　1.正弦、余弦、正切的概念. 　2.特殊角的三角函數(shù)值. 　3.會(huì)解直角三角形. 　4.能利用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題. 　【難點(diǎn)】 　1.解直角三角形的應(yīng)用. 　2.把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問(wèn)題,并通過(guò)銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題. 　(1)注重?cái)?shù)形結(jié)合,加深理解記憶 　解決銳角三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題,都是在直角三角形中進(jìn)行的,所以數(shù)形結(jié)合思想是本單元的重要思想方法.已知角所在的三角形為直角三角形時(shí),常根據(jù)三角函數(shù)定義得到邊角之間的關(guān)系,解決有關(guān)幾何圖形問(wèn)題,已知角不在直角三角形中時(shí),常通過(guò)作輔助線,構(gòu)造直角三角形,再利用三角函數(shù)定義解決幾何圖形問(wèn)題,所以在教學(xué)中注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí),在探究特殊角的三角函數(shù)值時(shí),結(jié)合特殊的直角三角形,利用邊角之間的關(guān)系,通過(guò)計(jì)算得出特殊值,體會(huì)由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化;由特殊角的三角函數(shù)值,通過(guò)構(gòu)造直角三角形,得到邊角之間的關(guān)系,體會(huì)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化. 　(2)重視知識(shí)的形成過(guò)程,深化理解概念 　銳角三角函數(shù)的概念是本章的難點(diǎn),也是學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵,難點(diǎn)在于銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,這種角與函數(shù)之間的關(guān)系,學(xué)生以前沒(méi)有接觸過(guò),所以學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解成為本章的難點(diǎn).在教學(xué)設(shè)計(jì)中,重視過(guò)程,深化理解,以直角三角形為主線,力求體現(xiàn)生活化課堂的理念,讓學(xué)生在經(jīng)歷“問(wèn)題情景——形成概念——應(yīng)用拓展——反思提高”的基本過(guò)程中,通過(guò)主動(dòng)探究來(lái)體現(xiàn)他們的主體地位,教師通過(guò)對(duì)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的啟發(fā)、調(diào)整、激勵(lì)來(lái)體現(xiàn)自己的引導(dǎo)作用,對(duì)學(xué)生的主體意識(shí)和合作交流的能力起著積極作用.學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程,體驗(yàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,感受探究的樂(lè)趣,從而加深對(duì)概念的理解和掌握. 28.1　銳角三角函數(shù) 4課時(shí) 28.2　解直角三角形及其應(yīng)用 28.2.1　解直角三角形(1課時(shí)) 28.2.2　應(yīng)用舉例(2課時(shí)) 3課時(shí) 單元概括整合 1課時(shí) 28.1　銳角三角函數(shù) 　1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的銳角確定時(shí),它的對(duì)邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比是固定值,從而引出正弦、余弦、正切的概念. 　2.了解三角函數(shù)的概念,理解銳角的正弦、余弦、正切的概念并能根據(jù)這些概念進(jìn)行有關(guān)計(jì)算. 　3.能推導(dǎo)并熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,并能根據(jù)這些值說(shuō)出對(duì)應(yīng)的銳角度數(shù). 　4.能熟練計(jì)算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式. 　5.讓學(xué)生熟識(shí)計(jì)算器一些功能鍵的使用.會(huì)熟練運(yùn)用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求角. 　1.通過(guò)探究銳角的正弦、余弦、正切概念的形成,體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力. 　2.經(jīng)過(guò)三角函數(shù)概念的發(fā)現(xiàn)與學(xué)習(xí),養(yǎng)成勤于思考,善于發(fā)現(xiàn)的良好習(xí)慣. 　3.通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí),進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù),體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力. 　4.通過(guò)推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值,了解知識(shí)間的聯(lián)系,提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 　5.自己熟悉計(jì)算器,在老師的指導(dǎo)下求一般銳角三角函數(shù)值,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活息息相關(guān). 　1.通過(guò)積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于探索的精神. 　2.引導(dǎo)學(xué)生參與體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方式思考、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗(yàn)證,提高數(shù)學(xué)思維能力. 　3.通過(guò)主動(dòng)探究,合作交流,培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神,增強(qiáng)合作意識(shí),同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂(lè). 　4.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等數(shù)學(xué)活動(dòng),探索三角函數(shù)有關(guān)知識(shí),鍛煉克服困難的意志,建立自信心. 　5.通過(guò)計(jì)算器的使用,了解科學(xué)在人們?nèi)粘Ｉ钪械闹匾饔?激勵(lì)學(xué)生熱愛(ài)科學(xué)、學(xué)好文化知識(shí). 　【重點(diǎn)】 　1.理解各三角函數(shù)的意義,并會(huì)求銳角的各三角函數(shù)值. 　2.熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,能熟練計(jì)算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式. 　3.運(yùn)用計(jì)算器處理三角函數(shù)中的值或角的問(wèn)題. 　【難點(diǎn)】 　1.探索各三角函數(shù)值的概念. 　2.30,45,60角的三角函數(shù)值的推導(dǎo)過(guò)程. 　3.運(yùn)用計(jì)算器處理三角函數(shù)中的值或角等問(wèn)題. 第課時(shí) 　1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的銳角確定時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比是固定值,從而引出正弦的概念. 　