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第八章APOS學習理論,第一節(jié)APOS理論概述,美國學者杜賓斯基(E.Dubinsky)提出的APOS理論,是以建構主義為基礎的數(shù)學學習理論，它的核心是引導學生在社會線索中學習數(shù)學知識，分析數(shù)學問題情景，從而建構他們自己的數(shù)學思想。根據(jù)上述想法，杜賓斯基成功地幫助大學生們學習了一系列與微積分，離散數(shù)學，抽象代數(shù)等學科分支有關的概念，如群，子群，陪集，商群，等等。,杜賓斯基認為：1.數(shù)學教學的目的是什么？一個人是不可能直接學習到數(shù)學概念的，更確切地說,人們透過心智結構（mentalstructure）使所學的數(shù)學概念產(chǎn)生意義.如果一個人對于給予的數(shù)學概念擁有適當?shù)男闹墙Y構，那么他幾乎自然就學到了這個概念.反之，如果他無法建立起適當?shù)男闹墙Y構，那么他學習數(shù)學概念幾乎是不可能的。教學的目的：如何幫助學生建立適當?shù)男闹墙Y構。,一、APOS理論的涵義,2.ＡＰＯＳ理論的出發(fā)點與基本假設ＡＰＯＳ理論的出發(fā)點：任何一個數(shù)學教育理論應該致力于“學生是如何學習的”以及“什么樣的教學計劃可以幫助這種學習的理解”，而不僅僅是陳述一些事實.ＡＰＯＳ理論的基本假設：數(shù)學知識是個體在解決所感知到的數(shù)學問題的過程中獲得的.在此過程中，個體依序建構了心理活動（actions）、過程（processes）和對象（object），最終組織成用以理解問題情境的圖式結構（schemas）.,3.APOS理論的來源ＡPOS理論是一種建構主義學習理論，該理論集中于對特定學習內(nèi)容——數(shù)學概念學習過程的研究，它指出學生數(shù)學概念學習過程是建構的，并表明建構的順序層次。強調(diào)在學習數(shù)學概念中首先處理的數(shù)學問題要具有社會現(xiàn)實背景，并要求學生開展各種各樣的數(shù)學活動，活動中學生在已有的知識和經(jīng)驗基礎上通過思維運算和反省抽象，對概念所具有的直觀背景和形式定義進行必要的綜合，從而達到建構數(shù)學概念的目的。,APOS理論起源于作者試圖對皮亞杰的數(shù)學學習的“自反抽象”理論進行拓展的一種嘗試.所謂“自反”，就是返身、反思，自己作了實踐性活動，然后“脫身”出來，作為一個“旁觀者”來看待自己剛才做了些什么，將自己所做的活動過程作為思考的對象，并歸結出某個結論，這就是“自反抽象”.,皮亞杰認為，數(shù)學抽象活動的基本性質是一種“自反抽象”。它與通常所謂的“經(jīng)驗抽象”有著重要的區(qū)別。所謂的“經(jīng)驗抽象”即是以真實的事物或現(xiàn)象作為直接的原型，也即是由一類物質對象中抽象出共同的特性.“自反抽象”卻并非是關于物質對象的，而只是涉及到了人類施加于物質對象之上的活動,或者說，這即是對人類自身活動進行反思的直接結果.,皮亞杰的這一觀點表明了數(shù)學學習的一個重要特點——數(shù)學抽象活動的間接性。數(shù)學抽象未必是以真實事物或現(xiàn)象為原型的直接抽象，而也可以是以已經(jīng)得到建構的數(shù)學對象為原型的間接抽象，也即是在更高的層次上去對已有的東西重新進行建構。APOS理論指明了這種建構的途徑和方式。無論是“經(jīng)驗抽象”，還是“自反抽象”，必須在經(jīng)過操作、過程、對象、圖式等階段后才能完成數(shù)學對象、數(shù)學思維的建構和提升.,二、APOS理論的理論模型,1.