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——圓 ◆知識講解 一．圓的定義 1、在一個平面內(nèi)，線段OA繞著它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。 2、圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合。 3、確定一個圓需要兩個要素：一是位置二是大小，圓心確定其位置，半徑確定其大小。 4、連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弦記作“圓弧AB”，或者“弧AB”。大于半圓的弧叫作優(yōu)弧（用三個字母表示，如ABC）叫優(yōu)弧；小于半圓的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直徑、弧、弦、圓心角 1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弦。 2、垂徑定理逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。 3、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。 在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等。 在等圓中，弦心距相等的弦相等。 三、圓周角 1、定義：頂點在圓上，并且角的兩邊和圓相交的角。 2、定理：一條弧所以的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半。 3、推論：（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所以的圓周角相等。 （2）直徑所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑。 四、點和圓的位置關系 1、設⊙O的半徑為r，點到圓心的距離為d。 則d>r 點在圓外，d=r 點在圓上，dr時，直線與圓相離； 2、切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。 六、直線和圓的位置關系（二） 1、切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。 2、切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等。這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 3、與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊距離相等。 七、圓與圓的位置關系 1、位置關系 （1）從公共點的個數(shù)和一個圓上的點在另一個圓的外部還是內(nèi)部來考慮，兩個圓的位置關系有五種，外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。 （2）從公共點的個數(shù)來考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離（外離、內(nèi)含），相切（外切、內(nèi)切）。 兩圓的位置關系 d與r1和r2之間的關系 公共點的個數(shù) 相離 d>r1+r2 無 外切 d=r1+r2 1 相交 r1-r2r2） 八、正多邊形的有關概念及計算 1、正多邊形的有關概念：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。 2、正多邊形的計算： （1）正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形。 （2）邊長（an）、半徑（R）、邊心距（rn）、中心角（an）、周長（Pn）、面積（Sn）之間的關系為： ①中心角an=；②周長Pn=nan；③面積Sn =n rn an =Pn rn.. （3）作正多邊形：利用、規(guī)等分圓周。 九、弧長和扇形面積 1、弧長計算公式：在半徑為R的圓中，n的圓心角所對的弧長為l= 2、扇形面積計算公式：S扇形= (其中R為扇形半徑，n為圓心角)； 3、弧長和扇形面積的關系：S扇形=R 十、圓錐的側(cè)面積和全面積 1、圓錐的側(cè)面展開圖形狀:扇形 2、側(cè)面積計算公式：S側(cè) = 全面積的計算公式：S全 = +（其中l(wèi) 為圓錐母線長，r為底面圓的半徑） ◆例題解析 【例1】在平面直角坐標系內(nèi)，以原點O為圓心，5為半徑作⊙O，已知A、B、C三點的坐標分別為A（3，4），B（－3，－3），C（4，）。試判斷A、B、C三點與⊙O的位置關系。 【分析】要判斷點與圓的位置關系就是要比較點到圓心的距離與半徑的大小關系。 