2.理解銳角的正弦的概念,并能根據(jù)正弦的概念進(jìn)行計(jì)算. 　1.通過(guò)探究銳角的正弦的概念的形成,體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力. 　2.通過(guò)銳角的正弦的學(xué)習(xí),逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力. 　1.通過(guò)銳角的正弦概念的建立,體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,滲透數(shù)形結(jié)合思想. 　2.讓學(xué)生在通過(guò)探索、分析、論證、總結(jié)獲取新知識(shí)的過(guò)程中體驗(yàn)成功的快樂(lè),感悟數(shù)學(xué)的實(shí)用性,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 　3.通過(guò)主動(dòng)探究,合作交流,感受探索的樂(lè)趣和成功的體驗(yàn),體會(huì)數(shù)學(xué)的合理性和嚴(yán)謹(jǐn)性,使學(xué)生養(yǎng)成積極思考的好習(xí)慣,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神. 　【重點(diǎn)】　 　理解正弦函數(shù)的意義,并會(huì)求銳角的正弦值. 　【難點(diǎn)】　 　理解直角三角形的銳角確定時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比是固定值. 　【教師準(zhǔn)備】　多媒體課件. 　【學(xué)生準(zhǔn)備】　預(yù)習(xí)教材P61~63. 導(dǎo)入一: 　意大利比薩斜塔在1350年落成時(shí)就已傾斜,其塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線2.1 m.1972年比薩地區(qū)發(fā)生地震,這座高54.5 m的斜塔在大幅度搖擺后仍巍然屹立,但塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線增至5.2 m,而且還在繼續(xù)傾斜,有倒塌的危險(xiǎn).當(dāng)?shù)貜?990年起對(duì)斜塔維修糾偏,xx年竣工,此時(shí)塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8 cm. 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生欣賞比薩斜塔圖片,教師介紹比薩斜塔有關(guān)知識(shí),然后引出本章課題. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　你能用塔身中心線與垂直中心線所成的角來(lái)描述比薩斜塔的傾斜程度嗎?通過(guò)本章的學(xué)習(xí),你將能夠解決這個(gè)問(wèn)題. 導(dǎo)入二: 　【復(fù)習(xí)提問(wèn)】 　1.直角三角形有哪些特殊性質(zhì)? 　2.有一個(gè)銳角是30的直角三角形有什么特殊性質(zhì)? 　3.有一個(gè)銳角是45的直角三角形有什么特殊性質(zhì)? 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考回答,教師點(diǎn)評(píng). 導(dǎo)入三: 　操場(chǎng)上有一個(gè)旗桿,老師讓小明去測(cè)量旗桿高度. 　小明在離旗桿底部10米遠(yuǎn)處目測(cè)旗桿的頂部,視線與水平線的夾角為34,并且已知目高為1.5米,然后他很快就能算出旗桿的高度了. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　你想知道小明怎樣算出的嗎?這就是我們即將探討和學(xué)習(xí)的利用銳角三角函數(shù)來(lái)測(cè)量物體的高度.今天我們學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的第一種——銳角的正弦. 　[設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)大家熟知的意大利比薩斜塔導(dǎo)出本章學(xué)習(xí)內(nèi)容,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章的求知欲,同時(shí)又以生活實(shí)例測(cè)旗桿的高度導(dǎo)入本課時(shí)的內(nèi)容,讓學(xué)生體會(huì)測(cè)量旗桿的高度不僅可以用上章所學(xué)習(xí)的相似三角形,還可以應(yīng)用本章的銳角三角函數(shù),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,體會(huì)生活與數(shù)學(xué)之間的密切聯(lián)系.同時(shí)由復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊. 一、共同探究 　思路一 　為了綠化荒山,某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管,在山坡上修建一座揚(yáng)水站,對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌.現(xiàn)測(cè)得斜坡的坡角(∠A)為30,為使出水口的高度為35 m,需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管? 　思考一 　(1)你能不能把該實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言? 　[在Rt△ABC中,∠C=90,∠A=30,BC=35 m,求AB(如右圖所示)] 　 　(2)你能求出AB的長(zhǎng)度嗎?為什么? 　(根據(jù)直角三角形中30的銳角對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半,可得AB=2BC=70 m) 　(3)計(jì)算題目中∠A的對(duì)邊與斜邊的比是多少. 　(4)在該題目中,如果出水口的高度為50 m,那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管?此時(shí)的值是多少?需要準(zhǔn)備100 m長(zhǎng)的水管,= 　(5)出水口的高度改變,∠A不變時(shí),∠A的對(duì)邊與斜邊的比是否變化?不變,都等于 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考后,小組交流答案,學(xué)生展示結(jié)果,教師點(diǎn)評(píng),歸納結(jié)論. 　【結(jié)論】　在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30,無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何,這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于. 　思考二 　(1)如下圖所示,任意畫一個(gè)Rt△ABC,使∠C=90,∠A=45,你能計(jì)算出∠A的對(duì)邊與斜邊的比嗎? 　(2)通過(guò)計(jì)算,你能得到什么結(jié)論? 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考后,小組合作交流,小組代表展示成果,教師在巡視過(guò)程中幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng),共同歸納結(jié)論. 　【結(jié)論】　在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于45,無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何,這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于. 　思考三 　【猜想】　一般地,當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值? 　如圖所示,Rt△ABC和Rt△ABC中,∠C=∠C=90,∠A=∠A=α,那么與有什么關(guān)系?用語(yǔ)言敘述你的結(jié)論. 