《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 專題3.4 基本不等式試題 新人教A版必修5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 專題3.4 基本不等式試題 新人教A版必修5.doc（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

3.4 基本不等式 1．重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，bR) 一般地，對于任意實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)______________時，等號成立． 2．基本不等式 如果a＞0，b＞0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)______________時，等號成立． 其中，叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 因此基本不等式也可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 3．基本不等式的證明 （1）代數(shù)法：方法一 因?yàn)閍＞0，b＞0，所以我們可以用，分別代替重要不等式中的a，b，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立． 即( a＞0，b＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． 方法二 因?yàn)椋? 所以，即，所以． 方法三 要證，只要證，即證，即證，顯然總是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． （2）幾何法：如圖，AB是圓的直徑，C是AB上一點(diǎn)，AC＝a，BC＝b，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD．易證，則CD2＝CACB，即CD＝______________．這個圓的半徑為，顯然它大于或等于CD，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a＝b時，等號成立． 由此我們可得的幾何意義：半徑不小于半弦． 4．重要不等式和均值不等式的常用變形公式及推廣公式 （1）(a，b同號)；(a，b異號)． （2）(a＞0)；(a＜0)． （3）(a＞0，b＞0)；(a＞0，b＞0)． （4），，4ab≤a2＋b2＋2ab，2(a2＋b2)≥(a＋b)2． （5）． （6）為正實(shí)數(shù)，且． 5．均值不等式鏈 若a＞0，b＞0，則，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． 其中和分別叫做a，b的調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)． 6．最值定理 已知x＞0，y＞0，則 若x＋y為定值s，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值(簡記：和定積最大)； 若xy為定值t，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值(簡記：積定和最小)． K知識參考答案： 1．a(chǎn)＝b 2．a(chǎn)＝b 3． K—重點(diǎn) 重要不等式，基本不等式的公式、證明、幾何解釋、變形及推廣 K—難點(diǎn) 均值不等式鏈的應(yīng)用、利用基本不等式求最值、不等式的證明 K—易錯 忽略等號成立的條件、等號成立的一致性導(dǎo)致錯誤 利用基本不等式判斷不等式是否成立 要判斷不等式是否成立，關(guān)鍵是把握其運(yùn)用基本不等式時能否嚴(yán)格遵循“一正、二定、三相等”這三個條件． （1）設(shè)f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是 A．q＝r＜p B．p＝r＜q C．q＝r＞p D．p＝r＞q （2）給出下列不等式：①；②；③；④；⑤若0＜a＜1＜b，則logab＋logba≤－2．其中正確的是______________． 【答案】（1）B；（2）②⑤． 方法2：(特值法)令a＝1，b＝2， 則p＝f()＝ln，q＝＝ln，r＝(ln 1＋ln 2)＝ln． 因?yàn)椋?，所以ln＜ln，所以p＝r＜q，故選B． （2）當(dāng)x＞0時，，當(dāng)x＜0時，，所以，故①不正確，②正確； 由于x＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故③不正確； 當(dāng)時，，時，，故④不正確； 當(dāng)0＜a＜1＜b時，，，故logab＋logba≤－2，⑤正確． 綜上，②⑤正確． 【名師點(diǎn)睛】基本不等式常用于有條件的不等關(guān)系的判斷、比較代數(shù)式的大小等．一般地，結(jié)合所給代數(shù)式的特征，將所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換（利用基本不等式可將整式和根式相互轉(zhuǎn)化），使其中的不等關(guān)系明晰即可解決問題． 利用基本不等式證明不等式 利用基本不等式證明不等式的一般思路：先觀察題中要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接使用基本不等式證明，則考慮對代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之達(dá)到能使用基本不等式的形式；若題目中還有其他條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時，要注意“1”的代換．另外，解題時要時刻注意等號能否取到． （1）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：； （2）已知a＞b，ab＝2，求證：． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）因?yàn)閍＞0，b＞0，c＞0， 所以利用基本不等式可得，，， 所以，即， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立． 【名師點(diǎn)睛】對于（1），合理地構(gòu)造并正確選用基本不等式或其變形式，是證明輪換對稱結(jié)構(gòu)的不等式（用b換a，a換c，c換b后，代數(shù)式不變的式子叫輪換對稱式，其特征是a，b，c的地位一樣）的常用思路；對于（2），觀察a－b，a2＋b2，可聯(lián)想到通過加減2ab的方法配湊出(a－b)2，從而化為可使用基本不等式的形式，結(jié)合ab＝2可使問題得到解決． 利用基本不等式求最值 （1）直接應(yīng)用類：此類問題較為基礎(chǔ)，注意“一正、二定、三相等”即可． （1）已知f(x)＝x＋＋2(x＜0)，則f(x)有 A．