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考點(diǎn)測(cè)試47　圓與方程 高考概覽 考綱研讀 1．掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程 2．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系 3．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題 4．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想 一、基礎(chǔ)小題 1．圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程為(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案　A 解析　設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，b)，則由題意知＝1，解得b＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1．故選A． 2．若點(diǎn)P(1,1)為圓C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為(　　) A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 答案　D 解析　圓心C(3,0)，kPC＝－，則kMN＝2，所以弦MN所在直線的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．故選D． 3．圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切 答案　B 解析　圓O1：x2＋y2－2x＝0的圓心為O1(1,0)，半徑r1＝1；圓O2：x2＋y2－4y＝0的圓心為O2(0,2)，半徑r2＝2．由于1<|O1O2|＝<3，故兩圓相交．故選B． 4．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圓的面積是(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 答案　D 解析　如圖，根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)可以得出AC＝BC＝2，AB＝4，所以AC⊥BC，所以AB為過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的直徑，且該圓的圓心坐標(biāo)為(1,0)，圓的半徑為2，所以圓的面積為S＝πR2＝π22＝4π．故選D． 5．對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相切 C．相交 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能 答案　C 解析　直線y＝kx－1恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，－1)，又02＋(－1)2－20－2＝－1<0，得點(diǎn)A在圓內(nèi)，故直線y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0相交，故選C． 6．設(shè)圓的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若00，所以原點(diǎn)在圓外．故選B． 7．若圓x2＋y2＝a2與圓x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦長(zhǎng)為2，則a的值為(　　) A．2 B．2 C．1 D．1 答案　B 解析　設(shè)圓x2＋y2＝a2的圓心為O，半徑r＝|a|，將x2＋y2＝a2與x2＋y2＋ay－6＝0聯(lián)立，可得a2＋ay－6＝0，即公共弦所在的直線方程為a2＋ay－6＝0，原點(diǎn)O到直線a2＋ay－6＝0的距離為，根據(jù)勾股定理可得a2＝3＋2，解得a＝2．故選B． 8．過(guò)點(diǎn)M(1,2)的直線l與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線l的方程是________． 答案　x＋y－3＝0 解析　由題意知，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，圓心C(3,4)到直線l的距離達(dá)到最大，此時(shí)直線l與直線CM垂直，又直線CM的斜率為＝1，所以直線l的斜率為－＝－1，因此所求的直線l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0． 二、高考小題 9．(xx全國(guó)卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] 答案　A 解析　∵直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2．∵點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，圓心為(2,0)，∴圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d1＝＝2，故點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的范圍為[，3]，則S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]，故選A． 10．(xx北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離．當(dāng)θ，m變化時(shí)，d的最大值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　∵cos2θ＋sin2θ＝1，∴P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，又x－my－2＝0表示過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(diǎn)(－1,0)到直線x＝2的距離即為d的最大值．故選C． 11．(xx全國(guó)卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________． 答案　2 解析　根據(jù)題意，圓的方程可化為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓的圓心為(0，－1)，且半徑是2，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得圓心到直線的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝2． 12．(xx江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y＝2x上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若＝0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為________． 答案　3 解析　解法一：設(shè)A(a,2a)，a>0，則C，a，∴圓C的方程為x－2＋(y－a)2＝＋a2，由得 ∴＝(5－a，－2a)，2－a＝＋2a2－4a＝0，∴a＝3或a＝－1，又a>0，∴a＝3，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3． 解法二：由題意易得∠BAD＝45．設(shè)直線DB的傾斜角為θ，則tanθ＝－，∴tan∠ABO＝－tan(θ－45)＝3，∴kAB＝－tan∠ABO＝－3．∴AB的方程為y＝－3(x－5)， 由得xA＝3． 13．(xx全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2，則|CD|＝________． 答案　4 解析　由題意可知直線l過(guò)定點(diǎn)(－3，)，該定點(diǎn)在圓x2＋y2＝12上，不妨設(shè)點(diǎn)A(－3，)，由于|AB|＝2，r＝2，所以圓心到直線AB的距離為d＝＝3，又由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝3，解得m＝－，所以直線l的斜率k＝－m＝，即直線l的傾斜角為30． 如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為H，所以|CH|＝2，在Rt△CHD中，∠HCD＝30，所以|CD|＝＝4． 14．(xx江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上．若≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________． 答案　[－5，1] 解析　因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上， 所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，)(－5≤x≤5)． 因?yàn)锳(－12,0)，B(0,6)， 所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，＝(－x,6－)或＝(－x,6＋)． 因?yàn)椤?0，先取P(x, )進(jìn)行計(jì)算， 所以(－12－x)(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤． 當(dāng)2x＋5≤0，即x≤－時(shí)，上式恒成立； 當(dāng)2x＋5>0，即x>－時(shí)，(2x＋5)2≤50－x2， 解得－5≤x≤1，故x≤1． 同理可得P(x，－)時(shí)，x≤－5． 又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1． 故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為[－5，1]． 設(shè)P(x，y)， 則＝(－12－x，－y)，＝(－x，6－y)． ∵≤20， ∴(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20，即2x－y＋5≤0． 如圖，作圓O：x2＋y2＝50，直線2x－y＋5＝0與⊙O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)， ∵P在圓O上且滿足2x－y＋5≤0， ∴點(diǎn)P在上． 由得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1． 又D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－5， ∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為[－5，1]． 三、模擬小題 15．