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考點測試49　雙曲線 一、基礎小題 1．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，則雙曲線C的離心率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由題意可得＝，則離心率e＝＝＝，故選B． 2．已知雙曲線－＝1的實軸長為10，則該雙曲線的漸近線的斜率為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由m2＋16＝52，解得m＝3(m＝－3舍去)．所以a＝5，b＝3，從而＝，故選D． 3．已知平面內(nèi)兩定點A(－5，0)，B(5，0)，動點M滿足|MA|－|MB|＝6，則點M的軌跡方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1(x≥4) C．－＝1 D．－＝1(x≥3) 答案　D 解析　由雙曲線的定義知，點M的軌跡是雙曲線的右支，故排除A，C；又c＝5，a＝3，∴b2＝c2－a2＝16．∵焦點在x軸上，∴軌跡方程為－＝1(x≥3)．故選D． 4．雙曲線－y2＝1的焦點到漸近線的距離為(　　) A． B． C．1 D． 答案　C 解析　焦點F(，0)到漸近線xy＝0的距離d＝＝1，故選C． 5．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為10，點P(2，1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案　A 解析　∵－＝1的焦距為10，∴c＝5＝．① 又雙曲線漸近線方程為y＝x，且P(2，1)在漸近線上，∴＝1，即a＝2b．② 由①②解得a＝2，b＝，則C的方程為－＝1．故選A． 6．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M與雙曲線C的焦點不重合，點M關于F1，F(xiàn)2的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在雙曲線的右支上，若|AN|－|BN|＝12，則a＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　A 解析　如圖，設MN的中點為C，則由對稱性知F1，F(xiàn)2分別為線段AM，BM的中點，所以|CF1|＝|AN|，|CF2|＝|BN|．由雙曲線的定義，知|CF1|－|CF2|＝2a＝(|AN|－|BN|)＝6，所以a＝3，故選A． 7．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，且它的一個頂點到相應焦點的距離為1，則雙曲線C的方程為________． 答案　x2－＝1 解析　由題意得解得則b＝，故所求方程為x2－＝1． 8．設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，點P在雙曲線上，若點P到焦點F1的距離等于9，則點P到焦點F2的距離為________． 答案　17 解析　解法一：∵實軸長2a＝8，半焦距c＝6，∴||PF1|－|PF2||＝8．∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17．又∵|PF2|的最小值為c－a＝6－4＝2，∴|PF2|＝17． 解法二：由題知，若P在右支上，則|PF1|≥2＋8＝10>9，∴P在左支上．∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17． 二、高考小題 9．(xx全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 答案　A 解析　∵e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，∴＝．因為該雙曲線的漸近線方程為y＝x，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝x，故選A． 10．(xx全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N．若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A． B．3 C．2 D．4 答案　B 解析　由題意分析知，∠FON＝30．所以∠MON＝60，又因為△OMN是直角三角形，不妨取∠NMO＝90，則∠ONF＝30，于是FN＝OF＝2，F(xiàn)M＝OF＝1，所以|MN|＝3．故選B． 11．(xx全國卷Ⅲ)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P．若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　) A． B．2 C． D． 答案　C 解析　由題可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a． 在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝， ∵在△PF1F2中， cos∠PF2O＝＝， ∴＝?c2＝3a2，∴e＝．故選C． 12．(xx天津高考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案　C 解析　∵雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由題意可設A(2a，3a)，B(2a，－3a)，∵＝3，∴漸近線方程為y＝x，則點A與點B到直線x－y＝0的距離分別為d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9．∴雙曲線的方程為－＝1，故選C． 13．(xx江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點F(c，0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是________． 答案　2 解析　雙曲線的一條漸近線方程為bx－ay＝0，則F(c，0)到這條漸近線的距離為＝c， ∴b＝c，∴b2＝c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2， ∴e＝＝2． 14．(xx全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60，則C的離心率為________． 答案　 解析　如圖，由題意知點A(a，0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝x，即bx－ay＝0， ∴點A到l的距離d＝． 