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第四單元 三角形 第二十課時 相似三角形 基礎達標訓練 1. (xx重慶A卷)若△ABC∽△DEF，相似比為3∶2，則對應高的比為(　　) A. 3∶2　　　 B. 3∶5　　　 C. 9∶4　　　 D. 4∶9 2. (xx連云港)如圖，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，則下列等式一定成立的是(　　) 第2題圖 A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 3. (xx棗莊)如圖，在△ABC中，∠A＝78，AB＝4，AC＝5，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(　　) 4. (xx杭州)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC. 若BD＝2AD，則(　　) 　 第4題圖 A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 5. (xx恩施州)如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，則DE的長為(　　) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 第5題圖 第6題圖 6. 如圖，在等邊△ABC中，D、E、F分別是BC、AC、AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，則△DEF與△ABC的面積之比為(　　) A. 1∶3 B. 2∶3 C. ∶2 D. ∶3 7.(xx眉山)“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數(shù)學著作《九章算術》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由圖獲得，則井深為(　　) A. 1.25尺 B. 57.5尺 C. 6.25尺 D. 56.5尺 第7題圖　　 第8題圖 8. (xx臨沂)已知AB∥CD，AD與BC相交于點O.若＝，AD＝10，則AO＝________． 9. (xx益陽模擬)如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A、E、D在同一條直線上．若測得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，則河的寬度AB為________． 第9題圖 　10. (xx隨州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點D在邊AB上，且AD＝2，點E在邊AC上，當AE＝________時，以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似． 　　 第11題圖 11. (xx濰坊)如圖，在△ABC中，AB≠AC，D、E分別為AB、AC上的點，AC＝3AD，AB＝3AE，點F為BC邊上一點，添加一個條件：__________．可以使得△FDB與△ADE相似．(只需寫出一個) 12. (xx甘肅省卷)如圖，一張三角形紙片ABC，∠C＝90，AC＝8 cm，BC＝6 cm.現(xiàn)將紙片折疊：使點A與點B重合，那么折痕長等于________cm. 第12題圖　 第13題圖 13. (xx寧夏)在△ABC中，AB＝6，點D是AB的中點，過點D作DE∥BC，交AC于點E，點M在DE上，且ME＝DM.當AM⊥BM時，則BC的長為________． 14. (8分)(xx杭州)如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF＝∠GAC. (1)求證：△ADE∽△ABC； (2)若AD＝3，AB＝5，求的值． 第14題圖 15. (8分)如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點E、H分別在AB、AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm. (1)求證：△AEH∽△ABC； (2)求這個正方形的邊長與面積． 第15題圖 16. (8分)(xx長沙中考模擬卷四)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足為D，點E、F分別是AC、BC邊上的點，且CE＝AC，BF＝BC. (1)求證：∠EDF＝90； (2)若BC＝6，AB＝4，求DE的長． 第16題圖 能力提升訓練 1. (xx泰安)如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交AD的延長線于點E.若AB＝12，BM＝5，則DE的長為(　　) A. 18 B. C. D. 第1題圖 第2題圖 2. (xx東營)如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H.給出下列結論： ①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PHPC. 其中正確的是(　　) A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 3. (9分)(xx常德)如圖，直角△ABC中，∠BAC＝90，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F. (1)如圖①，若BD＝BA，求證：△ABE≌△DBE； (2)如圖②，若BD＝4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于M， 求證：①GM＝2MC；?、贏G2＝AFAC. 第3題圖 4. (9分)(xx安徽)已知正方形ABCD，點M為邊AB的中點． (1)如圖①，點G為線段CM上的一點，且∠AGB＝90，延長AG，BG分別與邊BC，CD交于點E，F(xiàn). ①求證：BE＝CF； ②求證：BE2＝BCCE. (2)如圖②，在邊BC上取一點E，滿足BE2＝BCCE，連接AE交CM于點G，連接BG并延長交CD于點F，求tan∠CBF的值． 第4題圖 答案 1. A　2. D　3. C　4. B　 5. C　【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，∴EF∥AB，∴四邊形DEFB為平行四邊形，∴DB＝EF，DE＝BF，又∵＝，∴＝，又∵EF∥AB，∴＝，即＝，∴BF＝10，∴DE＝BF＝10. 6. A　【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝∠A＝60，∵DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，∴∠AFE＝∠CED＝∠BDF＝90，∴∠BFD＝∠CDE＝∠AEF＝30，∴∠DFE＝∠FED＝∠EDF＝60，＝，∴△DEF是等邊三角形，∴BD∶DF＝1∶①，BD∶AB＝1∶3②，△DEF∽△ABC，①②＝＝，∴DF∶AB＝1∶，∴△DEF的面積與△ABC的面積之比等于1∶3. 