(xx合肥質(zhì)檢)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(guò)(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 答案　B 解析　當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時(shí)，弦長(zhǎng)為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長(zhǎng)為2，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有＝1，解得k＝－，綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，故選B． 16．(xx湖南長(zhǎng)沙模擬)已知⊙O：x2＋y2＝1，A(0，－2)，B(a,2)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要使視線不被⊙O擋住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．－∞，－∪，＋∞ C．－∞，－∪，＋∞ D．－， 答案　B 解析　點(diǎn)B在直線y＝2上，過(guò)點(diǎn)A(0，－2)作圓的切線，設(shè)切線的斜率為k，由點(diǎn)斜式得切線方程為y＝kx－2，即kx－y－2＝0，由圓心到切線的距離等于半徑，得＝1，解得k＝，∴切線方程為y＝x－2，和直線y＝2的交點(diǎn)坐標(biāo)為－，2，，2，∴要使視線不被⊙O擋住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是－∞，－∪，＋∞．故選B． 17．(xx廣東茂名模擬)若圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax＋by＝0的距離為2，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A．[2－，1] B．[2－，2＋] C．， D．[0，＋∞) 答案　B 解析　圓x2＋y2－4x－4y－10＝0可化為(x－2)2＋(y－2)2＝18，則圓心坐標(biāo)為(2,2)，半徑為3． 由圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax＋by＝0的距離為2可得，圓心到直線l：ax＋by＝0的距離d≤3－2＝，即≤，則a2＋b2＋4ab≤0　①，若a＝0，則b＝0，不符合題意，故a≠0且b≠0，則①可化為1＋2＋≤0，由于直線l的斜率k＝－，所以1＋2＋≤0可化為1＋2－≤0，解得k∈[2－，2＋]，故選B． 18．(xx天津河西一模)若A為圓C1：x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，則線段AB長(zhǎng)度的最大值是________． 答案　8 解析　圓C1：x2＋y2＝1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，圓C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圓心為C2(3，－4)，半徑r2＝2，∴|C1C2|＝5．又A為圓C1上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，∴線段AB長(zhǎng)度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8． 19．(xx湖北八市聯(lián)考)已知a∈R，直線l1：x＋2y＝a＋2和直線l2：2x－y＝2a－1分別與圓E：(x－a)2＋(y－1)2＝9相交于點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D，則四邊形ABCD的面積是________． 答案　18 解析　依題意，圓E的圓心坐標(biāo)為E(a,1)，發(fā)現(xiàn)E∈l1，E∈l2，即直線l1，l2都過(guò)圓心，故|AC|＝|BD|＝6．又k1k2＝－1，即l1⊥l2．故所求面積為62＝18． 20．(xx衡陽(yáng)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O1：x2＋y2＝9，圓O2：x2＋(y－6)2＝16，在圓O2內(nèi)存在一定點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M的直線l被圓O1，圓O2截得的弦分別為AB，CD，且＝，則定點(diǎn)M的坐標(biāo)為________． 答案　0， 解析　當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x＝x0，－3＜x0＜3．則|AB|＝2，|CD|＝2，從而有＝2，解得x0＝0，即定點(diǎn)M在圓心O1與O2連線上，且yM∈[2,10]，即M(0，yM)，yM∈[2,10]；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝kx＋b．則|AB|＝2，|CD|＝2，從而有＝2，解得b＝或b＝－18．直線l過(guò)定點(diǎn)(0，b)，且點(diǎn)M在圓O2內(nèi)，故b＝，即M0，． 一、高考大題 1．(xx全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8． (1)求l的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 解　(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0． Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝． 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝． 由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1． 因此l的方程為y＝x－1． (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5． 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144． 2．(xx全國(guó)卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x，過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓． (1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； (2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程． 解　(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2， 由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4． 又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4． 因此OA的斜率與OB的斜率之積為＝＝－1，所以O(shè)A⊥OB， 故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上． (2)由(1)可得y1＋y2＝2m， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4， 故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)， 圓M的半徑r＝． 由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4，－2)，因此＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0． 由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4， 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－． 當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3，1)，圓M的半徑為， 圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10． 當(dāng)m＝－時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為， 圓M的方程為2＋2＝． 3．(xx江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2，4)． (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程； (3)設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得＋＝，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解　圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圓心M(6，7)，半徑為5． (1)由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)．因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以00)． 因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，所以 2＋－b2＝－2＋－b2， 即＋－b＋b2＝＋－b＋b2，解得b＝4． 又易知r2＝2＋－42＝， 所以圓C的方程為x2＋(y－4)2＝． (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由l與C相切得l的方程為x＝，此時(shí)直線l與C1交于P，Q兩點(diǎn)，不妨設(shè)P點(diǎn)在Q點(diǎn)的上方， 則P，，Q，－或P－，，Q－，－，則＝0，所以O(shè)P⊥OQ，滿足題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，易知其斜率不為0， 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 將直線l的方程與圓C1的方程聯(lián)立，得 消去y， 整理得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－1＝0， 則Δ＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－1)＝4(k2－m2＋1)>0， 即1＋k2>m2，則x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝， 又OP⊥OQ，所以＝0， 即x1x2＋y1y2＝＋＝0， 故2m2＝1＋k2，滿足Δ>0，符合題意． 因?yàn)橹本€l：y＝kx＋m與圓C：x2＋(y－4)2＝相切， 所以圓心C(0，4)到直線l的距離d＝＝， 即m2－8m＋16＝， 故m2－8m＋16＝m2，解得m＝2， 故1＋k2＝222，得k＝． 故直線l的方程為y＝x＋2． 綜上，直線l的方程為x＝或y＝x＋2．