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,第三章機(jī)械能守恒,與機(jī)械運(yùn)動(dòng)相關(guān)的能量是機(jī)械能（動(dòng)能、勢(shì)能）。機(jī)械能是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的客觀反映，是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的函數(shù)。力對(duì)空間的積累效果是功。在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中，動(dòng)能和勢(shì)能的變化及相互轉(zhuǎn)化是通過做功來完成的，因此功是質(zhì)點(diǎn)能量變化的量度。,主要內(nèi)容：,（1）功和功率；,（2）動(dòng)能和動(dòng)能定理；,（3）保守力和勢(shì)能；,（4）功能原理和機(jī)械能守恒定律。,3-1變力所做的功、功率：,設(shè)質(zhì)點(diǎn)在變力的作用下沿曲線由A運(yùn)動(dòng)到B。,1、功：,對(duì)微小的位移（元位移），定義：,質(zhì)點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的總功為：,國(guó)際單位制中，功的單位為：Nm，稱為焦耳（J）。,功是力對(duì)空間的積累效應(yīng)。,2、功率：,功率用來表征力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的快慢，即單位時(shí)間所做的功。,平均功率：,瞬時(shí)功率：,由功的定義：,由功率求功：,例題3-2,方向不變的作用力F=6t(SI)，作用在一質(zhì)量為2kg的物體上，物體從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求此作用力的瞬時(shí)功率和前2s內(nèi)做的功。,,由題意，物體將從靜止開始作方向不變的直線運(yùn)動(dòng)。,此作用力F在前2s內(nèi)所做的功：,3-2動(dòng)能、動(dòng)能定理：,當(dāng)一個(gè)物體具有對(duì)其它物體做功的能力時(shí)，則稱該物體具有一定的能量。能量是物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的函數(shù)。,動(dòng)能—因物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是速度的函數(shù)；,勢(shì)能—與物體在力場(chǎng)中位置有關(guān)的能量，是位置的函數(shù)。,質(zhì)點(diǎn)在曲線上任意點(diǎn)c時(shí)，變力所做的元功：,質(zhì)點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，變力所做的總功為：,力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。,所以：功是質(zhì)點(diǎn)能量變化的量度。,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：,設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成。,第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受外力和內(nèi)力之和：,由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：,外力和內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所做的功等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量。,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理和動(dòng)能定理的比較：,內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所做的功可以改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。,內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的沖量不改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。,,雖然：,但是一般：,所以：dW內(nèi)一般不等于零。,例題,質(zhì)量為m的小球系在長(zhǎng)為l的細(xì)繩下端，繩的上端固定，先使細(xì)繩保持水平靜止，然后使小球自由下落，求細(xì)繩與水平方向成θ角時(shí)，小球的速率v和細(xì)繩所受的張力T。,,因?yàn)閺埩Σ蛔龉?，由?dòng)能定理：,重力對(duì)小球所做的功：,例題3-3,一物體由斜面底部以初速度v0=10m/s向斜面上方運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高處后又沿斜面下滑。因物體和斜面的摩擦，滑到底部時(shí)速度變?yōu)関f=8m/s。已知斜面傾角為θ=30，求物體所能到達(dá)的高度和摩擦因數(shù)μ。,,物體向上運(yùn)動(dòng)時(shí)：,物體向下運(yùn)動(dòng)時(shí)：,(2)-(1):,(2)+(1):,3-3勢(shì)能、保守力：,1、重力的功、重力勢(shì)能：,一質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中沿曲線由A運(yùn)動(dòng)到B，則重力做功：,結(jié)論：重力做功與路徑無關(guān)，只和質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)。,因此：可定義一個(gè)與質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中位置（高度）有關(guān)的物理量，稱為重力勢(shì)能。,?重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)重力勢(shì)能增量的負(fù)值。,2、彈性力的功、彈性勢(shì)能：,設(shè)彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)處在o點(diǎn)。,由胡克定律：,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從x0運(yùn)動(dòng)到x時(shí)，彈性力做功：,結(jié)論：彈性力做功與路徑無關(guān)，只和質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)。