解：∵OA＝ ∴點A在⊙O上，點B在⊙O內(nèi)，點C在⊙O外。 【例2】如圖，△ABC中，∠A＝700，⊙O截△ABC的三條邊所截得的弦長都相等，則∠BOC＝ 。 【分析】由于⊙O截△ABC的三條邊所截得的弦長都相等，則點O到三邊的距離也相等，即O是△ABC角平分線的交點，問題就容易解決了。 解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，則OD＝OE＝OF ∴O為△ABC角平分線的交點 ∵∠A＝700 ∴∠ABC＋∠ACB＝1100 ∴∠OBC＋∠OCB＝1100＝550 ∴∠BOC＝1800－550＝1250 【例3】如圖1，在⊙O中，AB＝2CD，那么（ ） A、 B、 C、 D、與的大小關系不能確定 【分析】如圖1，把作出來，變成一段弧，然后比較與的大小。 解：如圖1，作，則 ∵在△CDE中，CD＋DE＞CE ∴2CD＞CE ∵AB＝2CD ∴AB＞CE ∴，即 變式：如圖，在⊙O中，，問AB與2CD的大小關系？ 略解：取的中點E，則 ∴AB＝BE＝CD ∵在△AEB中，AE＋BE＞AB ∴2CD＞AB，即AB＜2CD 探索與創(chuàng)新： 【問題】已知點M（，）在拋物線上，若以M為圓心的圓與軸有兩個交點A、B，且A、B兩點的橫坐標是關于的方程的兩根（如上圖）。 （1）當M在拋物線上運動時，⊙M在軸上截得的弦長是否變化？為什么？ （2）若⊙M與軸的兩個交點和拋物線的頂點C構(gòu)成一個等腰三角形，試求、的值。 【分析】（1）設A、B兩點的橫坐標分別是、，由根與系數(shù)的關系知，，那么：，又因為M在拋物線上，所以。故AB＝2，即⊙M在軸上截得的弦長不變。 （2）C（0，－1），， ①當AC＝BC，即時，，； ②當AC＝AB時，，，，或， ③當BC＝AB時，，，或， ◆強化訓練 一、選擇題： 1、兩個圓的圓心都是O，半徑分別為、，且＜OA＜，那么點A在（ ） A、⊙內(nèi) B、⊙外 C、⊙外，⊙內(nèi) D、⊙內(nèi)，⊙外 2、一個點到圓的最小距離為4cm，最大距離為9cm，則該圓的半徑是（ ） A、2.5 cm或6.5 cm B、2.5 cm C、6.5 cm D、5 cm或13cm 3、三角形的外心恰在它的一條邊上，那么這個三角形是（ ） A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定 4、如圖，AB為⊙O的一固定直徑，它把⊙O分成上、下兩個半圓，自上半圓上一點C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分線交⊙O于點P，當點C在上半圓（不包括A、B兩點）上移動時，點P（ ） A、到CD的距離保持不變 B、位置不變 C、等分 D、隨C點移動而移動 二、填空題： 1、若為⊙O的直徑，為⊙O的一條弦長，則與的大小關系是 。 2、△ABC的三邊分別為5 cm、12 cm、13 cm，則△ABC的外心和垂心的距離是 。 3、如圖，⊙O中兩弦AB＞CD，AB、CD相交于E，ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，連結(jié)OM、ON、MN，則∠MNE與∠NME的大小關系是∠MNE ∠NME。 4、如圖，⊙O中，半徑CO垂直于直徑AB，D為OC的中點，過D作弦EF∥AB，則∠CBE＝ 。 5、在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長分別為和，則∠BAC的度數(shù)為 。 三、計算或證明： 1、如圖，的度數(shù)為900，點C和點D將三等分，半徑OC、OD分別和弦AB交于E、F。求證：AE＝CD＝FB。 2、如圖，在⊙O中，兩弦AB與CD的中點分別是P、Q，且，連結(jié)PQ，求證：∠APQ＝∠CQP。 3、如圖，在⊙O中，兩弦AC、BD垂直相交于M，若AB＝6，CD＝8，求⊙O的半徑。 4、如圖，已知A、B、C、D四點順次在⊙O上，且，BM⊥AC于M，求證：AM＝DC＋CM。 參考答案 一、選擇題：CABB 二、填空題： 1、≥；2、6.5cm；3、＞；4、300；5、150或750 三、計算或證明： 1、提示：連結(jié)AC、BD，先證AC＝CD＝BD，再利用角證AC＝AE，BD＝DF即可； 2、提示：連結(jié)OP、OQ ∵P、Q是AB、CD的中點，∴OP⊥AB，OQ⊥CD ∵，∴OP＝OQ ∴∠OPQ＝∠OQP，∴∠APQ＝∠CQP 3、提示：連結(jié)CO并延長交⊙O于E，連結(jié)ED、AE，設⊙O的半徑為R，則∠EDC＝∠EAC＝900，∴。∵AC⊥BD，∴AE∥BD，∴，∴AB＝ED，∴，而AB＝6，CD＝8，∴R＝5 4、提示：延長DC至N，使CN＝CM，連結(jié)NB，則∠BCN＝∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，可證得△BCN≌△BCM，Rt△BAM≌Rt△BDN。