7. B　【解析】設井深x尺，則AD＝(x＋5)尺，∵BC∥DE，∴＝，解得x＝57.5，經(jīng)檢驗x＝57.5是原分式方程的根，∴井深為57.5尺． 8. 4　【解析】∵AB∥CD，∴＝＝，∴OA＝AD，∵AD＝10，∴OA＝10＝4. 9. 40 m　【解析】∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠D，又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE，∴＝，解得AB＝＝＝40 m. 10. 或　【解析】根據(jù)題意，分兩種情況：如解圖①，∵∠A＝∠A，∴當＝時，△ADE∽△ABC，∴＝，解得AE＝；如解圖②，∵∠A＝∠A，∴當＝時，△ADE∽△ACB，∴＝，解得AE＝. 11. DF∥AC　【解析】∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴＝ ，∵∠A為公共角，∴△ADE與△ACB相似，原問題轉化為，使△DFB相似△ACB，則DF∥AC即可． 12. 　【解析】如解圖，折痕為MN，在Rt△ABC中，AB＝＝10，由折疊性質(zhì)得：AM＝BM＝5，∵∠A＝∠A，∠AMN＝∠C＝90，∴△AMN∽△ACB，∴＝，∴MN＝＝＝. 第12題解圖 13. 8　【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90，在Rt△ABM中，∵D是AB的中點，∴DM＝AB＝3，∵ME＝DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是三角形的中位線，∴BC＝8. 14. (1)證明：∵在△ABC中，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F， ∴∠AFE＝∠AGC＝90， 在△AEF和△ACG中， ∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC， ∴△AEF∽△ACG， ∴∠AEF＝∠C， 在△ADE和△ABC中， ∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC； (2)解：由(1)知△ADE∽△ABC， ∴＝＝， 又∵△AEF∽△ACG， ∴＝＝. 15. (1)證明：∵四邊形EHGF為正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AHE＝∠ACB， 在△AEH和△ABC中， ∠AHE＝∠ACB，∠EAH＝∠BAC， ∴△AEH∽△ABC； (2)解：設正方形邊長為x cm，如解圖，設AD與EH交于P點，則AP＝AD－PD＝(30－x) cm， 由(1)得△AEH∽△ABC， 第15題解圖 ∴＝， 即＝，解得x＝， ∴正方形面積為()2＝ cm2， 故正方形的邊長為 cm，面積為 cm2. 16. (1)證明：∵∠ACB＝∠CDB＝90，∠B＝∠B， ∴△ACB∽△CDB， ∴＝，即＝，∴＝， 又∵∠ACD＝∠CBD， ∴△EDC∽△FDB， ∴∠EDC＝∠FDB， ∵∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝∠FDB＋∠CDF＝∠CDB＝90， ∴∠EDF＝90； (2)解：∵BC＝6，AB＝4， ∴AC＝2，CE＝，CF＝4，CD＝3，BD＝3， 由(1)得，△EDC∽△FDB， ∴＝＝， 又∵∠EDF＝90，EF＝＝， ∴DE＝. 能力提升訓練 1. B　【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90，AD＝AB＝12，AD∥BC，∵AB＝12，BM＝5，由勾股定理得AM＝13，∵AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB，∵∠AME＝∠B＝90，∴△EAM∽△AMB，∴＝，即＝，解得DE＝. 2. C　【解析】∵△BPC是等邊三角形，∴∠CBP＝60，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CBA＝∠A＝90，∴∠ABE＝30，在Rt△ABE中可得BE＝2AE，①正確；∵△BPC是等邊三角形，∴∠CBP＝∠BPC＝∠PCB＝60，BC＝CP，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝45，∴∠HBP＝∠CBP－∠CBD＝15，∵AD∥BC，∴∠DFP＝∠BCP＝60＝∠BPH.∵CD＝BC，∴CD＝CP，∵∠PCD＝∠BCD－∠BCP＝30，∴∠CDP＝(180－∠DCP)＝75，∴∠FDP＝15＝∠PBH，∴△FDP∽△PBH，故②正確；∵∠PDB＝∠BDF－∠FDP＝45－15＝30≠∠DFP，∴△PDF與△PDB不相似，故③錯誤；∵∠PDH＝30＝∠DCP，∠CPD＝∠DPH，∴△CPD∽△DPH，∴＝，即DP2＝CPPH，故④正確． 3. (1)證明：∵BF⊥AD， ∴∠BEA＝∠BED＝90， 在Rt△ABE和Rt△DBE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)； (2)證明：①如解圖，取BD的中點H，連接GH， 第3題解圖 ∵G是BA的中點， ∴AD∥GH， 即MD∥GH， ∴＝ ， ∵BD＝2HD，BD＝4DC， ∴HD＝2DC， ∴GM＝2MC； ②如解圖，過點C作CK⊥AC交AD的延長線于點K， ∴∠ACK＝90， 又∵∠BAC＝90， ∴∠ACK＋∠BAC＝180， ∴AB∥CK， ∴△AGM∽△KCM， ∴＝＝2， ∴CK＝AG， 又∵AB＝2AG， ∴ABCK＝2AGAG＝AG2， ∵AB∥CK， ∴∠KAB＝∠AKC， ∵∠ABF＋∠KAB＝90，∠AKC＋∠CAK＝90， ∴∠ABF＝∠CAK， ∴△ABF∽△CAK， ∴＝， ∴AFAC＝ABCK， ∴AG2＝AFAC. 4. (1)①證明：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90. 又∵∠AGB＝90， ∴∠BAE＋∠ABG＝90， ∵∠ABG＋∠CBF＝90， ∴∠BAE＝∠CBF， ∴△ABE≌△BCF(ASA)， ∴BE＝CF； ②證明：∵∠AGB＝90，點M為AB的中點， ∴MG＝MA＝MB， ∴∠GAM＝∠AGM， 又∵∠CGE＝∠AGM， ∴∠CGE＝∠ECG＝∠GCB， ∴△CGE∽△CBG， ∴＝，即CG2＝BCCE， 由∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF，得CF＝CG， 由①知，BE＝CF， ∴BE＝CG， ∴BE2＝BCCE； 第4題解圖 (2)解：如解圖，延長AE，DC交于點N， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠N＝∠EAB， 又∠CEN＝∠BEA， ∴△CEN∽△BEA， 故＝，即BECN＝ABCE， ∵AB＝BC，BE2＝BCCE， ∴CN＝BE， 由AB∥DN知，＝＝， 又AM＝MB， ∴FC＝CN＝BE， 假設正方形邊長為1， 設BE＝x，則由BE2＝BCCE， 得x2＝1(1－x)， 解得x1＝，x2＝(舍去)， ∴＝， ∴tan∠CBF＝＝＝.