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幾何問(wèn)題探究——與中點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題 知識(shí)點(diǎn) 1.中點(diǎn)的定義 2.中點(diǎn)的表示方法：等量關(guān)系、倍的關(guān)系、分的關(guān)系 3.三角形中線(xiàn)的作用：等分線(xiàn)段 4.全等三角形的中線(xiàn)的作用：倍長(zhǎng)中線(xiàn)（延長(zhǎng)中線(xiàn)至*，連接**，證明三角形全等） 教學(xué)目標(biāo) 熟練掌握有中點(diǎn)為背景的全等三角形證明的方法. 教學(xué)重點(diǎn) 在實(shí)際問(wèn)題中能對(duì)中線(xiàn)倍長(zhǎng)法模型的建立，利用中線(xiàn)倍長(zhǎng)法解決問(wèn)題. 教學(xué)難點(diǎn) 利用中線(xiàn)倍長(zhǎng)法構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題. 教學(xué)過(guò)程 一、課堂導(dǎo)入 幾何在初中數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)?shù)谋戎?，在全?guó)各地的中考數(shù)學(xué)試卷中圖形與幾何的探究問(wèn)題占到20%到30%的比重。主要考查了圖形的一些基本性質(zhì)，借助圖形的變換（平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸對(duì)稱(chēng)變換、相似變換）進(jìn)行線(xiàn)段和角的一些相關(guān)問(wèn)題的探討，主要考查了學(xué)生的觀察能力、空間想象能力、動(dòng)手操作能力以及所學(xué)幾何基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力。 解決幾何綜合問(wèn)題，是需要厚積而薄發(fā)，所謂的“幾何感覺(jué)”，是建立在足夠的知識(shí)積累的基礎(chǔ)上的，熟悉基本圖形及常用的輔助線(xiàn)，在遇到特定條件時(shí)能夠及時(shí)聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的模型，找到“新”問(wèn)題與“舊“模型間的關(guān)聯(lián)，明確努力方向，才能進(jìn)一步探究綜合問(wèn)題。注重對(duì)基本模型及輔助線(xiàn)的積累是非常必要的。 二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí) 三角形中線(xiàn)的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)。 三角形中線(xiàn)的相關(guān)定理： 1. 直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半。 2. 等腰三角形底邊的中線(xiàn)三線(xiàn)合一（底邊的中線(xiàn)、頂角的角平分線(xiàn)、底邊的高重合）。 中線(xiàn)中位線(xiàn)相關(guān)問(wèn)題（涉及中點(diǎn)的問(wèn)題） 見(jiàn)到中線(xiàn)（中點(diǎn)），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無(wú)非是倍長(zhǎng)中線(xiàn)以及中位線(xiàn)定理，尤其是在涉及線(xiàn)段的等量關(guān)系時(shí)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)的應(yīng)用更是較為常見(jiàn)。 三、知識(shí)講解 考點(diǎn)1 三角形的中位線(xiàn) 1. 三角形中位線(xiàn)的定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)。 2. 三角形中位線(xiàn)的定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于它的一半。 3. 中位線(xiàn)判定定理：經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線(xiàn)必平分第三邊。 考點(diǎn)2 全等三角形的概念及其性質(zhì) 1.定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。 2.性質(zhì)定理： （1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 （2）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。 （3）能夠完全重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。 （4）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。 （5）全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線(xiàn)相等。（6）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等。 （7）全等三角形面積和周長(zhǎng)相等。 （8）全等三角形的對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值相等。 考點(diǎn)3 全等三角形的解題技巧 一般來(lái)說(shuō)考試中線(xiàn)段和角相等需要證明全等。因此我們可以來(lái)采用逆向思維的方式，要想證明全等，需要什么條件。 例如：要想證明某某邊等于某某邊，那么首先要證明含有那兩個(gè)邊的三角形全等，然后把所得到的等式運(yùn)用（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）證明三角形全等，有時(shí)還需要輔助線(xiàn)。 分析完畢后要注意書(shū)寫(xiě)格式，在全等三角形中，如果格式不寫(xiě)好那么就容易出現(xiàn)看漏的現(xiàn)象，同時(shí)注意隱含的條件。 四、例題精析 考點(diǎn)一 倍長(zhǎng)中線(xiàn)問(wèn)題 例1 如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于F，AF=EF，求證：AC=BE．  