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,共同得出結(jié)論,教師對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng). 　【板書】　由于∠C=∠C=90,∠A=∠A=α, 　所以Rt△ABC∽R(shí)t△ABC, 　因此,=,即=. 　【課件展示】　在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,∠A的對(duì)邊與斜邊的比都不變,是一個(gè)固定值. 　思路二 　動(dòng)手操作: 　(1)測(cè)量自己手中一副三角板中30,45,60角所對(duì)的直角邊與斜邊的長(zhǎng)度,并計(jì)算它們的比值.其中一同學(xué)測(cè)量、計(jì)算教師手中的三角板中各角所對(duì)的直角邊與斜邊的比值. 　(2)小組內(nèi)交流計(jì)算結(jié)果,三角板的大小不同,30,45,60角所對(duì)的直角邊與斜邊的比有什么特點(diǎn)?你能得到什么結(jié)論? 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生動(dòng)手測(cè)量、計(jì)算,小組內(nèi)交流結(jié)果,共同歸納結(jié)論,教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題并及時(shí)糾正,對(duì)學(xué)生的結(jié)論進(jìn)行點(diǎn)撥. 　【結(jié)論】　不論三角板大小如何,30,45,60角的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值. 　【猜想】　如果是任意一個(gè)直角三角形,當(dāng)一個(gè)銳角的度數(shù)固定時(shí),這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比是否也是固定值呢? 　【驗(yàn)證】　如圖所示,Rt△ABC和Rt△ABC,∠C=∠C=90,∠A=∠A=α,那么與有什么關(guān)系?用語(yǔ)言敘述你的結(jié)論. 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,共同得出結(jié)論,教師對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng). 　【板書】　由于∠C=∠C=90,∠A=∠A=α, 　所以Rt△ABC∽R(shí)t△ABC, 　因此,=,即=. 　【課件展示】　在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,∠A的對(duì)邊與斜邊的比都不變,是一個(gè)固定值. 　[設(shè)計(jì)意圖]　思路一由實(shí)際問(wèn)題入手,計(jì)算直角三角形中特殊銳角所對(duì)的直角邊與斜邊的比是固定值,然后類比探索出直角三角形中銳角確定時(shí),它所對(duì)的直角邊與斜邊的比是固定值;思路二通過(guò)操作、測(cè)量、猜想、驗(yàn)證,得出結(jié)論,讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力. 二、形成概念 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時(shí),它所對(duì)的直角邊與斜邊的比是固定值,這個(gè)固定值就是這個(gè)銳角的正弦值. 　【課件展示】　如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90,我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sin A,即sin A==. 　【思考】　 　(1)當(dāng)∠A=30或∠A=45時(shí),∠A的正弦為多少?當(dāng)∠A=30時(shí),sin A=sin 30=;當(dāng)∠A=45時(shí),sin A=sin 45= 　(2)∠A的正弦sin A表示的是sin與A的乘積還是一個(gè)整體?(sin A表示的是一個(gè)整體) 　(3)當(dāng)∠A的大小變化時(shí),sin A是否變化?(sin A隨著∠A的大小變化而變化) 　(4)sin A有單位嗎?(sin A是一個(gè)比值,沒(méi)有單位) 　(5)∠B的正弦怎么表示? 　(6)要求一個(gè)銳角的正弦值,我們需要知道直角三角形中的哪些邊?(需要知道這個(gè)銳角的對(duì)邊和斜邊) 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考,小組合作交流,小組代表回答問(wèn)題,教師點(diǎn)撥. 　[設(shè)計(jì)意圖]　在一系列的問(wèn)題解決中,經(jīng)歷從特殊到一般建立數(shù)學(xué)概念的過(guò)程,讓學(xué)生理解、認(rèn)識(shí)正弦的概念及寫法和意義,教師強(qiáng)調(diào)概念中需注意的事項(xiàng),加深對(duì)正弦概念的理解和掌握. 三、例題講解 　　(教材例1)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90,求sin A和sin B的值. 　教師引導(dǎo)思考: 　(1)求sin A實(shí)際上要確定什么?依據(jù)是什么?sin B呢? 　(2)sin A,sin B的對(duì)邊和斜邊是已知的嗎? 　(3)直角三角形中已知兩邊如何求三角形的第三邊? 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考后回答問(wèn)題,然后書寫解題過(guò)程,小組交流結(jié)果,小組代表板書過(guò)程,教師規(guī)范解題步驟. 　【課件展示】　解:如圖(1)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理得AB===5. 　因此sin A==,sin B==. 　如圖(2)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===12. 　因此sin A==,sin B==. 　[設(shè)計(jì)意圖]　學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,根據(jù)正弦的概念求出角的正弦值,教師規(guī)范學(xué)生的解題過(guò)程,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 　[知識(shí)拓展]　(1)正弦是一個(gè)比值,沒(méi)有單位. 　(2)正弦值只與角的大小有關(guān),與三角形的大小無(wú)關(guān). 　(3)sin A是一個(gè)整體符號(hào),不能寫成sin A. 　(4)當(dāng)用三個(gè)字母表示角時(shí),角的符號(hào)“∠”不能省略,如sin∠ABC. 　(5)sin2A表示(sin A)2,不能寫成sin A2. 　1.在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值. 　2.正弦的定義:在Rt△ABC中,∠C=90,我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sin A,即sin A==. 　1.如圖所示,△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)中的格點(diǎn),則sin∠ABC等于　　(　　) 　A.　　　B.　　　C.　　　D. 　解析:如圖所示,過(guò)點(diǎn)A向BC引垂線,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.在Rt△ABD中,AD=2,BD=4,∴AB==2,∴sin∠ABC==.故選C. 　2.把△ABC三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍,則銳角A的正弦值　　(　　) 　A.不變　　B.縮小為原來(lái)的 　C.擴(kuò)大為原來(lái)的3倍　　D.不能確定 　解析:因?yàn)椤鰽BC三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍所得的三角形與原三角形相似,所以銳角A的大小沒(méi)改變,所以銳角A的正弦值也不變.故選A. 　3.在Rt△ABC中,∠C=90,sin A=,AB=20,則BC=　　　　. 　解析:∵AB=20,sin A=,∴sin A==,∴BC=20=12.