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第1課時(shí) 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一)
1.函數(shù)f(x)=x-1x的零點(diǎn)是( ).
A.1 B.-1
C.1和-1 D.不存在
【解析】∵x-1x=x2-1x=0,∴x=1.
【答案】C
2.函數(shù)f(x)=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是( ).
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
【解析】∵f(x)為增函數(shù),f(-1)=-52<0,f(0)=1>0,
∴f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(-1,0)內(nèi).
【答案】B
3.已知函數(shù)f(x)=2x-1,x≤1,1+log2x,x>1,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為( ).
A.12,0 B.-2,0
C.12 D.0
【解析】當(dāng)x≤1時(shí),由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.當(dāng)x>1時(shí),由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=12,不合題意,所以函數(shù)的零點(diǎn)為0,選D.
【答案】D
4.已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a,b,α,β的大小關(guān)系可能是( ).
A.a<α
0,
∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(3,4)內(nèi),∴k=3.
【答案】3
7.已知方程ax2-2x+1=0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)上,另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)上,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】當(dāng)a=0時(shí),方程為-2x+1=0,只有一個(gè)根,不符合題意.
當(dāng)a>0時(shí),設(shè)f(x)=ax2-2x+1,
∵方程的根分別在區(qū)間(0,1),(1,2)上,
∴f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即1>0,a-2+1<0,4a-4+1>0,解得340,f(21)<0,故方程0.9x-221x=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是1.
【答案】B
10.若函數(shù)f(x)唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)或(1,4)或(1,5)內(nèi),則
①函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)或(2,3)內(nèi);
②函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,5)內(nèi)無(wú)零點(diǎn);
③函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,5)內(nèi)有零點(diǎn);
④函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)不一定有零點(diǎn);
⑤函數(shù)f(x)的零點(diǎn)必在區(qū)間(1,5)內(nèi).
以上說(shuō)法錯(cuò)誤的是 .(將序號(hào)填在橫線上)
【解析】由于三個(gè)區(qū)間是包含關(guān)系,而(1,5)范圍最大,故零點(diǎn)可能在區(qū)間(1,5)的任何一個(gè)子區(qū)間內(nèi),故①②③錯(cuò)誤.
【答案】①②③
11.設(shè)函數(shù)g(x)=ax2+bx+c(a>0),且g(1)=-a2.
(1)求證:函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】(1)∵g(1)=a+b+c=-a2,
∴3a+2b+2c=0,∴c=-32a-b.
∴g(x)=ax2+bx-32a-b,∴Δ=b2+4a32a+b=(2a+b)2+2a2,
∵a>0,∴Δ>0恒成立,
故函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)根據(jù)g(0)=c,g(2)=4a+2b+c,由(1)知3a+2b+2c=0,∴g(2)=a-c.
①當(dāng)c>0時(shí),有g(shù)(0)>0,又∵a>0,∴g(1)=-a2<0,
故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),故在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)c≤0時(shí),g(1)<0,g(0)=c≤0,g(2)=a-c>0,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),
綜合①②,可知函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).
第2課時(shí) 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一)
1.函數(shù)f(x)=(x-1)(x+2)lnxx-3的零點(diǎn)有( ).
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
【解析】由f(x)=(x-1)(x+2)lnxx-3=0得x=1或x=-2(舍去),∴函數(shù)f(x)只有1個(gè)零點(diǎn).
【答案】B
2.已知函數(shù)f(x)=lgx,x≥32,lg(3-x),x<32,若方程f(x)=k無(wú)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( ).
A.k0,f(2)<0,則f(x)在區(qū)間(1,2)上( )零點(diǎn).
A.至多有一個(gè) B.有一個(gè)或兩個(gè)
C.有且僅有一個(gè) D.沒有
【解析】若a=0,則b≠0,此時(shí)f(x)=bx+c為單調(diào)函數(shù).
∵f(1)>0,f(2)<0,∴f(x)在區(qū)間(1,2)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
若a≠0,則f(x)為開口向上或向下的拋物線.若f(x)在區(qū)間(1,2)上有兩個(gè)零點(diǎn)或無(wú)零點(diǎn),則必有f(1)f(2)>0.
∵f(1)>0,f(2)<0,∴f(x)在區(qū)間(1,2)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),故選C.
【答案】C
5.若函數(shù)y=2-|x-1|-m有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【解析】由函數(shù)y=2-|x-1|=12|x-1|的圖象(圖略)可知00且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【解析】函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=ax與函數(shù)y=x+a圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),由函數(shù)的圖象可知當(dāng)a>1時(shí),兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)01.
