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方案設(shè)計(jì) 1. （xx?福建 A 卷?10 分）如圖，在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為 a 米的舊墻 MN，某人利用舊墻 和木欄圍成一個(gè)矩形菜園 ABCD，其中 AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了 100 米木欄． （1）若 a=20，所圍成的矩形菜園的面積為 450 平方米，求所利用舊墻 AD 的長(zhǎng)； （2）求矩形菜園 ABCD 面積的最大值． 【分析】（1）設(shè) AB=xm，則 BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面積公式得到 x（100﹣2x）=450，解 方程得 x1=5，x2=45，然后計(jì)算 100﹣2x 后與 20 進(jìn)行大小比較即可得到 AD 的長(zhǎng)； （2）設(shè) AD=xm，利用矩形面積得到 S=x（100﹣x），配方得到 S=﹣（x﹣50）2+1250，討論： 當(dāng) a≥50 時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得 S 的最大值為 1250；當(dāng) 0＜a＜50 時(shí)，則當(dāng) 0＜x≤a 時(shí)，根 據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得 S 的最大值為 50a﹣a2． 【解答】解：（1）設(shè) AB=xm，則 BC=（100﹣2x）m， 根據(jù)題意得 x（100﹣2x）=450，解得 x1=5，x2=45， 當(dāng) x=5 時(shí)，100﹣2x=90＞20，不合題意舍去； 當(dāng) x=45 時(shí)，100﹣2x=10， 答：AD 的長(zhǎng)為 10m； （2）設(shè) AD=xm， ∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250， 當(dāng) a≥50 時(shí)，則 x=50 時(shí)，S 的最大值為 1250； 當(dāng) 0＜a＜50 時(shí)，則當(dāng) 0＜x≤a 時(shí)，S 隨 x 的增大而增大，當(dāng) x=a 時(shí)，S 的最大值為 50a﹣a2， 綜上所述，當(dāng) a≥50 時(shí)，S 的最大值為 1250；當(dāng) 0＜a＜50 時(shí)，S 的最大值為 50a﹣a2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)幾何性質(zhì)確定出二次函數(shù)的解析式， 然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量 x 的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值 時(shí)，一定要注意自變量 x 的取值范圍． 2.（xx?福建 B 卷?10 分）空地上有一段長(zhǎng)為 a 米的舊墻 MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩 形菜園 ABCD，已知木欄總長(zhǎng)為 100 米． （1）已知 a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了 100 米木欄，且圍成的矩形菜園面積為 450 平方米． 如圖 1，求所利用舊墻 AD 的長(zhǎng)； （2）已知 0＜α ＜50，且空地足夠大，如圖 2．請(qǐng)你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使 得所圍成的矩 形菜園 ABCD 的面積最大，并求面積的最大值． 圖1 圖2 【分析】（1）按題意設(shè)出 AD，表示 AB 構(gòu)成方程； （2）根據(jù)舊墻長(zhǎng)度 a 和 AD 長(zhǎng)度表示矩形菜園長(zhǎng)和寬，注意分類討論 s 與菜園邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān) 系． 