故填12. 　4.如圖所示,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足為E,DE=8 cm,sin A=,則菱形ABCD的面積是　　　　cm2. 　解析:在菱形ABCD中,DE⊥AB,在Rt△DEA中,DE=8 cm,sin A=,則=,則AD=10 cm.所以AB=AD=10 cm,所以菱形ABCD的面積=DEAB=810=80(cm2).故填80. 　5.在Rt△ABC中,∠C=90,BC=6,且sin B=,試分別求出AC,AB的值. 　解:在Rt△ABC中,∠C=90, 　∴sin B==. 　設(shè)AC=3x,則AB=5x. 　又AB2=AC2+BC2, 　∴(5x)2=(3x)2+62=9x2+36, 　即25x2=9x2+36, 　∴x=,∴AC=3x=,AB=5x=. 　第1課時(shí) 　1.共同探究 　2.形成概念 　在Rt△ABC中,∠C=90,則sin A==. 　3.例題講解 　例題 一、教材作業(yè) 【必做題】　 　教材第68頁(yè)習(xí)題28.1第1,2,4題.(只求正弦) 【選做題】　 　教材第69頁(yè)習(xí)題28.1第6題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.在Rt△ABC中,∠C=90,AB=2,AC=1,則sin B的值為　　(　　) 　　　B.　　　C.　　　D.2 2.三角形在正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)中的位置如圖所示,則sin α的值是　　(　　) A.　　　　　B. C.　　　　　D. 3.在△ABC中,∠C=90,AB=15,sin A=,則BC等于　　(　　) A.45　　B.5　　C.　　D. 4.在Rt△ABC中,∠C=90,AB=2BC,則sin B的值為　　(　　) A.　　B.　　C.　　D.1 5.如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB,垂足為D,若AC=,BC=2,則sin∠ACD的值為　　(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.在Rt△ABC中,∠C=90,AC=5,AB=8,則sin A=　　　　. 7.在Rt△ABC中,∠C=90,BC=4,sin A=,則AB=　　　　. 8.如圖所示,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,則sin∠BAC=　　　　,sin∠ADC=　　　　,sin∠ABC=　　　　. 9.在Rt△ABC中,∠C=90,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A和sin B的值. 10.在Rt△ABC中,∠C=90. (1)若sin A=,BC=9,求AB的長(zhǎng); (2)若sin B=,AB=10,求BC的長(zhǎng). 【能力提升】 11.如圖所示,圓O的直徑CD=10 cm,且AB⊥CD,垂足為P,AB=8 cm,則sin∠OAP=　　　　. 12.在Rt△ABC中,∠C=90,sin A=,BC=20,則sin B=　　　　. 13.如圖所示,菱形ABCD的周長(zhǎng)為40 cm,DE⊥AB,垂足為E,sin A=.則下列結(jié)論正確的有　　　　.(填序號(hào)) ①DE=6 cm;②BE=2 cm;③菱形面積為60 cm2;④BD=4 cm. 14.如圖所示,將一張矩形紙片ABCD沿CE折疊,B點(diǎn)恰好落在AD邊上,設(shè)此點(diǎn)為F,若AB∶BC=4∶5,求sin∠CFD,sin∠DCF的值. 【拓展探究】 15.如圖所示,在△ABC中,∠C=90,AC=BC,BD為AC邊上的中線,求sin∠ABD的值. 【答案與解析】 1.A(解析:在Rt△ABC中,∠C=90,sin B==.故選A.) 2.C(解析:觀察網(wǎng)格圖,可知在直角三角形中,α的對(duì)邊長(zhǎng)為3,鄰邊長(zhǎng)為4,根據(jù)勾股定理可得斜邊長(zhǎng)為5,所以根據(jù)正弦定義可得sin α=.故選C.) 3.B(解析:∵sin A==,AB=15,∴BC=5.故選B.) 4.C(解析:在Rt△ABC中,∠C=90,AB=2BC,設(shè)BC=a,則AB=2a,根據(jù)勾股定理可得AC===a,∴sin B===.故選C.) 5.A(解析:在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可得AB===3.由題意知∠B+∠BCD=90,∠ACD+∠BCD=90,∴∠B=∠ACD.∴sin∠ACD=sin B==.故選A.) 6.(解析:在Rt△ABC中,∠C=90,AC=5,AB=8,∴BC===,∴sin A==.故填.) 7.6(解析:∵sin A===,∴AB=6.故填6.) 8.　　(解析:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90.∵AB=5,BC=3,∴sin∠BAC==,AC===4,∴sin∠ADC=sin∠ABC==.故依次填,,.) 9.解:由勾股定理可得AB==(cm),所以sin A===,sin B===. 10.解:(1)∵sin A==,又BC=9,∴AB=15. 　(2)∵sin B==,又AB=10,∴BC=8. 11.(解析:∵AB⊥CD,∴AP=BP=AB=8=4(cm),在Rt△OAP中,OA=CD=5 cm,∴OP==3 cm,∴sin∠OAP==.故填.) 12.(解析:在Rt△ABC中,∠C=90,sin A=,即=,設(shè)CB=4x,則AB=5x,∴根據(jù)勾股定理可得AC=3x.∴sin B==.故填.) 13.①②③(解析:∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為40 cm,∴AD=AB=BC=CD=10 cm.∵DE⊥AB,垂足為E,∴sin A===,∴DE=6 cm,∴AE=8 cm,∴BE=2 cm.∴菱形的面積為ABDE=106=60(cm2).在Rt△BED中,BE=2 cm,DE=6 cm,∴BD=2 cm.∴①②③正確,④錯(cuò)誤.故填①②③.) 14.解:由AB∶BC=4∶5,可設(shè)AB=4k,BC=5k,由折疊可知CF=CB=5k.矩形ABCD中,CD=AB=4k,在Rt△CDF中,由勾股定理可得DF==3k,∴sin∠CFD==,sin∠DCF==. 15.解:如圖所示,作DE⊥AB于E.設(shè)BC=AC=2x,∵BD為AC邊上的中線,∴CD=AD=AC=x.在Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理,得BD=x.∵∠C=90,AC=BC,∴∠A=∠CBA=45,又∵DE⊥AB,∴∠A=∠EDA=45,∴AE=DE=x,在Rt△BDE中,sin∠ABD===. 　通過(guò)復(fù)習(xí)含特殊角的直角三角形的性質(zhì),為本節(jié)課的探究做好鋪墊,用具體情景引入新課,把教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的問(wèn)題,讓學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)入課堂,然后用具體實(shí)例的探究,層層遞進(jìn),由特殊到一般,引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出:直角三角形的銳角確定時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比是固定值的特點(diǎn),從而自然引出正弦的概念,順理成章完成知識(shí)的遷移,學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、合作探究、歸納總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng)突破了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究思考與合作交流的能力.在課堂上,學(xué)生參與意識(shí)較強(qiáng),課堂氣氛活躍,讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展,突出了學(xué)生在課堂上的主體作用. 　