又∠MAN＝60，|MA|＝|NA|＝b，∴△MAN為等邊三角形，∴d＝|MA|＝b，即＝b，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝． 三、模擬小題 15．(xx河北黃岡質檢)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點F作圓x2＋y2＝a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P，若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為(　　) A． B． C．2 D． 答案　A 解析　連接OM．由題意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|，∴∠OFP＝45，∴|OM|＝|OF|sin45，即a＝c，∴e＝＝．故選A． 16．(xx河南洛陽尖子生聯(lián)考)設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，過F1引圓x2＋y2＝9的切線F1P交雙曲線的右支于點P，T為切點，M為線段F1P的中點，O為坐標原點，則|MO|－|MT|等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　D 解析　連接PF2，OT，則有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝|PF1|－3－|PF1|－4＝1，故選D． 17．(xx哈爾濱調研)已知雙曲線C的右焦點F與拋物線y2＝8x的焦點相同，若以點F為圓心，為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為(　　) A．－x2＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案　D 解析　設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，而拋物線y2＝8x的焦點為(2，0)，即F(2，0)，∴4＝a2＋b2．又圓F：(x－2)2＋y2＝2與雙曲線C的漸近線y＝x相切，由雙曲線的對稱性可知圓心F到雙曲線的漸近線的距離為＝，∴a2＝b2＝2，故雙曲線C的方程為－＝1．故選D． 18．(xx安徽淮南三校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1右焦點為F，P為雙曲線左支上一點，點A(0，)，則△APF周長的最小值為(　　) A．4＋ B．4(1＋) C．2(＋) D．＋3 答案　B 解析　由題意知F(，0)，設左焦點為F0，則F0(－，0)，由題意可知△APF的周長l為|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l(xiāng)＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋22＝4＋4＝4(＋1)，當且僅當A，F(xiàn)0，P三點共線時取得“＝”，故選B． 19．(xx河南適應性測試)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝2x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 答案　D 解析　不妨設P為雙曲線右支上一點，則|PF1|>|PF2|，由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．又因為所以∠PF1F2為最小內(nèi)角，故∠PF1F2＝．由余弦定理，可得＝，c2＝3a2，b2＝c2－a2＝2a2?＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝x，故選D． 20．(xx山西太原五中月考)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點A，與右支交于點B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，則＝(　　) A．1 B． C． D． 答案　B 解析　如圖所示，由雙曲線定義可知|AF2|－|AF1|＝2a．又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因為∠F1AF2＝，所以S△AF1F2＝|AF1||AF2|sin∠F1AF2＝2a4a＝2a2．設|BF2|＝m，由雙曲線定義可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|．又知∠BAF2＝，所以△BAF2為等邊三角形，邊長為4a，所以S△ABF2＝|AB|2＝(4a)2＝4a2，所以＝＝，故選B． 21．(xx廣東六校聯(lián)考)已知點F為雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，直線y＝kx(k>0)與E交于不同象限內(nèi)的M，N兩點，若MF⊥NF，設∠MNF＝β，且β∈，，則該雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) A．[，＋] B．[2，＋1] C．[2，＋] D．[，＋1] 答案　D 解析　如圖，設左焦點為F′，連接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，則|NF|＝|MF′|＝r2，由雙曲線定義可知r2－r1＝2a?、?，∵點M與點N關于原點對稱，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴r＋r＝4c2?、?，由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF．∴r1r2＝2c2sin2β，∴c2－a2＝c2sin2β，∴e2＝，又∵β∈，，∴sin2β∈，，∴e2＝∈[2，(＋1)2]．又e>1，∴e∈[，＋1]，故選D． 22．(xx河北名校名師俱樂部二調)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1(b>0)的左、右焦點，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45，延長AF2交雙曲線的右支于點B，則△F1AB的面積等于________． 答案　4 解析　由題意知a＝1，由雙曲線定義知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2， ∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|．