【答案】(1,+∞)
7.若關(guān)于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)上,另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)上,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【解析】
令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,
由圖象可得只需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0即可滿足題意,
即2k-1>0,1+k-2+2k-1<0,4+2(k-2)+2k-1>0,
解得k>12,k<23,k>14.
因此實(shí)數(shù)k的取值范圍為12,23.
拓展提升(水平二)
8.定義在R上的奇函數(shù)y=f(x),當(dāng)x>0時(shí),y=f(x)是增函數(shù),且f(1)f(2)<0,則函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ).
A.1 B.2
C.3 D.條件不足,無(wú)法判斷
【解析】由y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(1)f(2)<0,得函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).由奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)知函數(shù)y=f(x)在(-∞,0)上也只有一個(gè)零點(diǎn).又當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,所以函數(shù)y=f(x)在R上共有三個(gè)零點(diǎn).故選C.
【答案】C
9.若函數(shù)f(x)滿足在區(qū)間(1,2)上有唯一的零點(diǎn),則( ).
A.f(1)f(2)>0
B.f(1)f(2)=0
C.f(1)f(2)<0
D.無(wú)法確定f(1)f(2)與0的大小關(guān)系
【解析】如圖,
A、B、C三個(gè)選項(xiàng)都有可能,故選D.
【答案】D
10.已知函數(shù)f(x)=|ln x|,g(x)=0,01,則方程|f(x)+g(x)|=1的實(shí)根個(gè)數(shù)為 .
【解析】當(dāng)01時(shí),f(x)+g(x)=ln x+x2-6單調(diào)遞減,值域?yàn)?-5,+∞),方程f(x)+g(x)=1有1個(gè)解,方程f(x)+g(x)=-1有1個(gè)解.
綜上所述,原方程有3個(gè)實(shí)根.
【答案】3
11.已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4].
(1)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,并寫出其值域;
(2)當(dāng)m為何值時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)+m在區(qū)間[-1,4]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)?
【解析】(1)依題意,f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4],
其圖象如圖所示.
由圖可知,函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-4,5].
(2)∵函數(shù)g(x)=f(x)+m在區(qū)間[-1,4]上有兩個(gè)零點(diǎn),
∴方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,
即函數(shù)y=f(x)與直線y=-m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
由(1)所作的圖象可知,-4<-m≤0,∴0≤m<4.
∴當(dāng)0≤m<4時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)+m在區(qū)間[-1,4]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).
第3課時(shí) 用二分法求方程的近似解
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一)
1.若函數(shù)f(x)在[3,5]上連續(xù),且滿足f(3)f(5)<0,取區(qū)間(3,5)內(nèi)的中點(diǎn)值4之后,發(fā)現(xiàn)有f(3)f(4)>0,則f(x)( ).
A.在[3,4]上有零點(diǎn) B.在[4,5]上有零點(diǎn)
C.在[3,4]上無(wú)零點(diǎn) D.在[4,5]上無(wú)零點(diǎn)
【解析】根據(jù)f(3)f(4)>0無(wú)法判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,4]上是否有零點(diǎn),故排除A、C,但可推出f(4)f(5)<0,所以可確定函數(shù)f(x)在區(qū)間[4,5]上有零點(diǎn).
【答案】B
2.設(shè)函數(shù)f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則方程的根所在的區(qū)間為( )(區(qū)間長(zhǎng)度0.25).
A.(1,1.25) B.(1,1.5)
C.(1.5,2) D.(1.25,1.5)
【解析】∵f(1)<0,f(1.25)<0,f(1.5)>0,∴方程的根落在(1.25,1.5)上.
【答案】D
3.用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí),經(jīng)計(jì)算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,則函數(shù)的一個(gè)精確度為0.1的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為( ).
A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4
【解析】因?yàn)閒(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零點(diǎn)在區(qū)間(0.68,0.72)內(nèi),又|0.72-0.68|=0.04<0.1,所以零點(diǎn)在區(qū)間[0.68,0.72]內(nèi),故只有B選項(xiàng)符合要求.
【答案】B
4.在用二分法求函數(shù)f(x)在(a,b)上的唯一零點(diǎn)x0的過程中,取(a,b)上的中點(diǎn)c=a+b2,若f(c)=0,則函數(shù)f(x)在(a,b)上的唯一零點(diǎn)x0( ).
A.在(a,c)上 B.在(c,b)上
C.在(a,c)或(c,d)上 D.等于a+b2
【解析】∵c=a+b2,且f(c)=0,∴x0=a+b2.故選D.
