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二次函數(shù)與特殊平行四邊形的綜合問題 知識點 二次函數(shù)綜合；矩形的性質(zhì)及判定；菱形的性質(zhì)及判定；正方形形的性質(zhì)及判定； 教學(xué)目標 1. 熟練運用所學(xué)知識解決二次函數(shù)綜合問題 2．靈活運用數(shù)形結(jié)合思想 教學(xué)重點 巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題； 教學(xué)難點 靈活運用技巧及方法解決綜合問題； 知識講解 考點1 二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項系數(shù)必須是非零實數(shù)時才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)．當b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)． 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的三種表達形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個點的坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a（x－h(huán)）2+k，通常要知道頂點坐標或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道圖像與x軸的兩個交點坐標x1，x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標為（－，）．對于y=a（x－h(huán)）2+k而言其頂點坐標為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點． 考點2 矩形的性質(zhì)及判定 1. 矩形定義：有一角是直角的平行四邊形叫做矩形． 注意：矩形（1）是平行四邊形；（2）四個角是直角． 2. 矩形的性質(zhì) 性質(zhì)1 矩形的四個角都是直角； 性質(zhì)2 矩形的對角線相等，具有平行四邊形的所以性質(zhì)。； 3. 矩形的判定 矩形判定方法1:對角線相等的平行四邊形是矩形．注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）對角線相等 矩形判定方法2:四個角都是直角的四邊形是矩形． 矩形判斷方法3：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。 考點3 菱形的性質(zhì)及判定 1．菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形． 注意：　菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等． 2．菱形的性質(zhì) 性質(zhì)1 菱形的四條邊都相等； 性質(zhì)2 菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角； 3．菱形的判定 菱形判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直． 菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形． 考點4 正方形的性質(zhì)及判定 1. 正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思： 有一組鄰邊相等的平行四邊形 （菱形） 有一個角是直角的平行四邊形 （矩形）都可以得到正方形； 正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2. 正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形． 正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，正方形又是軸對稱圖形，對稱軸是對邊中點的連線和對角線所在直線，共有四條對稱軸； 3. 因為正方形是平行四邊形、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下： 邊：對邊平行，四邊相等； 角：四個角都是直角； 對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角． 注意：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì)．正方形具有矩形的性質(zhì)，同時又具有菱形的性質(zhì)． 4. 正方形的判定方法： (1)有一個角是直角的菱形是正方形； (2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形． 注意： 1、正方形概念的三個要點：（1）是平行四邊形；（2）有一個角是直角；（3）有一組鄰邊相等． 2、要確定一個四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形. 考點5 探究特殊平行四邊形的一般思路 解答特殊平行四邊形的存在性問題時，要具備分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出特殊平行四邊形的分類標準，一般涉及到動態(tài)問題要以靜制動，動中求靜，由于特殊平行四邊形分為矩形、菱形和正方形，故我們可以從這些特殊平行四邊形的性質(zhì)及題干信息入手，具體如下： （1）假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論，抓住每類圖形的特殊性質(zhì)入手，由于特殊的平行四邊形也是平行四邊形，可先證明出是平行四邊形，在適當加入一些特征便可以得到矩形、菱形或是正方形。 （2）確定分類標準：在分類時，先要找出分類的標準，看看已知的邊是作為四邊形的邊還是作為四邊形的對角線，再按各自的性質(zhì)入手尋找即可； （3）建立關(guān)系式并計算?？梢岳萌热切巍⑾嗨迫切位蛑苯侨切蔚男再|(zhì)進行計算，要具體情況具體分析，有時也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點坐標的方法求解。 例題精析 例1 已知平面直角坐標系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖象上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A、M． （1）求線段AM的長； （2）求這個二次函數(shù)的解析式； （3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖象上，點D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．  例2如圖，已知點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上． （1）求m、n； （2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，若四邊形A A′B′B為菱形，求平移后拋物線的表達式； （3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB′ 的交點為C，試在x軸上找一個點D，使得以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似．  例3將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖所示． （1）請直接寫出拋物線c2的表達式； （2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E． ①當B、D是線段AE的三等分點時，求m的值； ②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．  