最大值為4 B．最小值為4 C．最小值為0 D．最大值為0 （2）已知0＜x＜4，則x(4－x)取得最大值時x的值為 A．0 B．2 C．4 D．16 （3）已知函數(shù)f(x)＝(x＞0)，若f(a＋b)＝16，則f(ab)的最大值為_______________； （4）已知a，bR，且ab＝8，則|a＋2b|的最小值是_______________． 【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8． 【解析】（1）因?yàn)閤＜0，所以f(x)＝－[(－x)＋]＋2≤－2＋2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時取等號．故選D． （2）因?yàn)?＜x＜4，所以4－x＞0，所以x(4－x)≤＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4－x，即x＝2時取等號．故選C． （3）因?yàn)?，所以a＋b＝4，所以，f(ab)＝≤16，故f(ab)的最大值為16． （4）依題意得a，b同號，于是|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥＝＝＝8，當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|2b|＝4時取等號，因此|a＋2b|的最小值是8． 【名師點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值要牢記三個關(guān)鍵詞：一正、二定、三相等，即①一正：各項(xiàng)必須為正；②二定：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值；③三相等：必須驗(yàn)證取等號時條件是否具備． （2）配湊定值類：此類問題一般不能直接使用基本不等式，要從整體上把握進(jìn)而運(yùn)用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)、湊項(xiàng)、湊系數(shù)等． （1）已知x＞0，則函數(shù)y＝的最小值為_______________； （2）若x＞1，則函數(shù)y＝的最小值為_______________； （3）若0＜x＜，則函數(shù)y＝x(12－5x)的最大值為_______________． 【答案】（1）5；（2）3；（3）． （3）湊系數(shù)：因?yàn)?＜x＜，所以y＝5x (12－5x)≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝12－5x，即x＝時取等號．故填． 【名師點(diǎn)睛】不論條件怎么變形，都需要根據(jù)條件：湊和為定值時求積最大、湊積為定值求和最?。? （3）條件最值類：在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，或構(gòu)造不等式求解． （1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則的最小值為_______________； （2）已知a＞0，b＞0，＝2，則a＋b的最小值為_______________； （3）若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＋3＝xy，則xy的最小值是_______________； （4）已知x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝3，則x＋y的最小值是_______________． 【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2． （3）構(gòu)造一元二次不等式：由x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，得xy≥＋3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3時等號成立，故－－3≥0，即≥0，由＞0解得＞3，即xy≥9．故xy的最小值為9． （4）構(gòu)造一元二次不等式：由x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝3，得xy＝3－(x＋y)≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時等號成立，故＋(x＋y)－3≥0，解得x＋y≥2或x＋y≤－6(舍去)，故x＋y的最小值是2． 【名師點(diǎn)睛】在構(gòu)造不等式求最值時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用．例如，當(dāng)a＞0，b＞0時，a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥逆用就是ab≤等．還要注意“添項(xiàng)、拆項(xiàng)、湊系數(shù)”的技巧和等號成立的條件等． 基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用 利用基本不等式解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是構(gòu)建模型，一般來說，都是從具體的幾何圖形，通過相關(guān)的關(guān)系建立關(guān)系式．在解題過程中盡量向模型(a＞0，b＞0，x＞0)上靠攏． 如圖，要規(guī)劃一個矩形休閑廣場，該休閑廣場含有大小相等的左右兩個矩形草坪（如圖中陰影部分所示），且草坪所占面積為18 000 m2，四周道路的寬度為10 m，兩個草坪之間的道路的寬度為5 m．試問，怎樣確定該矩形休閑廣場的長與寬的尺寸（單位：m），能使矩形休閑廣場所占面積最小？ 【答案】當(dāng)矩形休閑廣場的長為140 m，寬為175 m時，可使休閑廣場的面積最小． 因?yàn)閤－20＞0，所以S≥， 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時有(x－20) 2＝14 400，解得x＝140， 代入y＝，得y＝175，即當(dāng)x＝140，y＝175時，S取得最小值24 500． 故當(dāng)矩形休閑廣場的長為140 m，寬為175 m時，可使休閑廣場的面積最?。? 方法2：設(shè)矩形草坪的長為a m，寬為b m，則ab＝9 000，其中a＞0，b＞0． 易知矩形休閑廣場的長為(a＋20) m，寬為(2b＋25) m． 故休閑廣場的面積S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋，當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時等號成立． 此時，代入ab＝9 000得a＝120，b＝75，即當(dāng)a＝120，b＝75時，S取得最小值24 500． 故當(dāng)矩形休閑廣場的長為140 m，寬為175 m時，可使休閑廣場的面積最?。? 