【答案】D
5.已知函數(shù)f(x)=13x-log2x,若實(shí)數(shù)x0是方程13x-log2x=0的解,且01,并且當(dāng)00.
【答案】正
6.用二分法求連續(xù)函數(shù)f(x)=0在(1,5)上的近似解(精確度為0.1)的部分過程如下:f(1)f(5)<0,取(1,5)的中點(diǎn)x1=1+52=3,計(jì)算得f(1)f(x1)<0,f(x1)f(5)>0,則此時(shí)能判斷函數(shù)f(x)一定有零點(diǎn)的最小區(qū)間為 .
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為連續(xù)函數(shù),且f(1)f(3)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上一定有零點(diǎn).
【答案】(1,3)
7.某娛樂節(jié)目有一個(gè)給選手在限定時(shí)間內(nèi)猜一物品售價(jià)的環(huán)節(jié),某次猜一品牌手機(jī)的價(jià)格,手機(jī)價(jià)格在500~1000元,選手開始報(bào)價(jià)1000元,主持人回答高了;緊接著報(bào)900元,高了;700元,低了;800元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你猜中了.表面上看猜價(jià)格具有很大的碰運(yùn)氣的成分,實(shí)際上體現(xiàn)了“逼近”的思想,試設(shè)計(jì)出可行的猜價(jià)方案.
【解析】取價(jià)格區(qū)間[500,1000]的中點(diǎn)750,低了;就再取[750,1000]的中點(diǎn)875,高了;就取[750,875]的中點(diǎn),遇到小數(shù),則取整數(shù),照此猜下去可以猜價(jià):750,875,812,843,859,851,經(jīng)過6次即能猜中價(jià)格.
拓展提升(水平二)
8.用二分法求函數(shù)f(x)=ln x+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點(diǎn)近似值,至少經(jīng)過( )次二分后精確度達(dá)到0.01.
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】區(qū)間(2,3)的長(zhǎng)度等于1,每經(jīng)過一次操作,區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半,經(jīng)過n次操作后,區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?2n,故有12n≤0.01,∴n≥7,∴至少需要操作7次.故選C.
【答案】C
9.已知曲線y=110x與y=x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0,則x0的取值范圍是( ).
A.0,12 B.12 C.12,1 D.(1,2)
【解析】設(shè)f(x)=110x-x,則函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),f(0)=1>0,f12=11012-12<0,顯然f(0)f12<0.所以x0的取值范圍為0,12.故選A.
【答案】A
10.某方程有一個(gè)無(wú)理根在區(qū)間D=(1,3)內(nèi),若用二分法求此根的近似值,將區(qū)間D等分 次后,所得近似值的精確度為0.1.
【解析】由3-12n≤0.1(n∈N*),得2n≥20,∴n>4,故需將區(qū)間D等分5次.
【答案】5
11.如圖,有一塊邊長(zhǎng)為15 cm的正方形鐵皮,將其四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x cm的小正方形,然后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子.
(1)求盒子的容積y(以x為自變量)的函數(shù)解析式,并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域.
(2)如果要做一個(gè)容積為150 cm3的無(wú)蓋盒子,那么截去的小正方形的邊長(zhǎng)x是多少(結(jié)果精確到0.1 cm)?
【解析】(1)盒子的容積y是以x為自變量的函數(shù),解析式為y=x(15-2x)2,x∈(0,7.5).
(2)如果要做成一個(gè)容積是150 cm3的盒子,
則(15-2x)2x=150.
令f(x)=(15-2x)2x-150,由f(0)f(1)<0,f(4)f(5)<0,可以確定f(x)在(0,1)和(4,5)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),即方程(15-2x)2x=150在區(qū)間(0,1)和(4,5)內(nèi)各有一個(gè)解.
取區(qū)間(0,1)的中點(diǎn)x1=0.5,∵f(0.5)=-52,
∴零點(diǎn)x0∈(0.5,1).
再取中點(diǎn)x2=0.75,∵f(0.75)≈-13.31,∴零點(diǎn)x0∈(0.75,1).
繼續(xù)有x0∈(0.75,0.875);x0∈(0.8125,0.875).
此時(shí)|0.875-0.8125|=0.0625<0.1,
∴方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)結(jié)果精確到0.1 cm的近似解為0.8.
同理,可得方程在區(qū)間(4,5)內(nèi)精確度為0.1的近似解為4.7,所以要做成一個(gè)容積為150 cm3的無(wú)蓋盒子,截去小正方形的邊長(zhǎng)大約是0.8 cm或4.7 cm.