四階段模型杜賓斯基認為，學生學習數(shù)學概念就是要建構心智結構，這一建構過程要經(jīng)歷以下4個階段（以函數(shù)概念為例）：第一階段——操作(或活動)（action）階段這里的活動是指個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個客觀的數(shù)學對象.,數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，操作運算行為是數(shù)學認知的基礎性行為。學生與數(shù)學家一樣，要親自投入，通過實際經(jīng)驗來獲得知識，雖然這種實踐性與物理、化學、生物等實驗科學的觀察試驗行為所不同，但數(shù)學活動仍需實際操作演算和頭腦中的心理操作——思想實驗，沒有物理操作和心理的操作，數(shù)學概念將成為無源之水，無本之木.,大部分數(shù)學概念的形成都經(jīng)歷了一個反省抽象的活動。而要形成反省，被反省的基礎，就是操作活動。所謂操作是指個體對于感知到的對象進行轉換，這個對象實質上是一種外部刺激。例如，理解函數(shù)概念需要進行活動或操作。在有現(xiàn)實背景的問題中建立一種函數(shù)關系y=2x,要求個體計算出在一個給定點的函數(shù)值，如：通過這種操作，學生獲得函數(shù)的操作意義.,第二階段——過程(process)階段當“活動”經(jīng)過多次重復而被個體熟悉后，物理操作就可以內(nèi)化為一種叫做“過程(process)”的心理操作，有了這一“程序”，個體就可以想象之前的活動，而不必通過外部刺激；他可以在腦中實施這一程序而不需要具體操作；他甚至還可以對這一程序進行逆轉以及與其它程序進行組合.,例如，一旦學生認識到所謂函數(shù)只不過是給定一個不同的數(shù)就會得出相應的不同值，而不必再進行具體的運算時，他就已經(jīng)完成了這種過程模式的建構。把上述操作活動綜合成函數(shù)過程，一般地有x→2x；其它各種函數(shù)也可以概括為一般的對應過程：x→f(x).想象為輸入——輸出的“函數(shù)機”概念在過程階段表現(xiàn)為一系列的步驟，有操作性，相對直觀，容易仿效學習；學生可以從過程入手經(jīng)操作來體會概念中所包含的具體關系.,第三階段——對象(object)階段當個體能把這個“過程”作為一個整體進行操作和轉換的時候，這個過程就變成了他的一種心理“對象(object)”.這時,個體可以操控對象去實施各種相關的數(shù)學運算。需要的時候，也可以具體再現(xiàn)對象所包含的過程步驟.例如，將函數(shù)的對應過程壓縮為一個“整體”，形成函數(shù)的“對象”這一心理結構，從而可以實現(xiàn)函數(shù)的復合、微分、積分這些運算，進一步可發(fā)展出函數(shù)空間、算子這些更抽象的數(shù)學概念.,所以，作為對象的概念，在某一個層次和更高一級層次之間起著一種樞紐作用：它既操作別的對象，又被高層次的運算來操作。當概念進入對象狀態(tài)時，便呈現(xiàn)一種靜態(tài)結構關系，成為一個“實體”，易于整體把握性質，這時一個完整的理解才真正成型。,第四階段——圖式(scheme)階段個體對活動、過程、對象以及他原有的相關方面的圖式進行相應的整合、精致就會產(chǎn)生出新的圖式結構(scheme),從而可運用于問題解決情境.一個數(shù)學概念的“圖式”是由相應的活動、過程、對象以及相關的圖式所組成的認知框架。其作用和特點就是決定某些刺激是否屬于這個圖式，從而就會作出不同的反應。,良好的函數(shù)概念圖式：“函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的一種對應關系；在一個集合中任意取定一個數(shù)，總可以在另一個集合里找到唯一確定的數(shù)與它對應；前面的集合叫定義域，那些被唯一確定的所有數(shù)組成了叫做值域的集合；函數(shù)概念的關鍵是由誰唯一確定了誰；函數(shù)概念與函數(shù)所用的符號沒有什么關系，就像人的名字一樣；……”這一心理圖式含有具體的函數(shù)實例（解析式、圖像、表格、映射圖）、抽象的對應過程、定義的言語編碼，以及與其它概念的聯(lián)系（方程、曲線、不等式、代數(shù)式等）。