【解答】解：（1）設(shè) AD=x 米，則 AB=米 依題意得， 解得 x1=10，x2=90 ∵a=20，且 x≤a ∴x=90 舍去 ∴利用舊墻 AD 的長(zhǎng)為 10 米． （2）設(shè) AD=x 米，矩形 ABCD 的面積為 S 平方米 ①如果按圖一方案圍成矩形菜園，依題意 得： S=，0＜x＜a ∵0＜α ＜50 ∴x＜a＜50 時(shí)，S 隨 x 的增大而增大 當(dāng) x=a 時(shí)，S 最大=50a﹣ ②如按圖 2 方案圍成矩形菜園，依題意得 S=，a≤x＜50+ 當(dāng) a＜25+＜50 時(shí)，即 0＜a＜時(shí)， 則 x=25+時(shí)， S 最大=（25+）2= 當(dāng) 25+≤a，即時(shí)，S 隨 x 的增大而減小 ∴x=a 時(shí)，S 最大= 綜合①②，當(dāng) 0＜a＜時(shí)， ﹣（）= ＞，此時(shí)，按圖 2 方案圍成矩形菜園面積最大，最大面積為平方米 當(dāng)時(shí)，兩種方案圍成的矩形菜園面積最大值相等． ∴ 當(dāng) 0 ＜ a ＜ 時(shí) ，圍成長(zhǎng) 和寬均為 （ 25+ ）米的 矩形菜園 面積最 大，最 大面積 為 平方米； 當(dāng)時(shí)，圍成長(zhǎng)為 a 米，寬為（50﹣）米的矩形菜園面積最大，最大面積為（）平方米． 【點(diǎn)評(píng)】本題以實(shí)際應(yīng)用為背景，考查了一元二次方程與二次函數(shù)最值的討論，解得時(shí)注意分類 討論變量大小關(guān)系． 3.（xx湖南懷化10 分）某學(xué)校積極響應(yīng)懷化市“三城同創(chuàng)”的號(hào)召，綠化校園，計(jì)劃購(gòu) 進(jìn) A，B 兩種樹苗，共 21 棵，已知 A 種樹苗每棵 90 元，B 種樹苗每棵 70 元．設(shè)購(gòu)買 A 種樹苗 x 棵，購(gòu)買兩種樹苗所需費(fèi)用為 y 元． （1）求 y 與 x 的函數(shù)表達(dá)式，其中 0≤x≤21； （2）若購(gòu)買 B 種樹苗的數(shù)量少于 A 種樹苗的數(shù)量，請(qǐng)給出一種費(fèi)用最省的方案，并求出該方案 所需費(fèi)用． 【分析】（1）根據(jù)購(gòu)買兩種樹苗所需費(fèi)用=A 種樹苗費(fèi)用+B 種樹苗費(fèi)用，即可解答； （2）根據(jù)購(gòu)買 B 種樹苗的數(shù)量少于 A 種樹苗的數(shù)量，列出不等式，確定 x 的取值范圍，再根據(jù) （1）得出的 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的增減性結(jié)合自變量的取值即可得出更合 算的方案． 【解答】解：（1）根據(jù)題意，得：y=90x+70（21﹣x）=20x+1470， 所以函數(shù)解析式為：y=20x+1470； （2）∵購(gòu)買 B 種樹苗的數(shù)量少于 A 種樹苗的數(shù)量， ∴21﹣x＜x， 解得：x＞10.5， 又∵y=20x+1470，且 x 取整數(shù)， ∴當(dāng) x=11 時(shí)，y 有最小值=1690， ∴使費(fèi)用最省的方案是購(gòu)買 B 種樹苗 10 棵，A 種樹苗 11 棵，所需費(fèi)用為 1690 元． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元一次不等式及一次函數(shù)的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān) 鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系． 4.（xx 年湖南省婁底市）“綠水青山，就是金山銀山”．某旅游景區(qū)為了保護(hù)環(huán)境，需購(gòu)買 A.B 兩種型號(hào)的垃圾處理設(shè)備共 10 臺(tái)．已知每臺(tái) A 型設(shè)備日處理能力為 12 噸；每臺(tái) B 型設(shè)備日 處理能力為 15 噸；購(gòu)回的設(shè)備日處理能力不低于 140 噸． （1）請(qǐng)你為該景區(qū)設(shè)計(jì)購(gòu)買 A.B 兩種設(shè)備的方案； （2）已知每臺(tái) A 型設(shè)備價(jià)格為 3 萬(wàn)元，每臺(tái) B 型設(shè)備價(jià)格為 4.4 萬(wàn)元．廠家為了促銷產(chǎn)品，規(guī) 定貨款不低于 40 萬(wàn)元時(shí)，則按 9 折優(yōu)惠；問(wèn)：采用（1）設(shè)計(jì)的哪種方案，使購(gòu)買費(fèi)用最少，為 什么？ 【分析】（1）設(shè)購(gòu)買 A 種設(shè)備 x 臺(tái)，則購(gòu)買 B 種設(shè)備（10﹣x）臺(tái)，根據(jù)購(gòu)回的設(shè)備日處理能力 不低于 140 噸列出不等式 12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根據(jù) x 為正整數(shù)，得出 x=1，2， 3．進(jìn)而求解即可； （2）分別求出各方案實(shí)際購(gòu)買費(fèi)用，比較即可求解． 