第4課時(shí) 幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一)
1.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,當(dāng)2y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略),在區(qū)間(2,4)內(nèi),從上到下圖象依次對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.也可取特殊值,如3,代入即可.
【答案】B
2.在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中,溫度隨著時(shí)間變化的情況由微機(jī)記錄后顯示的圖象如圖所示.現(xiàn)給出下列說(shuō)法:
①前5 min溫度增加的速度越來(lái)越快;②前5 min溫度增加的速度越來(lái)越慢;
③5 min以后溫度保持勻速增加;
④5 min以后溫度保持不變.
其中正確的說(shuō)法是( ).
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
【解析】因?yàn)闇囟葃關(guān)于時(shí)間t的圖象是先凸后平,即5 min前每當(dāng)t增加一個(gè)單位,y相應(yīng)的增量越來(lái)越小,而5 min后y關(guān)于t的增量保持為0,故②④正確.
【答案】B
3.某商品降價(jià)20%,由于原材料上漲,欲恢復(fù)原價(jià),則需提價(jià)( ).
A.10% B.15% C.20% D.25%
【解析】設(shè)該商品原價(jià)為a,需提價(jià)x,依題意得
a(1-0.2)(1+x)=a,
即0.8+0.8x=1,
得x=0.25=25%,故選D.
【答案】D
4.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%,要增長(zhǎng)到原來(lái)的x倍,需經(jīng)過y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為( ).
【解析】設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)的圖象大致為D中圖象,故選D.
【答案】D
5.某種動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系式為y=alog2(x+1),已知該動(dòng)物第一年繁殖100只,則第15年會(huì)繁殖 只.
【解析】由題意100=alog2(1+1),解得a=100,將x=15代入,得y=400.
【答案】400
6.下圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80 km的甲、乙兩城間從甲城行駛到乙城的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,有人根據(jù)函數(shù)圖象,提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息:
①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3 h,晚到1 h;
②騎自行車者是變速運(yùn)動(dòng),騎摩托車者是勻速運(yùn)動(dòng);
③騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車者;
④騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后與騎自行車者速度一樣.
其中,正確信息的序號(hào)是 .
【解析】看時(shí)間軸易知①正確;騎摩托車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是直線,所以是勻速運(yùn)動(dòng),而騎自行車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是折線,所以是變速運(yùn)動(dòng),因此②正確;兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著4.5,故③正確;④錯(cuò)誤.
【答案】①②③
7.某人對(duì)東北一種松樹的生長(zhǎng)情況進(jìn)行了研究,收集了其高度h(米)與生長(zhǎng)時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù),選擇h=mt+b與h=loga(t+1)兩種函數(shù)模型來(lái)刻畫h與t的關(guān)系,你認(rèn)為哪種函數(shù)模型更符合該松樹的生長(zhǎng)情況?并預(yù)測(cè)第8年的松樹高度.
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
【解析】據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖:
由圖可以看出用一次函數(shù)模型不吻合,選用對(duì)數(shù)函數(shù)模型比較合理.
不妨將(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.
故可用函數(shù)h=log3(t+1)來(lái)擬合這個(gè)實(shí)際問題.
當(dāng)t=8時(shí),求得h=log3(8+1)=2,
故可預(yù)測(cè)第8年松樹的高度為2米.
拓展提升(水平二)
8.某公司為開發(fā)新產(chǎn)品,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金的投入.若該公司2015年全年投入的研發(fā)資金為130萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬(wàn)元的年份是( ).
(參考數(shù)據(jù):lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
【解析】設(shè)第n年開始超過200萬(wàn)元,
則130(1+12%)n-2015>200,
整理得(n-2015)lg 1.12>lg 2-lg 1.3,
n-2015>0.30-0.110.05=3.8,故n=2019.
因此開始超過200萬(wàn)元的年份是2019年.故選B.
【答案】B
9.如圖,點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng),設(shè)M為CD的中點(diǎn),則當(dāng)P沿ABCM運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y之間的函數(shù)y=f(x)的圖象大致是( ).
【解析】依題意,當(dāng)010時(shí),y=32+5(x-10).
即函數(shù)關(guān)系式為y=3.2x,010.
(2)設(shè)小華家四月份用水量為x噸.
∵42>3.2010,
∴小華家四月份用水量超過10噸,
由題意得3.2010+(x-10)5=42,
∴x=12(噸).即小華家四月份的用水量為12噸.