,APOS理論的四階段模型,2.APOS循環(huán),杜賓斯基認為，活動、過程、對象也可以看作是數(shù)學知識的三種狀態(tài)，而圖式則是由這三種知識構成的一種認知結構.雖然這四者具有等級結構，但個體對某一數(shù)學概念的理解并不只是線性的，而是循環(huán)的。,例如，函數(shù)概念的學習。學習者一開始的活動是，視函數(shù)為一個公式，它含有一些可以運算和賦值的字母變量.隨后，視函數(shù)為“函數(shù)機”——可以輸入、輸出的機器，于是得到了初步的“程序”，即過程.但一遇到更為復雜的函數(shù)表達式時，往往又回到了“活動”階段，進一步完善了函數(shù)“程序”.如此反復，經(jīng)過多次循環(huán)后，才最終形成明確而完整的函數(shù)“對象”,APOS循環(huán)圖,活動的內(nèi)化是數(shù)學課堂的一種“日?；顒印?例如，為了考察二次函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，學生先具體比較一些函數(shù)值的大小，這屬于離散狀態(tài)的“活動”階段.這些“活動”經(jīng)過多次重復后，慢慢就內(nèi)化為一種心理結構——“程序”，其功能就是實行相應的“活動”.,在活動階段，學生只能單個地計算函數(shù)值，比較大小；在程序（過程）階段，學生可以同時考慮多個函數(shù)值的大小關系及變化趨勢.在學生多次運用“程序”后，一旦他們對整個區(qū)間上的函數(shù)值隨自變量變化的趨勢有了整體的認識，上述“程序”就已經(jīng)被“壓縮(encapsulation)”為一個“對象”.只有當個體主動地反復運用“程序”去實施相應的“活動”時，“壓縮”才可能出現(xiàn).在數(shù)學活動中，“解壓縮(de-encapsulation)”的過程也同樣重要.,運用壓縮和解壓縮的過程去實施某個“活動”是數(shù)學思維的一個特點.例如，在兩個函數(shù)f和g相加得到一個新的函數(shù)f+g的過程中，必須把原來的兩個函數(shù)和結果函數(shù)都看作是“對象”.但在實際變換或者討論函數(shù)的性質時，又必須先將它們“解壓縮”為原先的“程序”而分別操作，然后形成新的“程序”.在新的“程序”中，將涉及其它更多的數(shù)學概念，如新函數(shù)的定義域與原先兩個函數(shù)的定義域之間的關系.這樣，圍繞這一“對象”形成了一個關聯(lián)的認知結構——“圖式”,APOS理論指出，數(shù)學對象、圖式的形成是一種漸進的建構過程。一個數(shù)學概念由“過程”到“對象”的建立有時是既困難又漫長的（如函數(shù)概念），“過程”到“對象”的抽象需要經(jīng)過多次的反復，循序漸進，螺旋上升，直至學生真正理解?！皩ο蟆钡慕⒁⒁馑暮喚毼淖中问?、符號表示，使學生在頭腦中建立起數(shù)學知識的直觀結構形象.,APOS理論揭示出，數(shù)學學習中圖式的形成往往并非是一種自覺的行為，而是一個不知不覺的漸進的建構過程。在整個環(huán)節(jié)中，相應的操作為圖式的形成提供了必要的基礎。經(jīng)過提煉和拓展，圖式的形成要經(jīng)歷三個階段：單個圖式、多個圖式、圖式的遷移。,單個圖式階段的特點就是只是注意離散的操作、過程和對象，而把具有類似性質的其它知識點隔離開來.多個圖式階段就是注意了各個圖式中蘊涵的知識點之間的關系和銜接，這時個體就能把這些知識點組成一個整體.