【名師點(diǎn)睛】本題容易出現(xiàn)的思維誤區(qū)：①未能理清草坪邊長與休閑廣場邊長之間的關(guān)系；②求出目標(biāo)函數(shù)后不會運(yùn)用基本不等式求最值，缺乏必要的配湊、轉(zhuǎn)化變形能力，從而無法利用基本不等式求最值，或者不會利用基本不等式等號成立的條件求變量的取值． 忽略等號成立的條件導(dǎo)致錯誤 函數(shù)的最小值為_______________． 【錯解】，所以函數(shù)的最小值為2． 【錯因分析】錯解中使用基本不等式時，等號成立的條件為，即＝1，顯然x2≠－1，即等號無法取到，函數(shù)的最小值為2是不正確的． 【名師點(diǎn)睛】（1）利用基本不等式求最值時，必修保證等號能取到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件或函數(shù)的定義域不能使等號成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答，如借助函數(shù)單調(diào)性等；（2）對于模型≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時等號成立；（3）求函數(shù)y＝(a＞0，b＞0)在區(qū)間(0，c]上的最值時，由函數(shù)圖象易得：若c≥，則當(dāng)x＝時，y取得最小值；若c＜，則當(dāng)x＝c時，y取得最小值ac＋． 忽略等號成立的一致性導(dǎo)致錯誤 若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，則的最小值為_______________． 【錯解】因?yàn)閤＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥，即8xy≤1，即xy≤，故≥8． 因?yàn)椤?，所以≥．故的最小值為? 【錯因分析】在求解過程中使用了兩次基本不等式：x＋2y≥，≥，但這兩次取“＝”需滿足x＝2y與x＝y(tǒng)，互相矛盾，所以“＝”不能同時取到，從而導(dǎo)致錯誤． 【名師點(diǎn)睛】連續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值時，要注意各不等式取等號時的條件是否一致，若不能同時取等號，則連續(xù)用基本不等式是求不出最值的，此時要對原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱只蚝喜ⅲ钡饺〉忍柕臈l件成立． 1．已知，則取最大值時的值為 A． B． C． D． 2．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 A． B． C． D． 3．若且，則的最小值是 A． B． C． D． 4．若，則的最小值是 A． B． C． D． 5．已知，則m，n之間的大小關(guān)系是 A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能確定 6．己知均為正實(shí)數(shù)，且直線與直線互相垂直，則的最小值為 A． B． C． D． 7．已知，，，則的最小值為 A． B． C． D． 8．若正數(shù)，滿足，則的取值范圍為________________． 9．已知，且，則的最小值是________________． 10．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為________________． 11．設(shè)，則函數(shù)的最大值為________________． 12．已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當(dāng)a的值為________________時，取得最大值． 13．已知，都是正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為 A． B． C． D． 14．已知，且，則的最小值為 A． B． C． D． 15．已知不等式對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為 A．8 B．6 C．4 D．2 16．若正實(shí)數(shù)滿足，則 A．有最大值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 17．已知，若不等式恒成立，則的最大值為 A． B． C． D． 18．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為 A． B． C．12 D．14 19．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，則的最小值為_________________． 20．在4＋9＝60的兩個中，分別填入一個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則中應(yīng)分別填入____________和____________． 21．若a，b，c＞0且(a＋c)(a＋b)＝，則2a＋b＋c的最小值為________________． 22．已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最大值是________________． 23．某校要建一個面積為平方米的矩形球場，要求球場的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，且在矩形一邊的鋼筋網(wǎng)的正中間要留一個米的進(jìn)出口（如下圖所示）．設(shè)矩形的長為米，鋼筋網(wǎng)的總長度為米． （1）列出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域； （2）問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最?。? 24．（1）求函數(shù)的最小值； （2）已知正數(shù)a，b和正數(shù)x，y，若a＋b＝10，，且x＋y的最小值是18，求a，b的值．  25．已知函數(shù)． （1）若，試求函數(shù)的最小值； （2）對于任意的，不等式成立，試求的取值范圍． 26．（2018天津文理）已知，，且，則的最小值為_______________． 27．（2018江蘇）在中，角，，所對的邊分別為，，，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_______________． 28．（2017山東理）若，且，則下列不等式成立的是 A． B． C． D． 29．（2017天津文理）若，，則的最小值為________________． 30．（2017江蘇）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則的值是________________． 31．（2017山東文）若直線過點(diǎn)（1，2），則的最小值為________________． 1．