例2 如圖所示， △OAB，△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90. (1) 如圖1，點(diǎn)C在OA邊上，點(diǎn)D在OB邊上，連接AD，BC，M為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，求證：OM⊥BC. (2) 如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α為銳角），M為線(xiàn)段AD的中點(diǎn). ①線(xiàn)段OM與線(xiàn)段BC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出并證明你的結(jié)論； ②OM⊥BC是否仍然成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.  考點(diǎn)二 構(gòu)造中位線(xiàn)問(wèn)題 例3如圖，在△ABC和△PQD中，AC = kBC，DP = kDQ，∠C =∠PDQ，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上，連結(jié)EQ交PC于點(diǎn)H．猜想線(xiàn)段EH與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．  例4 如圖，在△ABC和△DAE中，AB=k AC，AD=k AE（k>1）且∠BAC=∠DAE=α，H為BC的中點(diǎn)，G為ED的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連結(jié)FG，F(xiàn)H，請(qǐng)?zhí)骄縁H與FG的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。 說(shuō)明：如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索沒(méi)有解決問(wèn)題，可以選取（1）（2）中的一個(gè)條件完成你的探究（1）k=1；（2）點(diǎn)D在BA上，點(diǎn)E在AC 上。  考點(diǎn)三 證明中點(diǎn)問(wèn)題 例5如圖，△ABC≌△BDE，M、M′分別為AB、DB中點(diǎn)，直線(xiàn)MM′交CE于K． 試探索CK與EK的數(shù)量關(guān)系．  考點(diǎn)四 與直角三角形斜邊中點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題 例6如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90，點(diǎn)E在AB上，F(xiàn)是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，連接CE、FE． （1）請(qǐng)你探究線(xiàn)段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由）； （2）將圖1中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使△AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線(xiàn)上（如圖2），連接BD，取BD的中點(diǎn)F，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由； （3）將圖1中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3），連接BD，取BD的中點(diǎn)F，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由。  課程小結(jié) 本節(jié)課主要研究了與中點(diǎn)相關(guān)的問(wèn)題，如若遇到一個(gè)中點(diǎn)，可先考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn)，注意二次全等問(wèn)題；如若遇到多個(gè)中點(diǎn)，可先考慮嘗試中位線(xiàn)，當(dāng)然倍長(zhǎng)中線(xiàn)也可以嘗試考慮；如若遇到直角三角形和中點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)，那么一定要記得“直角三角形斜邊的中線(xiàn)是等于斜邊一半“的這條性質(zhì)。幾何問(wèn)題的探究，是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過(guò)程，注重幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，積累基本型是重中之重。 例1【規(guī)范解答】延長(zhǎng)到，使，連結(jié) ∵，， ∴ ∴． 又∵，∴ ∴ ∴，∴． 【總結(jié)與反思】作倍長(zhǎng)AD，得到，可以把AC轉(zhuǎn)移到△BDG中，利用等腰的性質(zhì)得到兩邊相等。 例2【規(guī)范解答】1、證明：∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝90 ∴△AOD ≌△BOC，∴∠OAD＝∠OBC，∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，∴OM＝AM，∴∠OAD＝∠MOA， ∴∠OBC＝∠MOA ∵∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝90，∴∠OBC+∠MOB＝90 ∴∠BMO＝180-90＝90，∴OM⊥BC。 2、結(jié)論：BC＝2OM,OM⊥BC。 延長(zhǎng)OM至E，使OM＝EM，連接AE，又AM＝DM，∠AME＝∠DMO ∴△AME ≌△DMO，∴AE＝DO，∠EAM＝∠ODM ∵△AOB和△COD是等腰直角三角形， ∴OA＝OB，① OD＝OC，∠AOB＝∠DOC＝90 ∴AE＝OC。② ∵∠OAE＝∠OAD+∠EAM＝＝∠OAD+∠ODM＝180-∠AOD ∠BOC＝∠AOB+∠COD-∠AOD＝90+90-∠AOD＝180-∠AOD ∴∠OAE＝∠BOC，③ 由①②③可得，△OAE≌△BOC，∴OE＝BC，∠AOE＝∠OBC， ∵OE＝2OM，∴BC＝2OM。 延長(zhǎng)BC交OE于F，∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝90，∴ ∠OBC+∠BOE＝90 ∴∠BFO＝180-90＝90，∴OE⊥BF 即OM⊥BC。 【總結(jié)與反思】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可證△AOD≌△BOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)即可證明OM⊥BC;（2）延長(zhǎng)OM至E，使OM＝EM，連接AE，先證明△AME ≌△DMO ，再證明△OAE≌△BOC 即可證明BC＝2OM，延長(zhǎng)BC交OE于F，推導(dǎo)出∠BFO=90，即可證明OM⊥BC. 