到了遷移階段，個體才能徹底搞清楚在上一個階段中提到的相關知識點之間的相互關系，并建構出這些知識點之間的內(nèi)部結構，形成一個大的圖式.,三、APOS理論的特征（1）真實反映了數(shù)學概念的心智建構過程APOS理論集中于對特定學習內(nèi)容——數(shù)學概念學習過程的研究，對數(shù)學概念所特有的思維形式“過程和對象的雙重性”做出了切實分析。對數(shù)學學習過程中學生的思維活動做出深入的研究，正確揭示數(shù)學學習活動的特殊性，提出學生學習概念要經(jīng)過“活動”、“過程”、“對象”和“圖式”4個階段。反映了學生學習數(shù)學概念過程中真實的思維活動.,“活動階段”是學生理解概念的一個必要條件，通過“活動”讓學生親身體驗、感受概念的直觀背景和概念間的關系?！斑^程階段”是學生對“活動”進行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，學生在頭腦中對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質?！皩ο箅A段”是通過前面的抽象，認識到了概念本質，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象，在以后的學習中以此為對象去進行新的活動。,“圖式階段”的形成要經(jīng)過長期的學習活動來完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學習建立起與其它概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。（2）APOS理論揭示了數(shù)學概念學習的本質，是具有數(shù)學學科特色的學習理論.（3）APOS理論是建構主義學習理論在數(shù)學學習中的一種具體模式.（4）為數(shù)學教學提供理論工具.,第二節(jié)APOS理論典型案例,一、函數(shù)概念1.活動階段理解函數(shù)需要進行活動或操作。例如，在有現(xiàn)實背景的問題中建立函數(shù)關系y＝X2，需要用具體的數(shù)字構造對應：2→4；3→9；4→16；5→25；……通過操作，理解函數(shù)的意義。2.過程階段把上述操作活動綜合成為一個函數(shù)過程。一般地有x→x2；其它的各種函數(shù)也可以概括為一般的對應過程：x→f(x)。,3.對象階段然后可以把函數(shù)過程上升為一個獨立的對象來處理,比如，函數(shù)的加減乘除、復合運算等。在表達式f(x)土g(x)中，函數(shù)f(x)和g(x)均作為整體對象出現(xiàn)。4.圖式階段此時的函數(shù)概念，以一種綜合的心理圖式而存在于腦海中，在數(shù)學知識體系中占有特定的地位。這一心理圖式含有具體的函數(shù)實例、抽象的過程、完整的定義，乃至和其它概念的區(qū)別和聯(lián)系(方程、曲線、圖像等等)。,二、代數(shù)式概念代數(shù)式(字母表示數(shù))概念一直是學生學習代數(shù)過程中的難點，很多學生學過后只能記住代數(shù)式的形式特征，不能理解字母表示數(shù)的意義。代數(shù)式的本質是把方法性的算術的運算(過程上的運算)上升到了結構性的式的運算(對象上的運算)，這其中要經(jīng)歷從算術到代數(shù)觀點的改變。首先要設計具體的在算術上的方法性的運算活動，使代數(shù)概念的建立經(jīng)歷必要的“過程”階段，從而能建立“對象”的代數(shù)式。,1.通過運算活動，理解具體的代數(shù)式。問題1：一列火車保持一定的速度行駛，每小時行駛90千米，請將這列火車行駛的路程與時間的關系填在表1中：,問題2：隨著梯形個數(shù)的增加，由若干個梯形組成的圖形的周長也在變化，觀察圖形并填寫表2：,表2梯形個數(shù)與周長變化,2.過程階段，體驗代數(shù)式形成過程。