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平面直角坐標(biāo)系 一、選擇題 1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-1，2）所在的象限是（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 【答案】B 【解析】【解答】點(diǎn)P（-1，2）所在的象限是第二象限， 故答案為：B. 【分析】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)各個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），根據(jù)特征即可得出答案。 2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-2，x2+1）所在的象限是（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 【答案】B 【解析】【解答】∵x2≥0， ∴x2+1≥1， ∴點(diǎn)P（-2，x2+1）在第二象限． 故答案為：B． 【分析】根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出x2+1≥1，從而得出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出P點(diǎn)所在的象限。 3.如圖，小手蓋住的點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（ ） A.（-4，-5）B.（-4，5）C.（4，5）D.（4，-5） 【答案】A 【解析】【解答】根據(jù)題意得 ：小手蓋住的點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（-4，-5）。 故答案為：A. 【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，小手蓋住的點(diǎn)在第三象限，而第三象限的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足橫、縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，從而即可得出答案。 4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（3，0），B（0，4），把線段AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到線段AB′，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在x軸的正半軸上，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（ ） A.（5，0）B.（8，0）C.（0，5）D.（0，8） 【答案】B 【解析】【解答】∴AO=3，BO=4， ∴AB=AB′=5,故OB′=8， ∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(8,0). 故答案為：B. 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AB′，再根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)及AB′的長(zhǎng)求出OB′的長(zhǎng)，就可求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)。 5.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為對(duì)稱中心，把點(diǎn)A（3，4）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ） A.（4，-3） B.（-4，3） C.（-3，4） D.（-3，-4） 【答案】B 【解析】【解答】解：如圖： 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得： △AOC≌△BOD， ∴OD=OC，BD=AC， 又∵A（3,4）， ∴OD=OC=3，BD=AC=4， ∵B點(diǎn)在第二象限， ∴B（-4,3）. 故答案為：B. 【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△AOC≌△BOD，再由全等三角形的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出B點(diǎn)坐標(biāo)，由此即可得出答案. 6.如圖，在圍棋盤上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用有序數(shù)對(duì)（0，﹣1）表示，黑棋②的位置用有序數(shù)對(duì)（﹣3，0）表示，則白棋③的位置可用有序數(shù)對(duì)（ ）表示． A.（﹣2，4）B.（2，﹣4）C.（4，﹣2）D.（﹣4，2） 【答案】D 【解析】【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖， 白棋③的坐標(biāo)為（﹣4，2）． 故選D． 【分析】根據(jù)黑棋①的坐標(biāo)向上1個(gè)單位確定出坐標(biāo)原點(diǎn)，然后建立平面直角坐標(biāo)系，再寫出白棋③的坐標(biāo)即可． 7.點(diǎn)P位于x軸下方，y軸左側(cè)，距離x軸4個(gè)單位長(zhǎng)度，距離y軸2個(gè)單位長(zhǎng)度，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ） A.（4，2）B.（-2，-4）C.（-4，-2）D.（2，4） 【答案】B 【解析】【解答】解：∵點(diǎn)P位于x軸下方，y軸左側(cè)，∴點(diǎn)P在第三象限； ∵距離y軸2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2； ∵距離x軸4個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣4； ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）． 故答案為：B． 【分析】由已知得，點(diǎn)P在x 軸下方，可知點(diǎn)P應(yīng)在第三、四象限，又因?yàn)樵趛軸左側(cè)，可知點(diǎn)P應(yīng)在第三象限，然后再利用點(diǎn)P到x軸和y軸的距離，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo). 8.在平面直角坐標(biāo)系中，線段CF是由線段AB平移得到的；點(diǎn)A（-1，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C（4，1）；則點(diǎn)B（a，b）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ） A.（a+3，b+5）B.（a+5，b+3）C.（a-5，b+3）D.（a+5，b-3） 【答案】D 【解析】【解答】解：平移中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的差相等，設(shè)F（x，y）．根據(jù)題意得：4﹣（﹣1）=x﹣a；1﹣4=y﹣b，解得：x=a+5，y=b-3；故F的坐標(biāo)為（a+5，b-3）． 故答案為：D． 【分析】當(dāng)線段平移時(shí)，線段上的每個(gè)點(diǎn)也對(duì)應(yīng)的平移一定的單位長(zhǎng)度，所以本題由點(diǎn)A平移到點(diǎn)C，可知線段先向右平移了5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移了3個(gè)單位長(zhǎng)度，因此點(diǎn)B也要橫坐標(biāo)加5，縱坐標(biāo)減3才行. 9.如果直線AB平行于y軸，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)之間的關(guān)系是（ ） A.橫坐標(biāo)相等B.縱坐標(biāo)相等C.橫坐標(biāo)的絕對(duì)值相等D.縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等 【答案】A 【解析】【解答】∵直線AB平行于y軸， ∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)之間的關(guān)系是橫坐標(biāo)相等. 故答案為：A. 【分析】根據(jù)平行于y軸的直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等即可得出答案。 10.觀察下列數(shù)對(duì)：（1,1） , （1,2） , （2,1） , （1,3） , （2,2） , （3,1） , （1,4） , （2,3） , （3,2） , （4,1） , （1,5） , （2,4）...那么第32個(gè)數(shù)對(duì)是（ ） A.（4，4）B.（4，5）C.（4，6）D.（5，4） 【答案】B 【解析】【解答】解：觀察數(shù)對(duì)可知，第一對(duì)數(shù)和為2，后面兩對(duì)和為3，再后面3對(duì)和為4，再后面4對(duì)和為5，且每一組的第一對(duì)數(shù)的第一個(gè)數(shù)都是1， ∵1+2+3+4+5+6+7=28 ， ∴第32個(gè)數(shù)對(duì)的和為9，且是第四對(duì)， ∴第32個(gè)數(shù)對(duì)是（4，5）． 故答案為：B. 【分析】根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)的規(guī)律從而得出第32個(gè)數(shù)對(duì). 二、填空題 11.點(diǎn)P(m?1，m+3)在平面直角坐標(biāo)系的y軸上，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______. 【答案】(0,4) 【解析】【解答】解：∵點(diǎn)P(m?1，m+3)在平面直角坐標(biāo)系的y軸上 ∴m-1=0 解之：m=1 ∴m-1=0，m+3=4 ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,4） 故答案為：（0,4） 【分析】根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是橫坐標(biāo)為0，可得出m-1=0，求出m的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)。 12.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（2x+6，5x）在第四象限，則x的取值范圍是________． 【答案】﹣3＜x＜0 【解析】【解答】解：∵點(diǎn)P（2x+6，5x）在第四象限， ∴ ， 解得﹣3＜x＜0， 故答案為﹣3＜x＜0 【分析】根據(jù)第四象限的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)可得不等式組：2 x + 6 > 0， 5 x < 0解得﹣3＜x＜0。 13.如果 在y軸上，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是________ ． 【答案】 【解析】【解答】解： 在y軸上， ，則 ， 點(diǎn)P的坐標(biāo)是： ． 故答案為： 【分析】根據(jù) P ( m ， m + 1 ) 在y軸上可得m = 0 ，所以m + 1 = 1 ，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ( 0 ， 1 )。 14.（xx?泰州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，5），（4，2）．若點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，P是△ABC的外心，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【答案】（7，4）或（6，5）或（1，4） 【解析】【解答】如圖， ∵點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，5），（4，2）． ∴PA=PB= = ， ∵點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，P是△ABC的外心， ∴PC=PA=PB= = ， 則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （7，4）或（6，5）或（1，4）； 故答案為：（7，4）或（6，5）或（1，4）． 【分析】以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑畫圓，處在格點(diǎn)上的點(diǎn)就是求作的點(diǎn). 15.如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，相似比為1： ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)是________． 【答案】（ ， ） 【解析】【解答】解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1： ， ∴OA：OD=1： ， ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）， 即OA=1， ∴OD= ， ∵四邊形ODEF是正方形， ∴DE=OD= ． ∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為：（ ， ）． 故答案為：（ ， ）． 【分析】由題意可得OA：OD=1： ，又由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），即可求得OD的長(zhǎng)，又由正方形的性質(zhì)，即可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)． 16.如圖，在中國(guó)象棋的殘局上建立平面直角坐標(biāo)系，如果“相”和“兵”的坐標(biāo)分別是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐標(biāo)為_(kāi)_______。 【答案】（-2，-2） 【解析】【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系（如圖）， ∵相（3，-1），兵（-3，1）， ∴卒（-2，-2）， 故答案為：（-2，-2）. 【分析】根據(jù)題中相和兵的坐標(biāo)確定原點(diǎn)位置，建立平面直角坐標(biāo)系，從而得出卒的坐標(biāo). 17.已知坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn) 在第四象限 那么點(diǎn) 在第________ 象限． 【答案】二 【解析】【解答】解： 點(diǎn) 在第四象限， ， 點(diǎn) 在第二象限． 故答案為：二． 【分析】由圖知，點(diǎn) A ( m ， n ) 在第四象限，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征可知m > 0 ， n < 0 ，所以點(diǎn) B ( n ， m ) 在第二象限． 18.（xx?葫蘆島）如圖，點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（4，0），連接AB，點(diǎn)M，N分別是OA，AB的中點(diǎn)，在射線MN上有一動(dòng)點(diǎn)P，若△ABP是直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 【答案】（2 +2，4）或（12，4） 【解析】【解答】解：∵點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（4，0）， ∴OA=8，OB=4， ∴AB=4 ， ∵點(diǎn)M，N分別是OA，AB的中點(diǎn)， ∴AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2 ， ①當(dāng)∠APB=90時(shí)， ∵AN=BN， ∴PN=AN=2 ， ∴PM=MN+PN=2 +2， ∴P（2 +2，4）， ②當(dāng)∠ABP=90時(shí)，如圖， 過(guò)P作PC⊥x軸于C， 則△ABO∽△BPC， ∴ = =1， ∴BP=AB=4 ， ∴PC=OB=4， ∴BC=8， ∴PM=OC=4+8=12， ∴P（12，4）， 故答案為：（2 +2，4）或（12，4）． 