【答案】(1)y=3.2x,010 (2)12
11.函數(shù)y=2x-2和y=13x2的圖象如圖所示,其中有且只有x=x1,x2,x3時(shí),兩函數(shù)數(shù)值相等,且x1<013(-1)2=13.
而18<13,∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),2x-2<13x2.
結(jié)論②成立,理由如下:
構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x-2-13x2,
則f(1)=16>0,f(2)=-13<0,
∴f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn),
∴x2∈(1,2),同理f(x)在區(qū)間(5,6)內(nèi)有零點(diǎn),
∴x3∈(5,6).
結(jié)論③成立,理由同②.
第5課時(shí) 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一)
1.“彎弓射雕”描述了游牧民族的豪邁氣概.當(dāng)弓箭手以每秒a米的速度從地面垂直向上射箭時(shí),t秒后的高度x米可由x=at-5t2確定.已知射出2秒后箭離地面高100米,則弓箭能達(dá)到的最大高度為( ).
A.160米 B.170米 C.180米 D.190米
【解析】由x=at-5t2且t=2時(shí),x=100,解得a=60.所以x=60t-5t2.
由x=-5t2+60t=-5(t-6)2+180,
知當(dāng)t=6時(shí),x取得最大值為180,
即弓箭能達(dá)到的最大高度為180米.
【答案】C
2.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì),規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表.那么各班可推選的代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為( ).
A.y=x10 B.y=x+310
C.y=x+410 D.y=x+510
【解析】當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表,可以看作先用該班人數(shù)除以10再用這個(gè)余數(shù)與3相加,若和大于等于10就增選一名代表,將二者合并便得到推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系,用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為y=x+310.故選B.
【答案】B
3.馬先生兩年前購(gòu)買了一部手機(jī),現(xiàn)在這款手機(jī)的價(jià)格已降為1000元,設(shè)這款手機(jī)每年降價(jià)20%,那么兩年前這部手機(jī)的價(jià)格為( ).
A.1535.5元 B.1440元
C.1620元 D.1562.5元
【解析】設(shè)這部手機(jī)兩年前的價(jià)格為a元,則有a(1-0.2)2=1000,解得a=1562.5.
【答案】D
4.加工爆米花時(shí),爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時(shí)間t(單位:分鐘)滿足的函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),右圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù),根據(jù)函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時(shí)間為( ).
A.3.50分鐘 B.3.75分鐘
C.4.00分鐘 D.4.25分鐘
【解析】由圖形可知,三點(diǎn)(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函數(shù)p=at2+bt+c的圖象上,所以9a+3b+c=0.7,16a+4b+c=0.8,25a+5b+c=0.5,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2t-1542+1316,因?yàn)閠>0,所以當(dāng)t=154=3.75時(shí),p取最大值,故此時(shí)的t=3.75分鐘為最佳加工時(shí)間.
【答案】B
5.某商家將彩電價(jià)格先按原價(jià)提高40%,然后在廣告上寫上“大酬賓,八折優(yōu)惠”,結(jié)果每臺(tái)彩電比原價(jià)多賺270元,那么每臺(tái)彩電的原價(jià)為 元.
【解析】設(shè)原價(jià)為x元,則x(1+40%)80%-x=270,解得x=2250.
【答案】2250
6.為了在“十一”黃金周期間降價(jià)促銷,某超市對(duì)顧客實(shí)行購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng),規(guī)定一次購(gòu)物付款總額:①如果不超過200元,則不予優(yōu)惠;②如果超過200元,但不超過500元,則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠;③如果超過500元,其中500元按第②條給予優(yōu)惠,超過500元的部分給予7折優(yōu)惠.小云和她的母親兩次去購(gòu)物,分別付款168元和423元,假設(shè)她們一次性購(gòu)買上述同樣的商品,則應(yīng)付款額為 元.
【解析】依題意,一次性購(gòu)買x元商品和實(shí)際付款數(shù)f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為
f(x)=x,0≤x≤200,0.9x,200500,
當(dāng)f(x)=168時(shí),由1680.9≈187<200,故此時(shí)x=168;當(dāng)f(x)=423時(shí),由4230.9=470∈(200,500],故此時(shí)x=470.∴兩次共購(gòu)得價(jià)值為470+168=638元的商品,∴5000.9+(638-500)0.7=546.6元,故若一次性購(gòu)買上述商品,應(yīng)付款額為546.6元.
【答案】546.6
7.根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè),投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí),兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元(如圖所示).