【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買 A 種設(shè)備 x 臺(tái)，則購(gòu)買 B 種設(shè)備（10﹣x）臺(tái)， 根據(jù)題意，得 12x+15（10﹣x）≥140， 解得 x≤3， ∵x 為正整數(shù)， ∴x=1，2，3． ∴該景區(qū)有三種設(shè)計(jì)方案： 方案一：購(gòu)買 A 種設(shè)備 1 臺(tái)，B 種設(shè)備 9 臺(tái)； 方案二：購(gòu)買 A 種設(shè)備 2 臺(tái)，B 種設(shè)備 8 臺(tái)； 方案三：購(gòu)買 A 種設(shè)備 3 臺(tái)，B 種設(shè)備 7 臺(tái)； （2）各方案購(gòu)買費(fèi)用分別為： 方案一：31+4.49=42.6＞40，實(shí)際付款：42.60.9=38.34（萬(wàn)元）； 方案二：32+4.48=41.2＞40，實(shí)際付款：41.20.9=37.08（萬(wàn)元）； 方案三：33+4.47=39.8＜40，實(shí)際付款：39.8（萬(wàn)元）； ∵37.08＜38.04＜39.8， ∴采用（1）設(shè)計(jì)的第二種方案，使購(gòu)買費(fèi)用最少． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，分析題意，找到合適的不等關(guān)系 是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 5.（xx 湖南湘西州 12.00 分）某商店銷售 A 型和 B 型兩種電腦，其中 A 型電腦每臺(tái)的利潤(rùn)為 400 元，B 型電腦每臺(tái)的利潤(rùn)為 500 元．該商店計(jì)劃再一次性購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共 100 臺(tái)，其 中 B 型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò) A 型電腦的 2 倍，設(shè)購(gòu)進(jìn) A 型電腦 x 臺(tái)，這 100 臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn) 為 y 元． （1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； （2）該商店購(gòu)進(jìn) A 型、B 型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？ （3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì) A 型電腦出廠價(jià)下調(diào) a（0＜a＜200）元，且限定商店最多購(gòu)進(jìn) A 型電 腦 60 臺(tái)，若商店保持同種電腦的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息，設(shè)計(jì)出使這 100 臺(tái)電腦銷售總 利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案． 【分析】（1）根據(jù)“總利潤(rùn)=A 型電腦每臺(tái)利潤(rùn)A 電腦數(shù)量+B 型電腦每臺(tái)利潤(rùn)B 電腦數(shù)量”可 得函數(shù)解析式； （2）根據(jù)“B 型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò) A 型電腦的 2 倍且電腦數(shù)量為整數(shù)”求得 x 的范圍，再結(jié) 合（1）所求函數(shù)解析式及一次函數(shù)的性質(zhì)求解可得； （3）據(jù)題意得 y=（400+a）x+500（100﹣x），即 y=（a﹣100）x+50000，分三種情況討論，①當(dāng) 0＜a＜100 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小，②a=100 時(shí)，y=50000，③當(dāng) 100＜m＜200 時(shí)，a﹣100＞0， y 隨 x 的增大而增大，分別進(jìn)行求解． 