例4 如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S△ABC=15，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點． （1）求此拋物線的函數(shù)表達式； （2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長； （3）在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．  課程小結(jié) 有針對性的對特殊平行四邊形的性質(zhì)及判定、二次函數(shù)的基本知識進行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與特殊平行四邊形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與特殊平行四邊形的綜合問題時，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出矩形、菱形或是正方形，并能運用各自的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。 例1【規(guī)范解答】（1）當x＝0時，，所以點A的坐標為(0，3)，OA＝3． 如圖2，因為MO＝MA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的縱坐標為．將代入，得x＝1．所以點M的坐標為．因此． （2）因為拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數(shù)的解析式為． （3）如圖3，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點A作AE⊥CD，垂足為E． 在Rt△ADE中，設(shè)AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m． 因此點C的坐標可以表示為(4m，3－2m)．將點C(4m，3－2m)代入，得． 解得或者m＝0（舍去）．因此點C的坐標為（2，2）． 圖2 圖3 【總結(jié)與反思】 1．本題最大的障礙是沒有圖形，準確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數(shù)． 2．根據(jù)MO＝MA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標，是整個題目成敗的一個決定性步驟． 3．第（3）題求點C的坐標，先根據(jù)菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標，再代入拋物線的解析式求待定的字母m． 例2 【規(guī)范解答】(1) 因為點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上，所以 解得，． (2)如圖2，由點A (-2，4) 和點B (1，0)，可得AB＝5．因為四邊形A A′B′B為菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因為，所以原拋物線的對稱軸x＝－1向右平移5個單位后，對應(yīng)的直線為x＝4． 因此平移后的拋物線的解析式為． 圖2 (3) 由點A (-2，4) 和點B′ (6，0)，可得A B′＝． 如圖2，由AM//CN，可得，即．解得．所以．根據(jù)菱形的性質(zhì)，在△ABC與△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D． ①如圖3，當時，，解得．此時OD＝3，點D的坐標為（3，0）． ②如圖4，當時，，解得．此時OD＝，點D的坐標為（，0）． 【總結(jié)與反思】1．點A與點B的坐標在3個題目中處處用到，各具特色．第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計算平移的距離；第（3）題用來求點B′ 的坐標、AC和B′C的長． 2．拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變． 3．探求△ABC與△B′CD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夾角的兩邊對應(yīng)成比例，分兩種情況討論． 例3【規(guī)范解答】解：（1）拋物線c2的表達式為． （2）拋物線c1：與x軸的兩個交點為(－1，0)、(1，0)，頂點為． 拋物線c2：與x軸的兩個交點也為(－1，0)、(1，0)，頂點為． 拋物線c1向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標為，與x軸的兩個交點為、，AB＝2． 拋物線c2向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標為，與x軸的兩個交點為、． 所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)． ①B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況： 情形一，如圖2，B在D的左側(cè)，此時，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2． 情形二，如圖3，B在D的右側(cè)，此時，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．  圖2 圖3 圖4 ②如果以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3， 所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如圖4）． 【總結(jié)與反思】 1．把A、B、D、E、M、N六個點起始位置的坐標羅列出來，用m的式子把這六個點平移過程中的坐標羅列出來． 2．B、D是線段AE的三等分點，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關(guān)系列關(guān)于m的方程． 3．根據(jù)矩形的對角線相等列方程． 例4【規(guī)范解答】（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m， 由SABC=ABOC=15，得6m5m=15，解得m=1（舍去負值），∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）， 設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將C點坐標代入，得a=1，∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣5）， 即y=x2﹣4x﹣5； （2）設(shè)E點坐標為（m，m2﹣4m﹣5），拋物線對稱軸為x=2，由2（m﹣2）=EH， 得2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，解得m=1或m=3， ∵m＞2，∴m=1+或m=3+，邊長EF=2（m﹣2）=2﹣2或2+2； （3）存在．由（1）可知OB=OC=5， ∴△OBC為等腰直角三角形，直線BC解析式為y=x﹣5， 依題意，直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7， 聯(lián)立，，解得或， ∴M點的坐標為（﹣2，7），（7，16）． 【總結(jié)與反思】 1. 知設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC=ABOC=15，可求m的值，確定A、B、C三點坐標，由A、B兩點坐標設(shè)拋物線交點式，將C點坐標代入即可； 2. 坐標為（m，m2﹣4m﹣5），拋物線對稱軸為x=2，根據(jù)2（m﹣2）=EH，列方程求解； 3. 因為OB=OC=5，△OBC為等腰直角三角形，直線BC解析式為y=x﹣5，則直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7，將直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，求M點的坐標即可．