本節(jié)課的重點(diǎn)是探究直角三角形中銳角確定時(shí),它的對(duì)邊和斜邊的比是固定值,由此歸納總結(jié)正弦定義,在教學(xué)設(shè)計(jì)中,注重知識(shí)間的聯(lián)系,由前邊所學(xué)知識(shí)自然推導(dǎo)結(jié)論,由結(jié)論自然導(dǎo)出正弦概念,但在授課過(guò)程中忽略了學(xué)生的認(rèn)知能力,部分學(xué)生對(duì)銳角的正弦的理解有困難,在以后的教學(xué)中,給出正弦的定義后,應(yīng)給出幾個(gè)簡(jiǎn)單練習(xí)加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握. 　本節(jié)課的內(nèi)容是探究直角三角形中銳角確定時(shí),它的對(duì)邊和斜邊的比是固定值,把這個(gè)固定值定義為這個(gè)銳角的正弦,在教學(xué)設(shè)計(jì)中,以比薩斜塔導(dǎo)入新課,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的好奇心和求知欲,然后通過(guò)復(fù)習(xí)特殊直角三角形的性質(zhì),為本節(jié)課的探究活動(dòng)做好鋪墊,通過(guò)探究特殊圖形中邊之間的關(guān)系,猜想一般直角三角形中邊之間的關(guān)系,然后理論證明猜想,從而很自然地導(dǎo)出概念,讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程,利于對(duì)概念的理解和掌握,同時(shí)提高數(shù)學(xué)思維和能力. 　練習(xí)(教材第64頁(yè)) 1.解:(1)∵在Rt△ABC中,AB===,∴sin A===,sin B===.　(2)∵在Rt△ABC中,BC===2,∴sin A===,sin B===. 2.提示:sin A=. 　本節(jié)課是銳角三角函數(shù)的第一個(gè)課時(shí),在教學(xué)設(shè)計(jì)中,通過(guò)設(shè)計(jì)“思考”“探究”“歸納”等教學(xué)環(huán)節(jié),為學(xué)生提供探究交流的空間,發(fā)展學(xué)生的思維能力.教材中直接給出了正弦的概念,而概念的形成過(guò)程的探索留給了學(xué)生,在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中,通過(guò)復(fù)習(xí)特殊直角三角形的性質(zhì),為學(xué)生探究活動(dòng)做好鋪墊,然后給出特殊的直角三角形,學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、小組合作交流、共同歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng),探索出結(jié)論“在直角三角形中,當(dāng)一個(gè)銳角確定時(shí),這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比是固定值”,然后教師引導(dǎo)學(xué)生思考,對(duì)于一般的直角三角形是否具有這樣的性質(zhì).學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作,合作探究,完成嚴(yán)格的理論證明,從而得到結(jié)論的正確性,很自然地引出正弦的概念.在課堂上以問(wèn)題引導(dǎo)的形式讓學(xué)生積極參與課堂,親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程,為學(xué)生提供了更加廣闊的探索空間,讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、思考、與他人合作及歸納總結(jié),從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,使數(shù)學(xué)思維得到進(jìn)一步的提升. 　　如圖所示,在下列網(wǎng)格中,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,O都在格點(diǎn)上,則∠AOB的正弦值是　　(　　) 　A.　　B.　　C.　　D. 　〔解析〕　如圖所示,作AC⊥OB,交OB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.則AC=,AO==2,則sin∠AOB===.故選D. 第課時(shí) 　1.探索直角三角形的銳角確定時(shí),它的鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比是固定值,從而引出余弦、正切的概念. 　2.了解銳角三角函數(shù)的概念,理解銳角的余弦、正切的概念并能根據(jù)余弦、正切的概念進(jìn)行計(jì)算. 　1.結(jié)合正弦概念探索銳角的余弦、正切概念的形成,培養(yǎng)學(xué)生類比推理的能力. 　2.通過(guò)探究銳角的余弦、正切概念的形成,體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力. 　3.通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí),進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù),體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力. 　1.通過(guò)觀察、思考、交流、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng),體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于探索的精神. 　2.通過(guò)主動(dòng)探索,合作交流,增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí),體驗(yàn)成功的快樂(lè),增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. 　3.培養(yǎng)學(xué)生敢于發(fā)表自己的想法,勇于質(zhì)疑,養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度. 　【重點(diǎn)】　 　理解余弦、正切的概念,并會(huì)求銳角的余弦值、正切值. 　【難點(diǎn)】　 　類比正弦的概念,探索余弦、正切的概念. 　【教師準(zhǔn)備】　多媒體課件. 　【學(xué)生準(zhǔn)備】　預(yù)習(xí)教材P64~65. 導(dǎo)入一: 　【復(fù)習(xí)提問(wèn)】 　1.在直角三角形中,當(dāng)一個(gè)銳角的大小一定時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比有什么規(guī)律? 　2.什么是正弦?如何求一個(gè)角的正弦? 　3.探究正弦的概念時(shí),我們用了什么方法? 導(dǎo)入二: 　觀察兩個(gè)大小不同的三角板,當(dāng)角是30,45,60時(shí),它們的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比有什么規(guī)律?談?wù)勀愕目捶? 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　類比探究正弦的方法,在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),它的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比也是固定的值,這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 　[設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)復(fù)習(xí)提問(wèn),回憶上節(jié)課的探究方法,用類比的方法探究本節(jié)課的內(nèi)容,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.計(jì)算直角三角板中特殊角的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比,歸納規(guī)律,很自然地引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的概念,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算、觀察、猜想的能力. 一、新知探究 　思路一 　【思考】　在不同的直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)相同時(shí),它們的鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比是同一個(gè)固定值嗎? 　