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第三章狀態(tài)空間表達(dá)式的解一種分析系統(tǒng)狀態(tài)和輸出特性的直接法,一.線性定常齊次狀態(tài)方程的解二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣三.線性定常非齊次狀態(tài)方程的解四.線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解五.離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解六.連續(xù)系統(tǒng)的離散化,一.線性定常齊次狀態(tài)方程的解,1、線性齊次狀態(tài)方程解的定義2、線性齊次狀態(tài)方程解的物理意義3、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的引出返回主頁,一階齊次微分方程組解的定義,一階齊次微分方程：解為：一階齊次微分方程組：，解為：返回,推導(dǎo),1階齊次微分方程的解,返回,2.齊次方程解的物理意義,由初始條件引起的運(yùn)動規(guī)律為齊次方程的解確定的，狀態(tài)向量在任意時刻t1的取值可由獲得。并可以在以x（t）向量為坐標(biāo)系的n維狀態(tài)空間里繪制系統(tǒng)狀態(tài)隨時間運(yùn)動的軌跡，稱為狀態(tài)軌跡。返回,3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的引出系統(tǒng)由初始條件引起的運(yùn)動的規(guī)律及特性主要取決與eAt，eAt是由系統(tǒng)矩陣A唯一確定的。系統(tǒng)由輸入引起的運(yùn)動規(guī)律除了和輸入信號的大小形式有關(guān)與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及eAt的形式也密切相關(guān)，定義為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。顯然，狀態(tài)空間表達(dá)式的求解關(guān)鍵在于求取系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。返回,二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,1、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)2、幾個典型形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3、一般狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法返回主頁,(1)(2)(3)(4)(5)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆為時間的逆轉(zhuǎn)。(6)(7)(8)若，則有注：上述性質(zhì)由定義導(dǎo)出。返回,1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),2.幾個典型形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（1）若為對角陣，則（2）若T-1AT=為對角陣，則（3）A=為約旦陣，則書上p58~60頁,（4）T-1AT=為約旦陣，則（5）若，則[舉例1]：若則[舉例2]：若則返回,3.一般狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法(1)利用定義計(jì)算(2)利用Laplace變換計(jì)算(3)化A陣為對角型或約旦標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算（利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)計(jì)算）求特征值和特征向量由變換陣P化A為對角陣或約旦標(biāo)準(zhǔn)型求對角陣或約旦標(biāo)準(zhǔn)型所對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求原矩陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。返回,推導(dǎo),Laplace變換法,返回,三.線性定常非齊次狀態(tài)方程的解,1、非齊次方程解的通式直接求解Laplace變換求解2、典型輸入下非齊次方程解脈沖輸入階躍輸入斜坡輸入返回主頁,已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：直接法積分求解初始狀態(tài)引起的解：輸入作用引起的解：由輸出方程可以求出系統(tǒng)的輸出解。,1.非齊次方程解的通式,,Laplae變換求解狀態(tài)方程兩邊同時求拉氏變換得：系統(tǒng)的狀態(tài)與輸出的形式取決與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)初始條件和輸入信號的形式，所以在系統(tǒng)為典型輸入信號作用時的狀態(tài)解和輸出解的形式可以依據(jù)上述通式導(dǎo)出。返回,2．典型輸入下非齊次方程的解（1）脈沖輸入下的解為：（2）階躍輸入下的解為：(使用條件A的逆存在)（3）斜坡輸入下的解為：(使用條件A的逆存在)注意：線性系統(tǒng)的輸出輸入特性。返回,四.離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,1、差分方程組的求解方法迭代法Z變換法2、引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，簡化離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解返回主頁,1.差分方程組的求解方法（1）,,（1）迭代法得系統(tǒng)狀態(tài)的迭代計(jì)算式為：注：計(jì)算結(jié)果為逐點(diǎn)形式，便于計(jì)算機(jī)運(yùn)算，但有累積誤差。與連續(xù)狀態(tài)方程的求解公式在形式上類似,（2）z變換法注：計(jì)算結(jié)果為封閉的解析形式。返回,2.引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，簡化離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解,（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義及計(jì)算：,（2）G陣為典型結(jié)構(gòu)形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算G為對角型時G為約旦型G可化對角型（變換陣為P）G可化約旦型（變換陣為P）,（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),返回,五.連續(xù)系統(tǒng)的離散化,1.連續(xù)系統(tǒng)離散化的意義意義2.連續(xù)系統(tǒng)離散化的假設(shè)條件(1)離散化按等采樣周期處理；(2)采樣脈沖為理想脈沖信號；(3)輸入向量u（t）只在采樣點(diǎn)變化，兩相鄰采樣點(diǎn)之間的輸入由零階保持器保持不變；(4)采樣周期的選擇滿足香農(nóng)定理。,3.線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化方法(1)化連續(xù)狀態(tài)方程為離散狀態(tài)方程連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程：理論推導(dǎo)可得：取時，T為采樣周期，則離散化以后的狀態(tài)空間表達(dá)式為：,例題,連續(xù)系統(tǒng)的離散化的意義,線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1階微分方程組。可采用解析法求解。也可以采用數(shù)值解法求解，此時對微分方程做近似解，給出離散采樣時刻的狀態(tài)方程解的近似值。利用計(jì)算機(jī)對線性定常連續(xù)系統(tǒng)求數(shù)值解是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究中常用的一種方法，不但方便而且精確。由于實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中線性定常連續(xù)系統(tǒng)的被控對象需要在線控制等，必須將連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程化為離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程，即對矩陣微分方程化成差分方程，這就是連續(xù)系統(tǒng)的離散化。,返回,1.已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為，當(dāng)時，當(dāng)時，試求系統(tǒng)矩陣A和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。其中:,單元練習(xí),,,,,2、檢驗(yàn)下列矩陣是否為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。若是，求對應(yīng)的矩陣A。（1）（2）,