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專題突破一 三角形中的隱含條件
解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個熱點．由于公式較多且性質(zhì)靈活，解題時稍有不慎，常會出現(xiàn)增解、錯解現(xiàn)象，其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠．下面結(jié)合例子談?wù)勗诮馊切螘r，題目中隱含條件的挖掘．
隱含條件1.兩邊之和大于第三邊
例1 已知鈍角三角形的三邊a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范圍．
解 設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.
∵c>b>a，且△ABC為鈍角三角形，∴C為鈍角．
由余弦定理得cosC＝＝<0.
∴k2－4k－12<0，解得－2
k＋4，∴k>2，
綜上所述，k的取值范圍為20，∴cosB<0，∴B為鈍角，
故△ABC為鈍角三角形．
3．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，則cosC＝________.
答案
解析 若A為鈍角，由sinA＝＜，知A＞.
又由cosB＝＜.知B＞.
從而A＋B＞π.與A＋B＋C＝π矛盾．
∴A為銳角，cosA＝.
由cosB＝，得sinB＝.
∴cosC＝－cos(A＋B)
＝－(cosAcosB－sinAsinB)
＝－＝.
4．在△ABC中，C＝120，c＝a，則a與b的大小關(guān)系是a________b.
答案?。?
解析 方法一 由余弦定理cosC＝，
得cos120＝，
整理得a2＝b2＋ab＞b2，∴a＞b.
方法二 由正弦定理＝，得＝，
整理得sin A＝＞＝sin 30.
∵C＝120，∴A＋B＝60，∴A＞30，B＜30，∴a＞b.
5．在△ABC中，若b2＝ac，則的取值范圍是________．
答案
解析 設(shè)＝q，則由b2＝ac，得＝＝q.
∴b＝aq，c＝aq2.
由得
解得＜q＜.
6．在鈍角△ABC中，2B＝A＋C，C為鈍角，＝m，則m的取值范圍是________．
答案 (2，＋∞)
解析 由A＋B＋C＝3B＝π，知B＝.
又C＞，∴0＜A＜，∴∈(，＋∞)．
＝＝＝
＝＋＞＋＝2，
∴m∈(2，＋∞)．
7．在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范圍．
解 ∵C＝，∴A＋B＝π，
∴外接圓直徑2R＝＝＝2.
∴a－b＝2Rsin A－2Rsin B＝2sin A－sin B
＝2sin A－sin＝sin.
∵0＜A＜π，∴－＜A－＜，
∴－＜sin＜1.－1＜sin＜.
即a－b∈(－1，)．
一、選擇題
1．已知三角形三邊之比為5∶7∶8，則最大角與最小角的和為( )
A．90B．120C．135D．150
答案 B
解析 設(shè)最小邊為5，則三角形的三邊分別為5，7，8，設(shè)邊長為7的邊對應(yīng)的角為θ，則由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∵θ∈(0，180)，
∴θ＝60.則最大角與最小角的和為180－60＝120.
2．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，則C等于( )
A.或 B.
C. D.
答案 C
解析 由＝，得sin C＝.
∵BC＝3，AB＝，∴A>C，則C為銳角，故C＝.
3．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30，則cosB等于( )
A． B.
C．－ D.
答案 A
解析 因為＝，所以＝，
解得sin B＝.
因為b>a，所以B>A，故B有兩解，所以cos B＝.
4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，則k的取值范圍是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
答案 D
解析 由正弦定理得a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，
∵即∴k>.
5．在△ABC中，三邊長分別為a－2，a，a＋2，最大角的正弦值為，則這個三角形的面積為( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵三邊不等，∴最大角大于60.設(shè)最大角為α，故α所對的邊長為a＋2，∵sin α＝，∴α＝120.
由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，
即a2＝5a，故a＝5，
故三邊長為3，5，7，S△ABC＝35sin 120＝.
6．△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg且B∈，則△ABC的形狀是( )
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
答案 C
解析 ∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lg ，
∴＝sin B，sin B＝.
∵B∈，∴B＝.
∴＝＝，∴sin C＝sin A＝sin＝，∴cos C＝0，∵C∈(0，π)，C＝.
∴A＝π－B－C＝.∴△ABC是等腰直角三角形．故選C.
7．(2017全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因為a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sin A＝sin C.
又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sinAcos C
＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C
＝(sin A＋cos A)sin C＝0.
又C為△ABC的內(nèi)角，故sin C≠0，
則sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
從而sin C＝sin A＝＝.
由A＝知，C為銳角，故C＝.故選B.
二、填空題
8．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝，sinB＝，C＝，則b＝________.
答案 1
解析 因為sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或.
又因為C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.
又因為a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
9．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________．
答案
解析 ∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
∴由正弦定理得
sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
又sin Bsin C＞0，∴sin A＝.
由余弦定理得cos A＝＝＝＞0，
∴cos A＝，bc＝＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝＝.
10．若△ABC的面積為(a2＋c2－b2)，且C為鈍角，則B＝________；的取值范圍是________．
答案 (2，＋∞)
解析 由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B.
∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsin B＝2accos B，
∴tan B＝，又B∈(0，π)，∴B＝.
又∵C為鈍角，∴C＝－A＞，∴0＜A＜.
由正弦定理得＝
＝＝＋.
∵0＜tan A＜，∴＞，
∴＞＋＝2，即＞2.
∴的取值范圍是(2，＋∞)．
三、解答題
11．在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周長的取值范圍．
解 由正弦定理得＝＝＝2，
∴a＝2sin A，b＝2sin B，
則△ABC的周長為L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋＝2＋
＝2＋
＝2＋
＝2sin ＋.
∵0B＝，
而<，所以∠CDE只能為鈍角，
所以cos∠CDE＝－，
所以cos∠DAB＝cos＝cos∠CDEcos＋sin∠CDEsin＝－＋＝.
14．(2018福建省三明市第一中學(xué)月考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，則角C等于( )
A. B.或
C. D.
答案 D
解析 在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝，即＝，
∴b2＋c2－a2＝bc，又b2＝a2＋bc，
∴c2＋bc＝bc，∴c＝(－1)b
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2020版高中數(shù)學(xué)
第一章
解三角形
專題突破一
三角形中的隱含條件學(xué)案含解析新人教B版必修5
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