【師生活動(dòng)】　教師提示類比上節(jié)課的證明思路,學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程,學(xué)生代表板書,教師規(guī)范證明過(guò)程. 　已知:如圖所示,在Rt△ABC和Rt△ABC中,∠C=∠C=90,∠A=∠A=α. 　求證:=,=. 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,共同得出結(jié)論,教師對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng). 　【板書】　證明:由于∠C=∠C=90,∠A=∠A=α,所以Rt△ABC∽R(shí)t△ABC, 　因此,=,即=. 　同理可得=,即=. 　【思考】　大家能不能得出銳角B的度數(shù)一定時(shí),∠B的鄰邊與斜邊、∠B的對(duì)邊與鄰邊的比是不是一個(gè)固定值呢? 　學(xué)生思考回答,教師點(diǎn)評(píng). 　【課件展示】　 　1.在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,這個(gè)角的鄰邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值. 　2.在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,這個(gè)角的對(duì)邊與鄰邊的比都是一個(gè)固定值. 　思路二　 　如圖所示,在Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中,∠AC1B1=∠AC2B2=90. 　【思考】　 　(1)Rt△AB1C1與Rt△AB2C2之間有什么關(guān)系?(Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2) 　(2)與,與之間各有什么關(guān)系?=,= 　(3)在射線AB1上任取一點(diǎn)B3,過(guò)B3作B3C3⊥AC1,垂足為C3,則與,與之間有什么關(guān)系?=,= 　(4)根據(jù)以上思考,你得到什么結(jié)論?(直角三角形中∠A的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比是固定不變的) 　(5)如果改變∠A的大小,上邊的比值是否變化?歸納你的結(jié)論. 　【師生活動(dòng)】　教師提出問(wèn)題,學(xué)生思考后小組合作交流,共同歸納結(jié)論,教師巡視過(guò)程中幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的回答作出點(diǎn)評(píng). 　【課件展示】　 　1.在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,這個(gè)角的鄰邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值. 　2.在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,這個(gè)角的對(duì)邊與鄰邊的比都是一個(gè)固定值. 　[設(shè)計(jì)意圖]　在教師提出的問(wèn)題的引導(dǎo)下,學(xué)生通過(guò)小組合作交流,類比上節(jié)課探究問(wèn)題的方法,經(jīng)過(guò)觀察、討論、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng),歸納出結(jié)論,為歸納理解三角函數(shù)定義做好鋪墊,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力. 二、形成概念 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時(shí),角的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比是固定值,我們把這兩個(gè)固定值分別定義為余弦和正切. 　【課件展示】　如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90,我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cos A,即cos A==. 　同樣,把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tan A,即tan A==. 　【思考】　當(dāng)∠A的大小變化時(shí),sin A,cos A,tan A是否變化?對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值,sin A,cos A和tan A是否有唯一的值和它對(duì)應(yīng)? 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考回答,教師引導(dǎo)點(diǎn)評(píng). 　歸納:sin A,cos A,tan A都是∠A的函數(shù). 　【課件】　銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù). 　[設(shè)計(jì)意圖]　教師根據(jù)上邊的總結(jié)驗(yàn)證,類比正弦的概念形成,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)理解余弦、正切的概念,教師可以強(qiáng)調(diào)概念中需注意的事項(xiàng),加深學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解和掌握. 三、例題講解 　　(教材例2)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值. 　【思考】 　(1)根據(jù)余弦、正切的定義,要求cos A,tan A的值必須求出哪條邊的長(zhǎng)? 　(2)怎樣求出AC的長(zhǎng)? 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考后回答問(wèn)題,然后書寫解題過(guò)程,小組交流結(jié)果,小組代表板書過(guò)程. 　【課件展示】　解:由勾股定理得AC===8, 　所以sin A===, 　cos A===, 　tan A===. 　　(補(bǔ)充拓展)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90,BC=6,sin A=,求cos A,tan B的值. 　【解析】 　(1)已知sin A和BC的值,根據(jù)正弦定義,可以求出三角形的哪條邊長(zhǎng)? 　(2)你能不能求出三角形的第三條邊長(zhǎng)? 　(3)根據(jù)余弦、正切定義,你能求出cos A,tan B的值嗎? 　【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考完成,小組內(nèi)交流答案,教師幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的答案進(jìn)行點(diǎn)評(píng). 　解:∵sin A=,∴AB==6=10. 　又∵AC===8, 　∴cos A==,tan B==. 　[設(shè)計(jì)意圖]　在教師提出的問(wèn)題的引導(dǎo)下,學(xué)生獨(dú)立思考完成,教師對(duì)學(xué)生的結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)評(píng),讓學(xué)生根據(jù)概念求出各三角函數(shù)值,加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握,同時(shí)讓學(xué)生綜合運(yùn)用勾股定理、三角函數(shù)概念進(jìn)行有關(guān)計(jì)算,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 　[知識(shí)拓展]　(1)余弦和正切都是一個(gè)比值,沒(méi)有單位. 　(2)余弦值和正切值只與角的大小有關(guān),而與三角形的大小無(wú)關(guān). 　(3)cos A,tan A都是一個(gè)整體符號(hào),不能寫成cosA,tanA. 　