,定義：彈性勢(shì)能,?彈性力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)彈性勢(shì)能增量的負(fù)值。,3、引力的功、引力勢(shì)能：,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)的萬有引力作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)。m所受的引力為：,引力勢(shì)能的零點(diǎn)通常取在無窮遠(yuǎn)處。,而空間某點(diǎn)處的引力勢(shì)能定義為：將質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移至無窮遠(yuǎn)處（勢(shì)能零點(diǎn)）時(shí)，萬有引力所做的功。,結(jié)論：引力做功與路徑無關(guān)，只和質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)。,,令，則A點(diǎn)的引力勢(shì)能為：,?引力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)引力勢(shì)能增量的負(fù)值。,地球表面的物體所受的重力即為萬有引力，在地面上不太高的h處，引力勢(shì)能為：,4、保守力和勢(shì)能：,“任意兩點(diǎn)間做功與路徑無關(guān)”與“沿任意閉合路徑做功為零”這兩種說法是等效的。,滿足上式的作用力稱為保守力，即：,保守力做功與路徑無關(guān)，說明在保守力場(chǎng)中存在一個(gè)僅由空間位置決定的物理量，該物理量即為勢(shì)能。,由前面討論知：保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值。,不能滿足的力稱為非保守力（如摩擦力等）。,對(duì)非保守力場(chǎng)，不能引入“勢(shì)能”的概念。,重力勢(shì)能屬于質(zhì)點(diǎn)和地球組成的“重力系統(tǒng)”；,彈性勢(shì)能屬于質(zhì)點(diǎn)和彈簧組成的“彈性系統(tǒng)”；,引力勢(shì)能屬于相互作用的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的“引力系統(tǒng)”；,,3-4功能原理、機(jī)械能守恒定律：,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：,定義：系統(tǒng)的總動(dòng)能和總勢(shì)能之和稱為系統(tǒng)的機(jī)械能。,質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：外力和非保守內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。,當(dāng)W外=0、W非保內(nèi)=0時(shí)：,機(jī)械能守恒定律：當(dāng)外力和非保守內(nèi)力做功的代數(shù)和為零時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)的動(dòng)能和勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化，但總的機(jī)械能保持不變。,機(jī)械能守恒定律是能量轉(zhuǎn)化和守恒定律在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的表現(xiàn)形式。,習(xí)題3-18,質(zhì)量分別為m1和m2的兩塊木板用質(zhì)量可忽略的彈簧相連并置于地上。求對(duì)上面的木板必須施以多大的正壓力，才能使該力撤去后上面的木板跳至最高點(diǎn)時(shí)，下面的木板剛好能被提離地面。,,取彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)m1的位置為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能的零點(diǎn)。,上板受壓時(shí)：,上板跳至最高點(diǎn)時(shí)，N=0：,由機(jī)械能守恒：,將(1)、(2)、兩式代入(3)式并化簡(jiǎn)得：,解上式得：,討論：由最后結(jié)果看，若交換m1、m2，結(jié)果不變。,3-5碰撞：,兩個(gè)或多個(gè)物體在一極短的時(shí)間內(nèi)以相當(dāng)大的作用力（沖擊力）相互作用的過程稱為碰撞。碰撞時(shí)，除沖擊力外，其它相對(duì)較弱的力可忽略不計(jì)。,所以，以相互碰撞的物體為系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。,設(shè)兩球作對(duì)心碰撞（正碰撞）—碰撞前后兩球速度在同一直線上。,動(dòng)量守恒：,牛頓碰撞定律：,稱為分離速度,稱為接近速度,稱為恢復(fù)系數(shù)，由材料決定，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)出。,1、非完全彈性碰撞：,0m1，v2=0，則,如：彈性小球?qū)Α怏w分子對(duì)容器壁的碰撞等。,等大球碰撞,小球碰大球,3、完全非彈性碰撞：,由上式或由(3)、(4)、(5)式得：,小球產(chǎn)生的形變完全不能恢復(fù)，碰撞后兩小球合在一起以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，但系統(tǒng)的動(dòng)量仍守恒。,,在完全非彈性碰撞中，能量（動(dòng)能）的損失最大。,例題：,粒子A以初速度v0=300m/s與另一靜止的同種粒子B發(fā)生完全彈性碰撞。碰撞后粒子A以θ1=30方向被散射，求兩個(gè)粒子碰撞后的速率v1、v2和第二個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)的方向θ2。,,這是一個(gè)二維的非對(duì)心完全彈性碰撞，動(dòng)量和動(dòng)能均守恒。,動(dòng)量守恒：,動(dòng)能守恒：,,用沖擊擺測(cè)子彈的速度：設(shè)擺長(zhǎng)l，木塊質(zhì)量M，子彈質(zhì)量m。子彈與木塊作完全非彈性碰撞，擺線的最大擺角θ0，求：子彈擊中木塊時(shí)的速度v0。,,例題3-5,子彈與木塊間的沖擊力很大，以子彈、木塊為系統(tǒng)時(shí)，動(dòng)量守恒。設(shè)子彈射入木塊后兩者的共同速度為v，則：,子彈與木塊一起運(yùn)動(dòng)到擺至最高點(diǎn)的過程中，繩的張力不做功，機(jī)械能守恒：,討論：,物體間作非彈性碰撞時(shí)，機(jī)械能的損失最大。,設(shè)上題中θ0=60，m=10g，M=1.0kg，l=1.0m。則：,子彈的初動(dòng)能：,子彈和木塊一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能：,即有99%的動(dòng)能因摩擦力做功而耗散掉了！,