由題意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|， ∴|BA|＝|BF1|，∴△BAF1為等腰三角形，∵∠F1AF2＝45，∴∠ABF1＝90，∴△BAF1為等腰直角三角形．∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝4＝2．∴S△F1AB＝|BA||BF1|＝22＝4． 一、高考大題 本考點在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2019河北武邑中學月考)已知?m∈R，直線l：y＝x＋m與雙曲線C：－＝1(b>0)恒有公共點． (1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍； (2)若直線l過雙曲線C的右焦點F，與雙曲線交于P，Q兩點，并且滿足＝，求雙曲線C的方程． 解　(1)聯(lián)立消去y，整理得(b2－2)x2－4mx－2(m2＋b2)＝0． 當b2＝2，m＝0時，易知直線l是雙曲線C的一條漸近線，不滿足題意，故b2≠2，易得e≠． 當b2≠2時，由題意知Δ＝16m2＋8(b2－2)(m2＋b2)≥0，即b2≥2－m2，故b2>2， 則e2＝＝＝>2，e>． 綜上可知，e的取值范圍為(，＋∞)． (2)由題意知F(c，0)，直線l：y＝x－c，與雙曲線C的方程聯(lián)立，得消去x，化簡得(b2－2)y2＋2cb2y＋b2c2－2b2＝0， 當b2＝2時，易知直線l平行于雙曲線C的一條漸近線，與雙曲線C只有一個交點，不滿足題意，故b2≠2． 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 即 因為＝，所以y1＝y(tǒng)2，　③ 由①③可得y1＝，y2＝，代入②整理得5c2b2＝9(b2－2)(c2－2)， 又c2＝b2＋2，所以b2＝7． 所以雙曲線C的方程為－＝1． 2．(xx惠州月考)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為y＝x，右焦點F到直線x＝的距離為． (1)求雙曲線C的方程； (2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B，D兩點，已知A(1，0)，若＝1，證明：過A，B，D三點的圓與x軸相切． 解　(1)依題意有＝，c－＝， ∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b2＝3， ∴雙曲線C的方程為x2－＝1． (2)證明：設直線l的方程為y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中點為M， 由得2x2－2mx－m2－3＝0， ∴x1＋x2＝m，x1x2＝－， 又∵＝1， 即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1， ∴m＝0(舍)或m＝2， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝－， M點的橫坐標為＝1， ∵＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2) ＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0， ∴AD⊥AB， ∴過A，B，D三點的圓以點M為圓心，BD為直徑， ∵點M的橫坐標為1，∴MA⊥x軸， ∵|MA|＝|BD|， ∴過A，B，D三點的圓與x軸相切． 3．(2019山西太原一中月考)已知直線l：y＝x＋2與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)相交于B，D兩點，且BD的中點為M(1，3)． (1)求雙曲線C的離心率； (2)設雙曲線C的右頂點為A，右焦點為F，|BF||DF|＝17，試判斷△ABD是否為直角三角形，并說明理由． 解　(1)設B(x1，y1)，D(x2，y2)． 把y＝x＋2代入－＝1， 并整理得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝－． 由M(1，3)為BD的中點，得＝＝1， 即b2＝3a2，故c＝＝2a， 所以雙曲線C的離心率e＝＝2． (2)由(1)得C的方程為－＝1， A(a，0)，F(xiàn)(2a，0)，x1＋x2＝2，x1x2＝－<0， 不妨設x1≤－a，x2≥a， 則|BF|＝＝ ＝a－2x1， |DF|＝＝ ＝2x2－a， 所以|BF||DF|＝(a－2x1)(2x2－a)＝2a(x1＋x2)－4x 1x2－a2＝5a2＋4a＋8， 又|BF||DF|＝17，所以5a2＋4a＋8＝17， 解得a＝1或a＝－(舍去)． 所以A(1，0)，x1＋x2＝2，x1x2＝－． 所以＝(x1－1，y1)＝(x1－1，x1＋2)， ＝(x2－1，x2＋2)， ＝(x1－1)(x2－1)＋(x1＋2)(x2＋2) ＝2x1x2＋(x1＋x2)＋5＝0， 所以⊥，即△ABD為直角三角形． 4．(xx山東臨沂月考)P(x0，y0)(x0≠a)是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為． (1)求雙曲線的離心率； (2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足＝λ＋，求λ的值． 解　(1)由點P(x0，y0)(x0≠a)在雙曲線－＝1上，有－＝1． 由題意有＝， 可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝． (2)聯(lián)立得4x2－10cx＋35b2＝0． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則① 設＝(x3，y3)，＝λ＋，即 又C為雙曲線上一點，即x－5y＝5b2，有 (λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2． 化簡得 λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2．② 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上， 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2． 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， ②式可化為λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4．