【分析】△ABP是直角三角形由于AP不可能與AB垂直，因此可分為兩類：∠APB=90與∠ABP=90；當(dāng)∠APB=90時(shí)，由直角三角形的斜邊中線性質(zhì)可求出，當(dāng)∠ABP=90時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)列出對(duì)應(yīng)邊成比例式可求出. 三、解答題 19.已知點(diǎn)A（3，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C為頂點(diǎn)畫平行四邊形，你能求出第四個(gè)頂點(diǎn)D嗎？ 【答案】解： 【解析】【分析】有三種情況：（1）以ACBD為頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D在第四象限，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)D（2，2）； （2）以ADCB為頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D在第一象限，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)D（4，2）； （3）以ACDB為頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D在第二象限，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)D（-4，2）。 20.如圖，點(diǎn)A（t，4）在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，sinα= ，求t的值． 【答案】解：過(guò)A作AB⊥x軸于B． ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵A（t，4）， ∴AB=4， ∴OA=6， ∴ ． 【解析】【分析】過(guò)A作AB⊥x軸于B，根據(jù)正弦的定義和點(diǎn)A的坐標(biāo)求出AB、OA的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可． 21.已知如圖，A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】解：∠OBA=∠OCD，理由如下： 由勾股定理，得 AB= = =5，CD= = =15， sin∠OBA= = ，sin∠OCD= = = ， ∠OBA=∠OCD 【解析】【分析】根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)，CD的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角三角函數(shù)的正弦等對(duì)邊比斜邊，可得銳角三角函數(shù)的正弦值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦值隨銳角的增大而增大，可得答案． 22.（xx?達(dá)州）小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），可通過(guò)構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論：P1P2= 他還利用圖2證明了線段P1P2的中點(diǎn)P（x，y）P的坐標(biāo)公式：x= ，y= ． （1）請(qǐng)你幫小明寫出中點(diǎn)坐標(biāo)公式的證明過(guò)程； （2）①已知點(diǎn)M（2，﹣1），N（﹣3，5），則線段MN長(zhǎng)度為_(kāi)_______； ②直接寫出以點(diǎn)A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D為頂點(diǎn)的平行四邊形頂點(diǎn)D的坐標(biāo)：________； （3）如圖3，點(diǎn)P（2，n）在函數(shù)y= x（x≥0）的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上，請(qǐng)?jiān)贠L、x軸上分別找出點(diǎn)E、F，使△PEF的周長(zhǎng)最小，簡(jiǎn)要敘述作圖方法，并求出周長(zhǎng)的最小值． 【答案】（1）證明：∵P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）， ∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1 ， ∴Q1Q= ， ∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ， ∵PQ為梯形P1Q1Q2P2的中位線， ∴PQ= = ， 即線段P1P2的中點(diǎn)P（x，y）P的坐標(biāo)公式為x= ，y= （2）；（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3） （3）解：如圖，設(shè)P關(guān)于直線OL的對(duì)稱點(diǎn)為M，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接PM交直線OL于點(diǎn)R，連接PN交x軸于點(diǎn)S，連接MN交直線OL于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F， 由對(duì)稱性可知EP=EM，F(xiàn)P=FN， ∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN， ∴此時(shí)△PEF的周長(zhǎng)即為MN的長(zhǎng)，為最小， 設(shè)R（x， x），由題意可知OR=OS=2，PR=PS=n， ∴ =2，解得x=﹣ （舍去）或x= ， ∴R（ ， ）， ∴ =n，解得n=1， ∴P（2，1）， ∴N（2，﹣1）， 設(shè)M（x，y），則 = ， = ，解得x= ，y= ， ∴M（ ， ）， ∴MN= = ， 即△PEF的周長(zhǎng)的最小值為 【解析】【解答】（2）①∵M(jìn)（2，﹣1），N（﹣3，5）， ∴MN= = ， 故答案為： ； ②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1）， ∴當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為（0，1）， 設(shè)D（x，y），則x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3， ∴此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3）， 當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（7，1）， 當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）， 綜上可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）， 故答案為：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）； 【分析】（1）用P1、P2的坐標(biāo)分別表示出OQ和PQ的長(zhǎng)即可證得結(jié)論；（2）①直接利用兩點(diǎn)間距離公式可求得MN的長(zhǎng)；②分AB、AC、BC為對(duì)角線，可求得其中心的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)P關(guān)于直線OL的對(duì)稱點(diǎn)為M，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接PM交直線OL于點(diǎn)R，連接PN交x軸于點(diǎn)S，則可知OR=OS=2，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得R的坐標(biāo)，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，連接MN交直線OL于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)S，此時(shí)EP=EM，F(xiàn)P=FN，此時(shí)滿足△PEF的周長(zhǎng)最小，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得其周長(zhǎng)的最小值．