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第9課時 直線與拋物線的位置關系
基礎達標(水平一 )
1.直線l經過拋物線y2=8x的焦點,與拋物線交于A、B兩點,O為原點,則OAOB的值為( ).
A.12 B.20 C.-12 D.-20
【解析】焦點為(2,0),設直線l方程為x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+2,y2=8x,得y2-8my-16=0,
∴y1y2=-16,x1x2=y128y228=164(y1y2)2=4,
∴OAOB=x1x2+y1y2=-12.
【答案】C
2.拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,經過點F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AK⊥l,垂足為K,則△AKF的面積是( ).
A.2 B.4 C.43 D.8
【解析】由拋物線的定義知AF=AK,
又∠KAF=60,所以△AFK是正三角形.
聯立方程組y2=4x,y=3(x-1),
消去y得3x2-10x+3=0,
解得x=3或x=13.由題意得A(3,23),
所以△AKF的邊長為4,面積為12423=43.
【答案】C
3.已知AB是過拋物線2x2=y的焦點的弦,若|AB|=4,則AB的中點的縱坐標是( ).
A.1 B.2 C.58 D.158
【解析】如圖所示,設AB的中點為P(x0,y0),分別過A,P,B三點作準線l的垂線,垂足分別為A,Q,B,由題意得|AA|+|BB|=|AB|=4,|PQ|=|AA|+|BB|2=2,又|PQ|=y0+18,∴y0+18=2,∴y0=158.
【答案】D
4.設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是( ).
A.-12,12 B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
【解析】由題意知,拋物線準線方程為x=-2,點Q(-2,0),
設直線l:y=k(x+2),由y=k(x+2),y2=8x,
得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.
當k=0時,x=0,即直線l與拋物線的交點為(0,0),
當k≠0時,Δ≥0,-1≤k<0或0
0)的準線為l,過點M(1,0)且斜率為3的直線與l相交于點A,與拋物線的一個交點為B,若AM=MB,則p= .
【解析】由題知準線l為x=-p2(p>0),
過點M且斜率為3的直線為y=3(x-1),
則點A-p2,3-p2-1,
設B(x,y),由AM=MB可知M為AB的中點,
又M(1,0),
所以-p2+x=2,3-p2-1+y=0,即x=2+p2,y=3p2+1,
代入y2=2px,得p2+4p-12=0,
即p=2或p=-6(舍去).
【答案】2
7.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點.
(1)求證:OA⊥OB.
(2)當△OAB的面積為10時,求k的值.
【解析】(1)如圖所示,由y2=-x,y=k(x+1)消去x得ky2+y-k=0.
設點A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數的關系得y1y2=-1,y1+y2=-1k.
∵A,B兩點均在拋物線y2=-x上,
∴y12=-x1,y22=-x2,
∴y12y22=x1x2.
又∵kOAkOB=y1x1y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=-1,∴OA⊥OB.
(2)設直線與x軸交于點N,顯然k≠0.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=12|ON||y1|+12|ON||y2|
=12|ON||y1-y2|
=121(y1+y2)2-4y1y2
=12-1k2+4.
=10,
∴10=121k2+4,解得k=16.
拓展提升(水平二)
8.已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側,OAOB=2(其中O為坐標原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( ).
A.2 B.3 C.1728 D.10
【解析】設直線AB的方程為x=ty+m,點A(x1,y1),B(x2,y2).又點F14,0,直線AB與x軸的交點M(m,0),不妨設y1>0,
由x=ty+m,y2=x?y2-ty-m=0,所以y1y2=-m,
又OAOB=2,所以x1x2+y1y2=2?(y1y2)2+y1y2-2=0,
因為點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側,所以y1y2=-2,故m=2,
所以S△ABO+S△AFO=122(y1-y2)+1214y1=98y1+2y1≥298y12y1=3,
當且僅當98y1=2y1?y1=43時取“=”.
所以△ABO與△AFO面積之和的最小值是3.
【答案】B
9.已知拋物線y2=8x,點Q是圓C:x2+y2+2x-8y+13=0上任意一點,記拋物線上任意一點P到直線x=-2的距離為d,則|PQ|+d的最小值為( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】
由題意知,拋物線y2=8x的焦點為F(2,0),連接PF(如圖),則d=|PF|.
將圓C化為(x+1)2+(y-4)2=4,圓心為C(-1,4),半徑為r=2,則|PQ|+d=|PQ|+|PF|,于是有|PQ|+|PF|≥|FQ|(當且僅當F,P,Q三點共線時取得等號).
而|FQ|為圓C上的動點Q到定點F的距離,顯然當F,Q,C三點共線時,|FQ|取得最小值,
且為|CF|-r=(-1-2)2+(4-0)2-2=3,故選C.
【答案】C
10.已知拋物線y2=4x的弦AB的中點的橫坐標為2,則|AB|的最大值為 .
【解析】當直線AB的斜率不存在時,|AB|=42;
當直線AB的斜率k存在時,設點A(x1,y1),B(x2,y2),中點坐標為(2,t),則k=y1-y2y12-y224=4y1+y2=2t,
∴直線AB的方程為y-t=2t(x-2),
將y-t=2t(x-2)與y2=4x聯立,得y2-2ty+2t2-8=0,
∴y1+y2=2t,y1y2=2t2-8,
∴|AB|2=1+t24(y1-y2)2=-(t2-2)2+36≤36,
∴|AB|≤6,當且僅當t=2時,等號成立.
綜上所述,|AB|max=6.
【答案】6
11.設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經過點F的直線與拋物線交于A,B兩點.
(1)若p=2,求線段AF的中點N的軌跡方程;
(2)若直線AB的斜率為2,當焦點為F12,0時,求△OAB的面積;
(3)若M是拋物線C準線上的點,求證:直線MA,MF,MB的斜率成等差數列.
【解析】(1)焦點F(1,0),設點A(x0,y0),N(x,y),
則由題意x=x0+12,y=y02,即x0=2x-1,y0=2y,
故所求的軌跡方程為4y2=4(2x-1),即y2=2x-1.
(2) y2=2x,F12,0,直線AB:y=2x-12=2x-1,
由y2=2x,y=2x-1,得y2-y-1=0,
|AB|=1+1k2|y1-y2|=52,
設d為原點O到直線AB的距離,d=15=55,
S△OAB=12d|AB|=54.
(3)顯然直線MA,MB,MF的斜率都存在,分別設為k1,k2,k3.
點A,B,M的坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),M-p2,m.
設直線AB:y=kx-p2,代入拋物線方程,得y2-2pky-p2=0,所以y1y2=-p2.
又y12=2px1,y22=2px2,
所以x1+p2=y122p+p2=12p(y12+p2),x2+p2=y222p+p2=p42py12+p2=p2y12(y12+p2),
所以k1+k2=y1-mx1+p2+y2-mx2+p2=2p2(y1-m)p(y12+p2)+2y12-p2y1-mp(y12+p2)=-2mp.
而2k3=20-mp2--p2=-2mp,故k1+k2=2k3,所以直線MA,MF,MB的斜率成等差數列.
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