【答案】B 【解析】由題可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選B． 2．【答案】C 【解析】由題可得．故選C． 4．【答案】D 【解析】，．故選D． 5．【答案】A 【解析】因?yàn)閍＞2，所以a－2＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時取等號，故，． 由b≠0得b2＞0，所以2－b2＜2，所以＜4，即n＜4，故． 綜上可得m＞n，故選A． 6．【答案】D 【解析】由兩直線互相垂直可得，即，則又為正數(shù)，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故 的最小值為．故選D． 7．【答案】B 【解析】由，得，則，故選B． 8．【答案】 【解析】由，得，解得，即． 10．【答案】 【解析】由可得a＞0，b＞0，因?yàn)?，所以ab≥，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為． 11．【答案】 【解析】∵，∴，， 當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故函數(shù)的最大值為． 12．【答案】4 【解析】≤，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，結(jié)合a＞0，b＞0，ab＝8，可得a＝4，b＝2． 13．【答案】C 【解析】，所以，又，都是正實(shí)數(shù)，所以即的最小值為，故選C． 14．【答案】B 【解析】由題可得 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故選B． 15．【答案】C 【解析】因?yàn)椋? 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立． 要使對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則， 即－8≥0，解得或(舍去)，故a≥4，即a的最小值為4，故選C． 17．【答案】B 【解析】可變形為， 則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立， 所以，則的最大值為．故選B． 18．【答案】A 【解析】畫出可行域如圖中陰影部分所示，易知當(dāng)動點(diǎn)在線段AC上時xy取得最大值，此時2x＋y＝10， 故xy＝(2xy)≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝5時取等號，對應(yīng)點(diǎn)(，5)落在線段AC上，故最大值為． 19．【答案】9 【解析】因?yàn)閍＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，所以＝＝3＋＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時等號成立． 21．【答案】 【解析】由a，b，c＞0及(a＋c)(a＋b)＝，可得＝(a＋c)(a＋b)≤， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號，所以(2a＋b＋c)2≥，即2a＋b＋c≥， 故2a＋b＋c的最小值為，故選D． 22．【答案】 【解析】，由題意得， 令，則， 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即所求最大值為． 23．【答案】（1）； （2）長為米，寬為米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最?。? 24．【答案】（1）9；（2）或． 【解析】（1）因?yàn)閤＞－1，所以x＋1＞0，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1時等號成立． 所以當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得最小值為9． （2）x＋y＝＝≥， 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以． 由，解得或． 25．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）依題意得． ∵，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立． 即，∴當(dāng)時，的最小值為． （2）∵， ∴要使得，不等式成立，只要在上恒成立即可． 不妨設(shè)，則只要在上恒成立． 則即解得，∴的取值范圍是． 【名師點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤． 27．【答案】9 【解析】由題意可知， 由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得， 化簡得，，因此， 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為． 【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤． 28．【答案】B 【解析】因?yàn)?，且，所? ，故選B． 【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小，若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同，通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進(jìn)行比較．本題雖小，但考查的知識點(diǎn)較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷． 【名師點(diǎn)睛】利用均值不等式求最值時要靈活運(yùn)用以下兩個公式：①，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；②，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．解題時要注意公式的適用條件、等號成立的條件，同時求最值時注意“1的妙用”． 30．【答案】30 【解析】總費(fèi)用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立． 【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤． 31．【答案】 【解析】由直線 過點(diǎn)（1，2）可得， 所以． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立． 【名師點(diǎn)睛】應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提條件：“一正”“二定”“三相等”，在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．