(4)當(dāng)用三個(gè)字母表示角時(shí),角的符號(hào)“∠”不能省略,如tan∠ABC. 　(5)在Rt△ABC中,∠C=90,由于sin A==,cos A==,sin B==,cos B==,tan A==,tan B==,因此,sin A=cos B,cos A=sin B,tan Atan B=1. 　(6)在Rt△ABC中,∠C=90,∴a2+b2=c2,∵sin A=,cos A=,tan A=,∴sin2A+cos2A=1,tan A=. 　1.在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,∠A的鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比都是一個(gè)固定值. 　2.余弦、正切的定義:在Rt△ABC中,∠C=90,我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cos A,即cos A==.把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tan A,即tan A==. 　3.三角函數(shù)定義:銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù). 　1.已知Rt△ABC中,∠C=90,AB=4,AC=1,則cos A的值是　　(　　) 　A.　　 B.　　 C.　　 D.4 　解析:根據(jù)余弦定義可得cos A==.故選B. 　2.在Rt△ABC中,∠C=90,AB=13,AC=12,則下列選項(xiàng)正確的是　　(　　) 　A.sin A=　　B.cos A= 　C.tan A=　　D.以上都不對(duì) 　解析:由勾股定理可得BC==5,∴sin A==,cos A==,tan A==.故選B. 　3.如圖所示,A,B,C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處,網(wǎng)格中,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACB,則tan B的值為　　　　. 　解析:由旋轉(zhuǎn)可得∠B=∠B,所以tan B=tan B=.故填. 　4.如圖所示,在△ABC中,∠C=90,cos A=,AB=12,求△ABC的面積. 　解:∵cos A==,AB=12,∴AC=4. 　由勾股定理可得BC===4, 　∴S△ABC=ACBC=44=24. 　第2課時(shí) 　1.新知探究 　2.形成概念 　在Rt△ABC中,∠C=90,則cos A==,tan A==. 　3.例題講解 　例1 　例2 一、教材作業(yè) 【必做題】　 　教材第68頁(yè)習(xí)題28.1第1,2,4題. 【選做題】　 　教材第70頁(yè)習(xí)題28.1第10題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.已知Rt△ABC中,∠C=90,AB=5,BC=3,則tan B的值是　　(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.已知Rt△ABC中,∠C=90,BC=1,AC=2,則tan A的值是　　(　　) A.2　　B.　　C.　　D. 3.已知Rt△ABC中,∠C=90,tan A=,BC=8,則AC等于　　(　　) A.6　　B.　　C.10　　D.12 4.如圖所示,若cos α=,則sin α的值為　　(　　) A.　　B. C.　　D. 5.(連云港中考)小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn),將如圖1 - 13所示的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A在BC上的點(diǎn)E處,還原后,再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處,這樣就可以求出67.5的角的正切值是　　(　　) A.+1　B.+1　C.2.5　D. 6.(xx巴中中考)如圖所示,將∠AOB放在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,則tan∠AOB=　　　　. 7.如圖所示,AB是☉O的直徑,AB=15,AC=9,連接BC,則tan∠ADC=　　　　. 8.在Rt△ABC中,∠C=90,tan A=,AB=26.求cos B及AC的長(zhǎng). 【能力提升】 9.如圖所示,A,B,C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1).若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置,得到△ACB,使A,C,B三點(diǎn)共線,則tan∠BCB的值為　　　　. 10.如圖所示,AB是☉O的直徑,且AB=5,CD是☉O的弦,AD與BC相交于點(diǎn)E,若CD=2,則cos∠BED=　　　　. 11.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90,AM是BC邊上的中線,sin∠CAM=,則tan B的值是　　　　. 12.如圖所示,在△ABC中,AD是BC邊上的高,tan B=cos∠DAC. (1)求證AC=BD; (2)若sin C=,BC=12,求AD的長(zhǎng). 【拓展探究】 13.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90,D是BC邊上一點(diǎn),AC=2,CD=1,設(shè)∠CAD=α. (1)求sin α,cos α,tan α的值; (2)若∠B=∠CAD,求BD的長(zhǎng). 【答案與解析】 1.D(解析:在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC==4,∴tan B==.故選D.) 2.B(解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90,AC=2,BC=1,∴tan A==.故選B.) 3.A(解析:∵tan A==,BC=8,∴AC==BC=6.故選A.) 4.D(解析:∵cos α==,∴設(shè)α的鄰邊長(zhǎng)為k,斜邊長(zhǎng)為10k,由勾股定理可得α的對(duì)邊長(zhǎng)為=3k,∴sin α===.故選D.) 5.B(解析:注意折疊前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,也就是說(shuō)△ABE和△AEF都是等腰三角形,進(jìn)而得到67.5的角為∠FAB.設(shè)AB=x,則BE=x,在直角三角形ABE中,利用勾股定理求得AE=EF=x,于是BF=(+1)x.在直角三角形ABF中,tan∠FAB===+1=tan 67.5.故選B.) 6.(解析:過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB,垂足為D,如圖所示,在Rt△AOD中,AD=1,OD=2,則tan∠AOB==.故填.) 7.(解析:∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90.∵AB=15,AC=9,∴根據(jù)勾股定理,得BC=12.∵∠ADC和∠ABC是同弧所對(duì)的圓周角,∴∠ADC=∠ABC.∴tan∠ADC=tan∠ABC===.) 8.解:在Rt△ABC中,∠C=90,∴tan A==,∴設(shè)BC=2k,AC=3k,由勾股定理可得AB=k,∴k=26,∴k=2,∴BC=2k=4,AC=3k=6,∴cos B===.∴AC的長(zhǎng)為6,cos B=. 9.2(解析:如圖所示,連接BD,由正方形網(wǎng)格利用勾股定理得BC=,CD=,BD=2,則CD2+BD2=BC2,所以CD⊥BD,則tan∠BCB==2.) 10.(解析:如圖所示,連接BD,則∠ADB=90,易知∠CDA=∠ABC,∠C=∠A,∴△CED∽△AEB,∴==,在Rt△BED中,∠EDB=90,∴cos∠BED==.故填.) 11.(解析:在Rt△AMC中,sin∠CAM==,設(shè)MC=3x,AM=5x,則AC==4x.由題意知M是BC的中點(diǎn),∴BC=2MC=6x.在Rt△ABC中,tan B===.) 12.(1)證明:∵AD是BC邊上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90,∠ADC=90.