(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)若該家庭現(xiàn)有資金20萬(wàn)元,全部用于理財(cái)投資,問:怎樣分配資金能使投資獲得最大的收益?其最大收益為多少?
【解析】(1)設(shè)投資額為x萬(wàn)元,穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益為y1=f(x),風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益為y2=g(x),
由題設(shè)知,f(x)=k1x,g(x)=k2x,
由圖①知,f(1)=18,故k1=18.
由圖②知,g(1)=12,故k2=12.
所以f(x)=18x(x≥0),g(x)=12x(x≥0).
(2)設(shè)該家庭債券類投資為x萬(wàn)元,股票類投資為(20-x)萬(wàn)元,
則y=f(x)+g(20-x)=x8+1220-x(0≤x≤20),
令t=20-x(0≤t≤25),
則x=20-t2,y=20-t28+12t=-18(t2-4t-20)=-18(t-2)2+3.
所以當(dāng)t=2,即x=16時(shí),ymax=3.
故當(dāng)債券類投資為16萬(wàn)元,股票類投資為4萬(wàn)元時(shí)收益最大,最大收益為3萬(wàn)元.
拓展提升(水平二)
8.已知世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番,則每年人口的平均增長(zhǎng)率約是( ).(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.301,100.0075≈1.017)
A.1.5% B.1.6% C.1.7% D.1.8%
【解析】設(shè)每年人口的平均增長(zhǎng)率是x,
由題意得,(1+x)40=2,則40lg(1+x)=lg 2,
即lg(1+x)=0.30140≈0.0075,所以x≈1.7%.
【答案】C
9.若某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況.
加油時(shí)間
加油量/升
加油時(shí)的累計(jì)里程/千米
2018年5月1日
12
35000
2018年5月15日
48
35600
注:“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程.
在這段時(shí)間內(nèi),該車每100千米平均耗油量為( ).
A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
【解析】由表格信息可知,汽車行駛35600-35000=600千米耗油48升,所以每100千米的平均耗油量為8升,故選B.
【答案】B
10.某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震.地震專家對(duì)發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測(cè),記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
強(qiáng)度(J)
1.61019
3.21019
4.51019
6.41019
震級(jí)(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
注:地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量.
地震強(qiáng)度x和震級(jí)y的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=alg x+b(a,b為常數(shù)).利用散點(diǎn)圖可知a的值等于 .(取lg 2=0.3進(jìn)行計(jì)算)
【解析】由記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)可知,
當(dāng)x=1.61019時(shí),y=5,
當(dāng)x=3.21019時(shí),y=5.2,
所以5=alg(1.61019)+b,?、?
5.2=alg(3.21019)+b, ②
由②-①得0.2=alg3.210191.61019,
所以a=0.2lg2=0.20.3=23.
【答案】23
11.某種特色水果每年的上市時(shí)間是從4月1日開始持續(xù)5個(gè)月的時(shí)間.上市初期價(jià)格呈現(xiàn)上漲趨勢(shì),中期價(jià)格開始下跌,后期價(jià)格在原有價(jià)格基礎(chǔ)之上繼續(xù)下跌.現(xiàn)有三種價(jià)格變化的模擬函數(shù):①f(x)=pqx;②f(x)=px2+qx+7;③f(x)=logq(x+p),其中p,q均為常數(shù)且q>1.(注:x表示上市時(shí)間,f(x)表示價(jià)格,記x=0表示4月1日,x=1表示5月1日,…,以此類推,x∈[0,5])
(1)在上述三個(gè)價(jià)格模擬函數(shù)中,哪一個(gè)更能體現(xiàn)該種水果的價(jià)格變化趨勢(shì)?并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
(2)對(duì)(1)中所選的函數(shù)f(x),若f(2)=11,f(3)=10,記g(x)=f(x)-2x-13x+1,經(jīng)過多年的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),當(dāng)函數(shù)g(x)取得最大值時(shí),拓展外銷市場(chǎng)的效果最為明顯,請(qǐng)預(yù)測(cè)明年拓展外銷市場(chǎng)的時(shí)間是幾月1日?
【解析】(1)根據(jù)題意,該種水果的價(jià)格變化趨勢(shì)是先增加后減少,基本符合開口向下的二次函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),故應(yīng)該選擇②.
(2)由f(2)=11,f(3)=10,
得4p+2q+7=11,9p+3q+7=10,解得p=-1,q=4,
故f(x)=-x2+4x+7.
