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1,矩陣的特征值和特征向量,第四章,2,本章介紹矩陣的特征值、特征向量以及矩陣的對角化問題。,3,第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量,定義,一、特征值與特征向量的基本概念,例如，,4,一個特征向量只能屬于一個特征值，證明如下：,說明,1、特征值問題是針對方陣而言的；,2、特征向量必須是非零向量；,3、特征向量既依賴于矩陣A，又依賴于特征值,?,5,二、特征值與特征向量的求法,記,稱為矩陣A的特征多項式，,為矩陣A的特征方程。,6,而矩陣A屬于特征根的特征向量,計算矩陣特征值和特征向量的一般步驟如下：,7,例1,解,所以A的特征值為,8,,相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為,9,,相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為,10,,相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為,11,例2,解,所以A的特征值為,12,,相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為,,13,,相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為,14,對角陣、上三角陣、下三角陣，它們的特征值即為主對角元。,15,三、特征值與特征向量的性質(zhì),性質(zhì)1,證,(2)可推廣到多個特征向量.,16,屬于各個特征值的線性無關(guān)的向量合在一起仍線性無關(guān)。,性質(zhì)2,屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。,只證兩個特征向量的情況.,證,(1),(2),推廣,17,性質(zhì)3,證,從而有相同的特征值.,注意:,18,性質(zhì)4,證,(2),重復(fù)這個過程,可得,19,性質(zhì)4,證,(3),20,例3,多項式,證略,例如,矩陣A的有一個特征值為2,則,有一個特征值,7.,例4,證,冪等矩陣,21,例3,多項式,證略,例如,矩陣A的有一個特征值為2,則,有一個特征值,7.,例4,冪等矩陣,練習(xí):,22,例5,解,由性質(zhì)4,,23,四、特征多項式的性質(zhì),中出現(xiàn),,故有,而常數(shù)項等于,所以,24,比較系數(shù)得,性質(zhì)5,推論方陣A可逆的充分必要條件是A的特征值全不為零.,,25,例6,解,26,矩陣的跡的性質(zhì),證略。,作業(yè)：習(xí)題四，1⑵⑷、4、6,27,END,END,