教師提出以下問題：(1)用字母符號代表“口”如90t，與具體的數(shù)有什么樣的關系?(2)把各具體字母表示的式子作為一個整體，具有什么樣的特征和意義?(需經(jīng)反復體驗、反思、抽象代數(shù)式特征：一種運算關系；字母表示一類數(shù)，如t和90t)。這一階段還包括列代數(shù)式和對代數(shù)式求值，如可計算下題，讓學生進一步體會代數(shù)式形成過程。,3.對象階段，對代數(shù)式的形式化表述(以下簡略說明)。這一階段包括建立代數(shù)式形式定義、對代數(shù)式的化簡、合并同類項、因式分解及解方程等運算。學生在進行運算中應意識到運算的對象是形式化的代數(shù)式而不是數(shù),代數(shù)式本身體現(xiàn)了一種運算關系，而不只是運算過程。這一階段，學生必須理解字母(不定元)的意義，識別代數(shù)式。,4.圖式階段，建立綜合的心理圖式。通過以上三個階段的教學，學生在頭腦中應該建立起如下的代數(shù)式的心理表征：具體的實例(直觀的)、運算過程、字母表示一類數(shù)的數(shù)學思想、代數(shù)式的定義,并能加以運用。例如,化簡代數(shù)式,(2x2—6x十5)2—(2x2—6x十4)2=[(2x2—6x十5)十(2x2—6x十4)]?[(2x2—6x十5)十(2x2—6x十4)]=(4x2—12x十9)=(2x—3)2,需將每一個括號內(nèi)的式子看成一個具體的對象---代數(shù)式，運用平方差與平方和公式進行化簡?？梢钥闯?，學生在對象階段代數(shù)式概念的建立要經(jīng)歷一段時間才能完成。此外，在以后學習方程、整式、分式、函數(shù)等內(nèi)容時不斷對代數(shù)式的概念進行完善，找到它在數(shù)學整體中的地位，從而建立完整的心理圖式。,三、有理數(shù)加法法則1.運算操作（活動）計算一個足球隊在一場足球比賽時的勝負可能結果的各種不同情形：（＋3）＋（＋2）→＋5；（一2）＋（一1）→－3；（＋3）＋（一2）→（＋1）；（一3）＋（＋2）＋1；（＋3）＋0→＋3；……（其中每個和式中的兩個有理數(shù)是上、下半場中的得分數(shù)）。,2.綜合分析（過程）把以上算式作為整體綜合進行特征分析：同號相加、異號相加、一個數(shù)與零相加等的過程和結果對照總結規(guī)律，理解運算意義。3.形成對象把各種規(guī)律綜合在一起成為一完整的有理數(shù)加法法則，并產(chǎn)生有理數(shù)和的模式：有理數(shù)十有理數(shù)=（1）符號（2）數(shù)值這一階段還包括按照有理數(shù)和的模式及具體的運算律進行任意的有理數(shù)和的運算和代數(shù)式求值的運算等。,4.形成圖式有理數(shù)加法法則以一種綜合的心理圖式建立在學生的頭腦中，其中有具體的足球比賽的實例、有抽象的操作過程、有完整的運算律和形成的模式。而且通過以后的學習獲得和其他概念、規(guī)則的區(qū)別與聯(lián)系（有理數(shù)和、差、積的組合關系，多項式的和、差、積關系等）。,四、解一元一次方程1.活動階段為了求未知數(shù)，通過已知數(shù)和條件列出方程，然后用代數(shù)式的四則運算求出未知數(shù)。學生學習解具體的方程：2X=5；3X－2=5X＋3，理解具體的方程的意義。2.過程階段從整體上體驗一元一次方程的特征，把握解方程的一般性步驟，會解一般的ax＋b=0；ax＋b＝cx＋d之類的方程,綜合分析解方程的思想方法。,3.對象階段把解一元一次方程作為單獨的對象來掌握,區(qū)別于一元二次方程。在解二元一次聯(lián)立方程時，能夠識別是由兩個一元一次方程所組成。此時解一元一次方程是一個單獨的結構性的對象。4.圖式階段學生的頭腦中建立起一元一次方程的綜合圖式：一元一次方程與一次函數(shù)的關系，由方程表示的函數(shù)的圖像等。,