【解答】解：（1）根據(jù)題意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000； （2）∵100﹣x≤2x， ∴x≥， ∵y=﹣100x+50000 中 k=﹣100＜0， ∴y 隨 x 的增大而減小， ∵x 為正數(shù)， ∴x=34 時(shí)，y 取得最大值，最大值為 46600， 答：該商店購(gòu)進(jìn) A 型 34 臺(tái)、B 型電腦 66 臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是 46600 元； （3）據(jù)題意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即 y=（a﹣100）x+50000， ≤x≤60 ①當(dāng) 0＜a＜100 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小， ∴當(dāng) x=34 時(shí)，y 取最大值， 即商店購(gòu)進(jìn) 34 臺(tái) A 型電腦和 66 臺(tái) B 型電腦的銷售利潤(rùn)最大． ②a=100 時(shí)，a﹣100=0，y=50000， 即商店購(gòu)進(jìn) A 型電腦數(shù)量滿足 ≤x≤60 的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤(rùn)； ③當(dāng) 100＜a＜200 時(shí)，a﹣100＞0，y 隨 x 的增大而增大， ∴當(dāng) x=60 時(shí)，y 取得最大值． 即商店購(gòu)進(jìn) 60 臺(tái) A 型電腦和 40 臺(tái) B 型電腦的銷售利潤(rùn)最大． 【點(diǎn)評(píng)】題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù) x 值的增大而確定 y 值的增減情況． 6.（xx?山東濟(jì)寧市?7 分）綠水青山就是金山銀山”，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，A，B 兩村準(zhǔn)備各 自 清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，每村參加清理人數(shù)及總開支如下表： 村莊 清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人 清理捕魚網(wǎng)箱人 總支出/元 A 15 9 57000 B 10 16 68000 （1）若兩村清理同類漁具的人均支出費(fèi)用一樣，求清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱的 人均支出費(fèi)用各是多少元； （2）在人均支出費(fèi)用不變的情況下，為節(jié)約開支，兩村準(zhǔn)備抽調(diào) 40 人共同清理 養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，要使總支出不超過(guò) 102000 元，且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)小于 清理捕 魚網(wǎng)箱人數(shù)，則有哪幾種分配清理人員方案？ 【解答】解：（1）設(shè)清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為 x 元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用 為y 元， ： 根據(jù)題意，得，解得：， 答：清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為2000 元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為3000 元； （2）設(shè)m 人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，則（40﹣m）人清理捕魚網(wǎng)箱， 根據(jù)題 意，得：， 解得：18≤m＜20， ∵m 為整數(shù)， ∴m=18 或m=19，則分配清理人 員方案有兩種： 方案一：18 人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，22 人清理捕魚網(wǎng)箱； 方 案二：19 人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，21 人清理捕魚網(wǎng)箱． 7.（xx湖北省恩施10 分）某學(xué)校為改善辦學(xué)條件，計(jì)劃采購(gòu) A.B 兩種型號(hào)的空調(diào)， 已知采購(gòu) 3 臺(tái) A 型空調(diào)和 2 臺(tái) B 型空調(diào)，需費(fèi)用 39000 元；4 臺(tái) A 型空調(diào)比 5 臺(tái) B 型空調(diào)的 費(fèi)用多 6000 元． （1）求 A 型空調(diào)和 B 型空調(diào)每臺(tái)各需多少元； （2）若學(xué)校計(jì)劃采購(gòu) A.B 兩種型號(hào)空調(diào)共 30 臺(tái)，且 A 型空調(diào)的臺(tái)數(shù)不少于 B 型空調(diào)的一半， 兩種型號(hào)空調(diào)的采購(gòu)總費(fèi)用不超過(guò) 217000 元，該校共有哪幾種采購(gòu)方案？ （3）在（2）的條件下，采用哪一種采購(gòu)方案可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？ 【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題； （2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式組，從而可以求得有幾種采購(gòu)方案； （3）根據(jù)題意和（2）中的結(jié)果，可以解答本題． 【解答】解：（1）設(shè) A 型空調(diào)和 B 型空調(diào)每臺(tái)各需 x 元、y 元， ，解得， ， 答：A 型空調(diào)和 B 型空調(diào)每臺(tái)各需 9000 元、6000 元； （2）設(shè)購(gòu)買 A 型空調(diào) a 臺(tái)，則購(gòu)買 B 型空調(diào)（30﹣a）臺(tái)， ， 解得，10≤a≤12， ∴a=10.11.12，共有三種采購(gòu)方案， 方案一：采購(gòu) A 型空調(diào) 10 臺(tái)，B 型空調(diào) 20 臺(tái)， 方案二：采購(gòu) A 型空調(diào) 11 臺(tái)，B 型空調(diào) 19 臺(tái)， 方案三：采購(gòu) A 型空調(diào) 12 臺(tái)，B 型空調(diào) 18 臺(tái)； （3）設(shè)總費(fèi)用為 w 元， w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000， ∴當(dāng) a=10 時(shí)，w 取得最小值，此時(shí) w=210000， 即采購(gòu) A 型空調(diào) 10 臺(tái)，B 型空調(diào) 20 臺(tái)可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是 210000 元． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解 答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用函數(shù)和不等式的思想解答． 8.（xx?貴州銅仁?12 分）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種辦公桌若干張，并且每買 1 張辦 公桌必須買 2 把椅子，椅子每把 100 元，若學(xué)校購(gòu)進(jìn) 20 張甲種辦公桌和 15 張乙種辦公桌共 花費(fèi) 24000 元；購(gòu)買 10 張甲種辦公桌比購(gòu)買 5 張乙種辦公桌多花費(fèi) 2000 元． （1）求甲、乙兩種辦公桌每張各多少元？ （2）若學(xué)校購(gòu)買甲乙兩種辦公桌共 40 張，且甲種辦公桌數(shù)量不多于乙種辦公桌數(shù)量的 3 倍，請(qǐng)你給出一種費(fèi)用最少的方案，并求出該方案所需費(fèi)用． 【分析】（1）設(shè)甲種辦公桌每張 x 元，乙種辦公桌每張 y 元，根據(jù)“甲種桌子總錢數(shù)+乙種 桌子總錢數(shù)+所有椅子的錢數(shù)=24000、10 把甲種桌子錢數(shù)﹣5 把乙種桌子錢數(shù)+多出 5 張桌子 對(duì)應(yīng)椅子的錢數(shù)=2000”列方程組求解可得； （2）設(shè)甲種辦公桌購(gòu)買 a 張，則購(gòu)買乙種辦公桌（40﹣a）張，購(gòu)買的總費(fèi)用為 y，根據(jù)“總 費(fèi)用=甲種桌子總錢數(shù)+乙種桌子總錢數(shù)+所有椅子的總錢數(shù)”得出函數(shù)解析式，再由“甲種 辦公桌數(shù)量不多于乙種辦公桌數(shù)量的 3 倍”得出自變量 a 的取值范圍，繼而利用一次函數(shù)的 性質(zhì)求解可得． 【解答】解：（1）設(shè)甲種辦公桌每張 x 元，乙種辦公桌每張 y 元， 根據(jù)題意，得： ， 解得： ， 答：甲種辦公桌每張 400 元，乙種辦公桌每張 600 元； （2）設(shè)甲種辦公桌購(gòu)買 a 張，則購(gòu)買乙種辦公桌（40﹣a）張，購(gòu)買的總費(fèi)用為 y， 則 y=400a+600（40﹣a）+240100 =﹣200a+32000， ∵a≤3（40﹣a）， ∴a≤30， ∵﹣200＜0， ∴y 隨 a 的增大而減小， ∴當(dāng) a=30 時(shí)，y 取得最小值，最小值為 26000 元．