所以g(x)=f(x)-2x-13x+1=-x2+2x-6x+1=-x2-2x+6x+1=-9x+1+(x+1)-4,此函數(shù)在[0,2]上單調(diào)遞增,在[2,5]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時(shí),g(x)最大.
所以明年拓展外銷市場(chǎng)的時(shí)間應(yīng)為6月1日.
第三章章末小結(jié)
一、選擇題
1.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又有零點(diǎn)的增函數(shù)的是( ).
A.y=12x B.y=1x
C.y=log3x D.y=x3
【解析】A,C錯(cuò),y=12x與y=log3x是非奇非偶函數(shù);B是奇函數(shù),但無(wú)零點(diǎn),只有D正確.
【答案】D
2.下列關(guān)于函數(shù)f(x),x∈[a,b]的命題中,正確的是( ).
A.若x0∈[a,b]且滿足f(x0)=0,則x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)
B.若x0是f(x)在[a,b]上的零點(diǎn),則可以用二分法求x0的近似值
C.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)
D.用二分法求方程的根時(shí),得到的都是近似解
【解析】選項(xiàng)A正確.使用“二分法”必須滿足“二分法”的使用條件,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.f(x)=0的根也一定是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),選項(xiàng)C錯(cuò)誤.用二分法求方程的根時(shí),得到的也可能是精確解,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選A.
【答案】A
3.若函數(shù)f(x)=x2lg a-2x+1有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).
A.00,解得00,
∴x0∈(1,2).
【答案】B
5.如圖,在直角梯形OABC中,AB∥OC,AB=1,OC=BC=2,直線l:x=t截此梯形所得位于l左方的圖形面積為S,則函數(shù)S=f(t)的圖象大致為( ).
【解析】由題意可得S=f(t)=12t2t,0≤t≤1,1212+(t-1)2,11,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ).
A.(1,+∞) B.(-∞,1)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
【解析】函數(shù)f(x)=x2+2(m-1)x-5m-2開口向上,函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2滿足x1<1,x2>1,可得1+2(m-1)-5m-2<0,
解得m>-1.
【答案】C
8.函數(shù)f(x)=lg x-1x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( ).
A.(0,1) B.(1,10)
C.(10,100) D.(100,+∞)
【解析】∵f(1)=-1<0,f(10)=1-110=910>0,
∴f(1)f(10)<0,由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知,函數(shù)f(x)=lg x-1x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,10),故選B.
【答案】B
9.已知a是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),且x10 B.f(x1)f(x2)<0
C.f(x1)f(x2)≥0 D.以上都不對(duì)
【解析】定理的逆定理不成立,故f(x1)f(x2)的值不確定.
【答案】D
10. 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
不求a,b,c的值,判斷方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根所在的區(qū)間是( ).
A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2) D.(-∞,-3)和(4,+∞)
【解析】因?yàn)閒(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以方程在區(qū)間(-3,-1)內(nèi)必有根.又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以方程在區(qū)間(2,4)內(nèi)必有根.
【答案】A
11.函數(shù)f(x)=|x|+k有兩個(gè)零點(diǎn),則( ).
A.k=0 B.k>0 C.0≤k<1 D.k<0
【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y1=|x|和y2=-k的圖象,如圖所示.若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則必有-k>0,即k<0.
【答案】D
12.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上有意義,對(duì)于給定的正數(shù)k,定義函數(shù)fk(x)=f(x),f(x)0,12-12+x,x≤0,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-k至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 .
【解析】由函數(shù)圖象(圖略)可知,當(dāng)直線y=kx-k過點(diǎn)-12,12時(shí),直線的斜率最小,即k=-13;當(dāng)直線y=kx-k與函數(shù)y=x2-x(x>0)相切時(shí)有一個(gè)交點(diǎn),k=y=1,故當(dāng)函數(shù)f(x)與直線y=kx-k有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即關(guān)于x的方程f(x)=kx-k至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-13,1∪(1,+∞).
【答案】-13,1∪(1,+∞)
三、解答題
17.若二次函數(shù)f(x)=-x2+2ax+4a+1的一個(gè)零點(diǎn)小于-1,另一個(gè)零點(diǎn)大于3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)=-x2+2ax+4a+1的圖象開口向下,且在區(qū)間(-∞,-1)內(nèi)與區(qū)間(3,+∞)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),所以f(-1)>0,f(3)>0,
即-(-1)2+2a(-1)+4a+1>0,-32+2a3+4a+1>0,
即2a>0,10a-8>0,解得a>45.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是45,+∞.
