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用傅里葉變換解偏微分方程,一、傅里葉變換二、偏微分方程三、方程的求解,一、傅里葉變換,1.傅里葉級(jí)數(shù)2.積分變換3.傅里葉變換4.離散傅里葉變換5.快速傅里葉變換（FFT）,傅里葉級(jí)數(shù),傅里葉級(jí)數(shù)形式,an和bn稱(chēng)為f(x)的傅里葉系數(shù),傅里葉級(jí)數(shù),一般意義下：假設(shè)f(x)是定義在(-∞,+∞)內(nèi)的實(shí)函數(shù)，它在任一有限區(qū)間[?l,+l]內(nèi)是分段光滑的,則f(x)可以展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)：,積分變換,對(duì)于一般的積分變換，我們有如下定義：令I(lǐng)為一實(shí)數(shù)集，K(s,w)是定義在I[a,b]上的函數(shù)，如果函數(shù)f(w)滿(mǎn)足：(1)在[a,b]上有定義；(2)對(duì)每個(gè)s∈I,K(s,w)f(w)作為w∈[a,b]的函數(shù)是可積的。則帶有參變量的積分就定義了一個(gè)“從f(w)到F(s)”的變換。這種通過(guò)積分運(yùn)算把一個(gè)函數(shù)變?yōu)榱硪粋€(gè)函數(shù)的方法稱(chēng)為積分變換。,積分變換,每給定一個(gè)函數(shù)K(s,w)就確定了一個(gè)積分變換，因此積分變換是由函數(shù)K(s,w)生成的。通常稱(chēng)K(s,w)為（積分變換的）核函數(shù)，稱(chēng)參與變換的f(w)為初始函數(shù)或者原象函數(shù)，把變換成的F(s)稱(chēng)為變換函數(shù)或者象函數(shù)。積分變換是作用是把初始函數(shù)變成另一類(lèi)比較容易求解的象函數(shù)，因此用積分變換求解偏微分方程的方法與我們采用對(duì)數(shù)來(lái)計(jì)算數(shù)的乘、除、乘方和開(kāi)方的技巧是完全類(lèi)似的。,傅里葉變換,傅里葉變換,傅里葉逆變換,由傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出傅里葉積分，再推導(dǎo)出傅里葉變換，過(guò)程如下,傅里葉變換,將上兩式代入前式，并利用三角恒等式：,可以得到,傅里葉變換,,現(xiàn)在假定f(x)在(?∞,+∞)內(nèi)絕對(duì)可積，那么當(dāng)l→+∞時(shí)，就有：,上述積分的極限為：,令,以及,當(dāng)時(shí)，,我們把上述積分表達(dá)式稱(chēng)之為傅里葉積分。,傅里葉變換,傅里葉積分的兩種形式：一種是另一種是,傅里葉變換,引進(jìn)新函數(shù)：,便可以得出：,傅里葉變換,(1)線性性質(zhì)。假定a、b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù),函數(shù)f1(x)、f2(x)滿(mǎn)足傅里葉變換條件，則有：,(2)卷積性質(zhì)。假定函數(shù)f1(x)、f2(x)滿(mǎn)足傅里葉變換條件，則稱(chēng)函數(shù),稱(chēng)為f1(x)和f2(x)卷積,如果f1(x)、f2(x)和f1*f2均滿(mǎn)足傅里葉變換條件，那么就有：,傅里葉變換,(3)微商性質(zhì)。如果和均滿(mǎn)足傅里葉變換條件，而且當(dāng)|x|→+∞時(shí)f(x)→0，那么：進(jìn)一步，如果滿(mǎn)足傅里葉變換條件，就有：,二、偏微分方程,1.什么是偏微分方程2.定解條件與定解問(wèn)題3.二階線性偏微分,偏微分方程的概念,偏微分方程是指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些偏導(dǎo)數(shù)的等式。偏微分方程的一般形式：,偏微分方程的分類(lèi),如果一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)及它的所有偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，且它們的系數(shù)都是僅依賴(lài)于自變量的已知函數(shù)，則這樣的偏微分方程稱(chēng)為線性偏微分方程。對(duì)于一個(gè)非線性偏微分方程，如果它關(guān)于未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱(chēng)它是擬線性偏微分方程。,偏微分方程的例子,定解條件,常見(jiàn)的定解條件，可分為初始條件與邊界條件。,定解條件,定解條件,定解條件,定解問(wèn)題,一個(gè)偏微分方程與定解條件一起構(gòu)成對(duì)于具體問(wèn)題的完整描述，稱(chēng)為定解問(wèn)題。,二階線性偏微分,表達(dá)式為：其中A,B,C為參數(shù)并且取決于x,y。如果在xy平面上有，該偏微分方程在該平面上為二階偏微分方程?？勺冃螢椋涸摱A偏微分方程可分類(lèi)為：拋物線方程，雙曲線方程和橢圓方程，起分類(lèi)方式為：:橢圓方程；:拋物線方程；:雙曲線方程。,三、傅里葉變換解偏微分,1.熱傳導(dǎo)問(wèn)題2.波動(dòng)問(wèn)題3.基本步驟,熱傳導(dǎo)問(wèn)題,一維的齊次熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題,熱傳導(dǎo)問(wèn)題,（一）將t視為參數(shù)，對(duì)（1）（2）兩式兩端進(jìn)行對(duì)于x的傅里葉變換：記,則有,熱傳導(dǎo)問(wèn)題,（微分性質(zhì)）,熱傳導(dǎo)問(wèn)題,（二）解（3）（4）式合并后帶有參數(shù)w的的常微分方程的初值問(wèn)題，得,熱傳導(dǎo)問(wèn)題,（三）利用對(duì)w的傅里葉逆變換，來(lái)求原函數(shù)（5）式的左端：右端：,熱傳導(dǎo)問(wèn)題,考慮（5）的右端：由于故只考慮，而,熱傳導(dǎo)問(wèn)題,卷積性質(zhì),所以解為,波動(dòng)問(wèn)題,由于時(shí)間問(wèn)題，此問(wèn)題是從網(wǎng)上照抄下來(lái)的，沒(méi)有自己打。,基本步驟,一般化用傅里葉變換求解偏微分方程的4個(gè)基本步驟：（1）選用偏微分方程中某個(gè)適當(dāng)?shù)淖宰兞孔鞣e分變量，對(duì)方程作傅里葉變換，將方程中的自變量消去一個(gè)，化原方程為帶參數(shù)的常微分方程（2）對(duì)定解條件作傅里葉變換，導(dǎo)出常微分方程的初始條件；（3）解此常微分方程的定解問(wèn)題，得到原未知函數(shù)的傅里葉變換式；（4）對(duì)該式進(jìn)行逆傅里葉變換，最后求得原問(wèn)題的解。,