在Rt△ABD和Rt△ADC中,tan B=,cos∠DAC=,又∵tan B=cos∠DAC,∴=,∴AC=BD. (2)解:在Rt△ADC中,sin C==,故可設(shè)AD=12k,AC=13k,∴CD==5k,∵BC=BD+CD,又AC=BD,∴BC=13k+5k=18k,∵BC=12,∴18k=12,∴k=,∴AD=12k=12=8. 13.解:在Rt△ACD中,∵AC=2,DC=1,∴AD==.(1)sin α===,cos α===,tan α==.　(2)在Rt△ABC中,tan B=,即tan α==,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3. 　本節(jié)課的主要內(nèi)容是在上節(jié)課的基礎(chǔ)上,用類比的方法探究余弦和正切定義,在教學(xué)設(shè)計(jì)中,通過(guò)復(fù)習(xí)上節(jié)課探究正弦的方法和技巧,為本節(jié)課學(xué)生的自主學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).在探究活動(dòng)中,教師引導(dǎo)學(xué)生仿照研究銳角的正弦的思路和方法,自己完成銳角的余弦、正切的探索過(guò)程,從而得到余弦和正切的概念.例題的分析和解答以學(xué)生為主體,通過(guò)小組合作交流完成,教師及時(shí)點(diǎn)撥,加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握的同時(shí),提高了學(xué)生的解題能力,并規(guī)范了教學(xué)過(guò)程. 　本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是三個(gè)銳角三角函數(shù),在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),只注重了學(xué)生的活動(dòng)的設(shè)計(jì),考慮到學(xué)生基礎(chǔ)較差,對(duì)函數(shù)的理解較難,所以沒(méi)有將函數(shù)與定義過(guò)多的聯(lián)系,三角函數(shù)定義是高中知識(shí)的基礎(chǔ),所以僅僅讓學(xué)生停留在會(huì)應(yīng)用定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,在以后的教學(xué)中,應(yīng)讓學(xué)生加深對(duì)三角函數(shù)定義的理解和掌握. 　本節(jié)課的重點(diǎn)是通過(guò)探究得到直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),這個(gè)銳角的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比都是一個(gè)固定值,從而得到銳角的余弦和正切的定義,并根據(jù)定義能進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算,在教學(xué)中以復(fù)習(xí)銳角的正弦定義及探究方法、生活實(shí)例導(dǎo)入新課,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做鋪墊,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,然后把課堂大膽交給學(xué)生,類比上節(jié)課的探究方法,通過(guò)自主探究、小組合作等數(shù)學(xué)活動(dòng),讓學(xué)生探究出結(jié)論,歸納三角函數(shù)定義,讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂(lè),人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué). 　練習(xí)(教材第65頁(yè)) 1.解:(1)BC==5,sin A=,sin B=,cos A=,cos B=,tan A=,tan B=.　(2)AB==,sin A==,sin B==,cos A==,cos B=,tan A=,tan B=. 2.解:當(dāng)直角三角形的各邊長(zhǎng)都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍時(shí),銳角A的正弦值、余弦值、正切值都不變.因?yàn)殇J角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān). 　本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中,重點(diǎn)是探究余弦、正切兩個(gè)三角函數(shù)的定義,通過(guò)復(fù)習(xí)上節(jié)課正弦的概念及探究方法,讓學(xué)生類比“直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),這個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比是一個(gè)固定值”的證明方法,獨(dú)立完成猜想“直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),這個(gè)銳角的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比都是固定值”,然后通過(guò)小組交流,順利完成證明過(guò)程,從而歸納余弦、正切的定義.在例題的設(shè)計(jì)中,學(xué)生在解答教師提出的一系列問(wèn)題的引導(dǎo)下,獨(dú)立思考,有困難的學(xué)生通過(guò)小組合作交流,加深對(duì)概念的理解和掌握.總之,在教學(xué)設(shè)計(jì)中,以學(xué)生活動(dòng)為主,在設(shè)計(jì)的各個(gè)活動(dòng)中,學(xué)生掌握了知識(shí),提高了學(xué)習(xí)能力. 　　如圖所示,沿AE折疊矩形紙片ABCD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處.已知AB=8,BC=10,則tan∠EFC的值為　　(　　) 　A.　　　B.　　　C.　　　D. 　〔解析〕　根據(jù)題意可知在Rt△ABF中,有AB=8,AF=AD=10,則BF=6,易知∠EFC=∠BAF,故tan∠EFC=tan∠BAF==.故選A. 第課時(shí) 　1.能推導(dǎo)并熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,并能根據(jù)這些值說(shuō)出對(duì)應(yīng)的銳角度數(shù). 　2.能熟練計(jì)算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式. 　1.通過(guò)探索特殊角的三角函數(shù)值的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)的能力. 　2.通過(guò)推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值,了解知識(shí)間的聯(lián)系,提升綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 　3.經(jīng)歷特殊角的三角函數(shù)值的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力. 　1.在探索特殊角的三角函數(shù)值中,學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題的能力. 　2.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等過(guò)程,探索特殊三角函數(shù)值,讓學(xué)生獲得成功的體驗(yàn),鍛煉克服困難的意志,建立自信心. 　【重點(diǎn)】　 　熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,能熟練計(jì)算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式. 　【難點(diǎn)】　 　30,45,60角的三角函數(shù)值的推導(dǎo)過(guò)程. 　【教師準(zhǔn)備】　多媒體課件. 　【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義. 導(dǎo)入一: 　如圖所示,這是一塊三角形草皮,∠A=60,AB=2米,AC=1.8米,那么這塊三角形的草皮面積為多少呢? 　如圖所示,這是一塊三角形草皮,∠A=60,AB=2米,AC=1.8米,那么這塊三角形的草皮面積