18.已知函數(shù)f(x)=lg 1+ax1-x(a>0)為奇函數(shù),函數(shù)g(x)=2x2+b(b∈R).
(1)求a的值;
(2)若b>1,討論方程g(x)=ln |x|實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).
【解析】(1)由f(x)=lg1+ax1-x(a>0)為奇函數(shù),得f(-x)+f(x)=0,
即lg 1-ax1+x+lg 1+ax1-x=lg 1-a2x21-x2=0,
所以1-a2x21-x2=1,解得a=1(a=-1舍去).
(2)當(dāng)b>1時(shí),設(shè)h(x)=g(x)-ln |x|=2x2+b-ln |x|,
則h(x)是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
又h(1)=2+b>0,h(e2b)=2e4b-b<2e4-1<0,
所以h(x)在(0,+∞)上有唯一的零點(diǎn),方程g(x)=ln |x|有2個(gè)實(shí)數(shù)根.
19.某廠生產(chǎn)某種零件,每個(gè)零件的成本為40元,出廠單價(jià)定為60元.該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購(gòu),決定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過100個(gè)時(shí),每多訂購(gòu)一個(gè),訂購(gòu)的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元,但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元.
(1)當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí),零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰好降為51元?
(2)設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè),零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元,寫出P關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.
(3)當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí),該廠獲得的利潤(rùn)是多少元?如果訂購(gòu)1000個(gè),利潤(rùn)又是多少元?(工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)=實(shí)際出廠單價(jià)-成本)
【解析】(1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰好降為51元時(shí),一次訂購(gòu)量為x0個(gè),則x0=100+60-510.02=550.
因此,當(dāng)一次訂購(gòu)量為550個(gè)時(shí),每個(gè)零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰好降為51元.
(2)當(dāng)010.
(2)由題意知,1.5+2log5(x-9)=5.5,
2log5(x-9)=4,
log5(x-9)=2,
得x-9=52,
解得x=34.
故業(yè)務(wù)員老江的銷售利潤(rùn)是34萬(wàn)元.
21.某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥,據(jù)監(jiān)測(cè),如果成人按規(guī)定的劑量服用,服用藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與服藥的時(shí)間t(小時(shí))之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線,其中OA是線段,曲線AB是函數(shù)y=kat(t≥1,a>0,且k,a是常數(shù))的圖象.
(1)寫出服藥后y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
(2)據(jù)監(jiān)測(cè),每毫升血液中的含藥量不少于2微克時(shí)治療疾病有效.假設(shè)某人第一次服藥為早上6:00,為保持療效,第二次服藥最遲應(yīng)當(dāng)在當(dāng)天幾點(diǎn)鐘?
(3)若按(2)中的最遲時(shí)間服用第二次藥,則第二次服藥3小時(shí)后,該病人每毫升血液中的含藥量為多少微克?(精確到0.1)
【解析】(1)當(dāng)0≤t<1時(shí),y=8t;
當(dāng)t≥1時(shí),由ka=8,ka7=1,解得a=22,k=82.
∴y=8t,0≤t<1,8222t,t≥1.
(2)由8222t≥2,解得t≤5.∴第一次服藥5小時(shí)后,即第二次服藥最遲應(yīng)當(dāng)在當(dāng)天上午11點(diǎn)鐘服藥.
(3)第二次服藥3小時(shí)后,每毫升血液中含第一次所服藥的藥量為y1=82228=22(微克),含第二次服藥的藥量為y2=82223=4(微克),∴y1+y2=22+4≈4.7(微克).
故第二次服藥3小時(shí)后,該病人每毫升血液中的含藥量約為4.7微克.
22.已知函數(shù)f(x)=-2x2-4x+1,x≤0,x+1,x>0.
(1)計(jì)算fflog214的值;
(2)寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+c,若函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
【解析】(1)由已知得flog214=f(-2)=-2(-2)2-4(-2)+1=1.
所以fflog214=f(1)=1+1=2.
(2)當(dāng)x≤0時(shí),函數(shù)f(x)=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3.
由函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)在區(qū)間(-∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間[-1,0]內(nèi)單調(diào)遞減;
當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)=x+1,顯然f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,0].
(3)作出f(x)的圖象,如圖.
函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn),即方程f(x)+c=0有三個(gè)不同實(shí)根,
又方程f(x)+c=0等價(jià)于方程f(x)=-c,
所以當(dāng)f(x)的圖象與直線y=-c有三個(gè)交點(diǎn)時(shí),
函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn).
數(shù)形結(jié)合得1<-c<3,即-3
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