例3【規(guī)范解答】證明： 取BC中點(diǎn)M，連接DE，DM∵ D、E分別是AB、AC的中點(diǎn) ∴DM=AC 且 DM∥AC, DE=BC 且 DE∥BC，∴∠C=∠MDE 又∵∠PDQ=∠C，∴∠PDQ=∠C ，又∵ ∠PDQ+∠QDM =∠MDE+∠QDM，∴∠PDM=∠QDE 又∵AC = kBC，∴DM = kDE，又∵DP= kDQ，∴△PDM∽△DQE，∴∠DEQ=∠DMP， 又∵DE∥BC，DM∥AC，∴∠DEQ=∠EHC, ∠DMP=∠C，∴∠EHC=∠C， ∴EH=EC=AC 【總結(jié)與反思】本題中出現(xiàn)了兩個(gè)中點(diǎn)，由所給信息，運(yùn)用中位線(xiàn)的知識(shí)我們可以構(gòu)造出△PDM∽△DQE ，從而得到角的關(guān)系，便可以證明EH與AC的數(shù)量關(guān)系了。 例4【規(guī)范解答】證明：連接BD、CE ∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE 即 ∠BAD=∠CAE 又∵AB=kAC , AD=kAE，∴ △ACE∽△ABD，∴BD= kCE 又∵H為BC的中點(diǎn)，G為ED的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)， ∴HF=BD, FG=CE ∴HF= kFG 【總結(jié)與反思】本題要我們探究FH與FG的關(guān)系，觀察圖形及所給的已知信息，我們可以首先考慮嘗試運(yùn)用中位線(xiàn)，連接BD，CE，要探究FH與FG的關(guān)系便可以轉(zhuǎn)化為探究BD及CE的關(guān)系，我們可以通過(guò)證明△ACE∽△ABD便可以得到BD及CE的關(guān)系，同樣就可以得知FH與FG的關(guān)系了。 例5【規(guī)范解答】CK與EK的數(shù)量關(guān)系為相等，理由如下： 延長(zhǎng)MK到N，使得NK=MM′，連接EM′、CM、EN，如圖， 可得NK+KM′=MM′+M′K，即NM′=MK，∵△ABC≌△BDE，M、M′分別為AB、DB中點(diǎn)， ∴EM′=CM，BM′=BM，∠EM′D=∠CMB，由BM′=BM得：∠BM′M=∠BMM′=∠KM′D， ∴∠NM′E=∠CMK，在△EM′N(xiāo)和△CMK中，NM′=MK，∠NM′E=∠CMK，EM′=CM， ∴△EM′N(xiāo)≌△CMK，（SAS）∴CK=EN，∠N=∠CKM=∠NKE，∴EK=EN，∴CK=EK． 【總結(jié)與反思】由已知條件不能得到相關(guān)條件，可作輔助線(xiàn)，延長(zhǎng)MK到N，使得NK=MM′，連接EM′、CM、EN，再根據(jù)輔助條件證明△EM′N(xiāo)≌△CMK即可． 例6【規(guī)范解答】（1）如圖1，連接CF，線(xiàn)段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=FE； （2）（1）中的結(jié)論仍然成立．如圖2，連接CF，延長(zhǎng)EF交CB于點(diǎn)G， ∵∠ACB=∠AED=90，∴DE∥BC，∴∠EDF=∠GBF，又∵∠EFD=∠GFB，DF=BF， ∴△EDF≌△GBF，∴EF=GF，BG=DE=AE，∵AC=BC，∴CE=CG，∴∠EFC=90，CF=EF，∴△CEF為等腰直角三角形，∴∠CEF=45度，∴CE=FE； （3）（1）中的結(jié)論仍然成立． 如圖3，取AD的中點(diǎn)M，連接EM，MF，取AB的中點(diǎn)N，連接FN、CN、CF， ∵DF=BF，∴FM∥AB，且FM=AB，∵AE=DE，∠AED=90，∴AM=EM，∠AME=90， ∵CA=CB，∠ACB=90∴CN=AN=AB，∠ANC=90，∴MF∥AN，F(xiàn)M=AN=CN，∴四邊形MFNA為平行四邊形， ∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA，∴∠EMF=∠FNC，∴△EMF≌△FNC，∴FE=CF，∠EFM=∠FCN， 由MF∥AN，∠ANC=90，可得∠CPF=90，∴∠FCN+∠PFC=90，∴∠EFM+∠PFC=90，∴∠EFC=90， ∴△CEF為等腰直角三角形，∴∠CEF=45，∴CE=FE．  【總結(jié)與反思】（1）連接CF，直角△DEB中，EF是斜邊BD上的中線(xiàn)，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF； （2）思路同（1）也要通過(guò)證明△EFC是等腰直角三角形來(lái)求解．連接CF，延長(zhǎng)EF交CB于點(diǎn)G，先證△EFC是等腰三角形，可通過(guò)證明CF是斜邊上的中線(xiàn)來(lái)得出此結(jié)論，那么就要證明EF=FG，就需要證明△DEF和△FGB全等．這兩個(gè)三角形中，已知的條件有一組對(duì)頂角，DF=FB，只要再得出一組對(duì)應(yīng)角相等即可，我們發(fā)現(xiàn)DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此構(gòu)成了兩三角形全等的條件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是個(gè)等腰三角形了，下面證明△CFE是個(gè)直角三角形就能得出（1）中的結(jié)論了； （3）思路同（2）通過(guò)證明△CFE來(lái)得出結(jié)論，通過(guò)全等三角形來(lái)證得CF=FE，取AD的中點(diǎn)M，連接EM，MF，取AB的中點(diǎn)N，連接FN、CN、CF．那么關(guān)鍵就是證明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位線(xiàn)和直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，我們不難得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我們只要再證得兩對(duì)應(yīng)邊的夾角相等即可得出全等的結(jié)論．我們知道PN是△ABD的中位線(xiàn)，那么我們不難得出四邊形AMPN為平行四邊形，那么對(duì)角就相等，于是90+∠CNF=90+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么兩三角形就全等了．證明∠CFE是直角的過(guò)程與（1）完全相同．那么就能得出△CEF是個(gè)等腰直角三角形，于是得出的結(jié)論與（1）也相同．