2020版高中數學 第二章 數列 2.2.2 等差數列的前n項和（第1課時）等差數列的前n項和公式學案（含解析）新人教B版必修5.docx
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第1課時 等差數列的前n項和公式 學習目標 1.掌握等差數列前n項和公式及其獲取思路.2.熟練掌握等差數列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系，能夠由其中三個求另外兩個.3.已知數列{an}的前n項和公式求通項an. 知識點一 等差數列的前n項和 1．定義：對于數列{an}，一般地，稱a1＋a2＋a3＋…＋an為數列{an}的前n項和． 2．表示：常用符號Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an. 知識點二 等差數列前n項和公式 等差數列的前n項和公式 已知量 首項，末項與項數 首項，公差與項數 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 知識點三 a1，d，n，an，Sn知三求二 1．在等差數列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d. 兩個公式共涉及a1，d，n，an及Sn五個基本量，它們分別表示等差數列的首項，公差，項數，項和前n項和． 2．依據方程的思想，在等差數列前n項和公式中已知其中三個量可求另外兩個量，即“知三求二”． 知識點四 數列中an與Sn的關系 對于一般數列{an}，設其前n項和為Sn， 則有an＝ 特別提醒：(1)這一關系對任何數列都適用． (2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通項公式中，令n＝1求得a1與利用a1＝S1求得的a1相同，則說明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通項公式也適合n＝1的情況，數列的通項公式用an＝Sn－Sn－1表示． 若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通項公式中，令n＝1求得的a1與利用a1＝S1求得的a1不相同，則說明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通項公式不適合n＝1的情況，數列的通項公式采用分段形式． 1．若數列{an}的前n項和為Sn，則S1＝a1.( √ ) 2．若數列{an}的前n項和為Sn，則an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.( ) 3．等差數列前n項和公式的推導方法是倒序相加法．( √ ) 4．1＋2＋3＋…＋100＝.( √ ) 題型一 等差數列前n項和公式的基本運算 例1 在等差數列{an}中： (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. 解 (1)方法一 由已知條件得 解得 ∴S10＝10a1＋d＝103＋4＝210. 方法二 由已知條件得 ∴a1＋a10＝42， ∴S10＝＝542＝210. (2)S7＝＝7a4＝42， ∴a4＝6. ∴Sn＝＝＝＝510. ∴n＝20. 反思感悟 (1)在解決與等差數列前n項和有關的問題時，要注意方程思想和整體思想的運用． (2)構成等差數列前n項和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二． 跟蹤訓練1 在等差數列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 解 由得 解方程組得或 題型二 由數列{an}的前n項和Sn求an 例2 已知數列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n，求這個數列的通項公式．這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 解 根據Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知 Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2，n∈N＋)， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－ ＝2n－， ① 當n＝1時，a1＝S1＝12＋1＝，也滿足①式． ∴數列{an}的通項公式為an＝2n－，n∈N＋. ∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2， 故數列{an}是以為首項，2為公差的等差數列． 引申探究 若將本例中前n項和改為Sn＝n2＋n＋1，求通項公式． 解 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝－ ＝2n－. ① 當n＝1時，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式． ∴an＝ 反思感悟 已知前n項和Sn求通項an，先由n＝1時，a1＝S1求得a1，再由n≥2時，an＝Sn－Sn－1求得an，最后驗證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個解析式表示，不符合則分段表示． 跟蹤訓練2 已知數列{an}的前n項和Sn＝3n，求an. 解 當n＝1時，a1＝S1＝3； 當n≥2時，an＝Sn－Sn-1＝3n－3n-1＝23n-1. 當n＝1時，代入an＝23n-1得a1＝2≠3. ∴an＝ 題型三 等差數列在實際生活中的應用 例3 某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為1150元，購買當天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花費多少錢？ 解 設每次交款數額依次為a1，a2，…，a20， 則a1＝50＋10001%＝60， a2＝50＋(1000－50)1%＝59.5， … a10＝50＋(1000－950)1%＝55.5， 即第10個月應付款55.5元． 由于{an}是以60為首項，以－0.5為公差的等差數列， 所以有S20＝20＝1105， 即全部付清后實際付款1105＋150＝1255(元)． 反思感悟 建立等差數列的模型時，要根據題意找準首項、公差和項數或者首項、末項和項數． 跟蹤訓練3 甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m. (1)甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？ (2)如果甲、乙到達對方起點后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)每分鐘走5m，那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？ 解 (1)設n分鐘后兩人第1次相遇，由題意， 得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0. 解得n＝7，n＝－20(舍去)． 所以第1次相遇是在開始運動后7分鐘． (2)設n分鐘后第2次相遇，由題意， 得2n＋＋5n＝370， 整理得n2＋13n－420＝0. 解得n＝15，n＝－28(舍去)． 所以第2次相遇是在開始運動后15分鐘. 1．已知等差數列{an}滿足a1＝1，am＝99，d＝2，則其前m項和Sm等于( ) A．2300B．2400C．2600D．2500 答案 D 解析 由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)2， 解得m＝50，所以S50＝501＋2＝2500. 2．記等差數列的前n項和為Sn，若S2＝4，S4＝20，則該數列的公差d等于( ) A．2B．3C．6D．7 答案 B 解析 方法一 由解得d＝3. 方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3. 3．在一個等差數列中，已知a10＝10，則S19＝________. 答案 190 解析 S19＝＝ ＝19a10＝1910＝190. 4．已知數列{an}是等差數列，Sn是它的前n項和．若S4＝20，a4＝8，則S8＝________. 答案 72 解析 設{an}的公差為d，則由解得a1＝d＝2， ∴S8＝82＋2＝72. 5．已知數列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，則an＝________. 答案 3(n＋1)(n∈N＋) 解析 由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)， ① 當n≥2，n∈N＋時，得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)， ② ①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1) ＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)， ∴an＝3(n＋1)(n≥2，n∈N＋)． 又當n＝1時，a1＝123＝6也適合上式， ∴an＝3(n＋1)，n∈N＋. 1．求等差數列前n項和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數列求和中也可能用到． 2．等差數列的兩個求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個量．若已知其中三個量，通過方程思想可求另外兩個量．在利用求和公式時，要注意整體思想的應用，注意下面結論的運用： 若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap(m，n，p∈N＋)． 3．由Sn與an的關系求an主要使用an＝ 一、選擇題 1．在等差數列{an}中，若a2＋a8＝8，則該數列的前9項和S9等于( ) A．18B．27C．36D．45 答案 C 解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36. 2．在－20與40之間插入8個數，使這10個數成等差數列，則這10個數的和為( ) A．200B．100C．90D．70 答案 B 解析 S10＝＝100. 3．已知數列{an}中，a1＝1，an＝an-1＋(n≥2，n∈N＋)，則數列{an}的前9項和等于( ) A．27B.C．45D．－9 答案 A 解析 由已知數列{an}是以1為首項，以為公差的等差數列， ∴S9＝91＋＝9＋18＝27. 4．在等差數列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，則數列{an＋bn}的前100項的和為( ) A．10000 B．8000 C．9000 D．11000 答案 A 解析 由已知得{an＋bn}為等差數列，故其前100項的和為S100＝ ＝50(25＋75＋100)＝10000. 5．在等差數列{an}中，若S10＝4S5，則等于( ) A.B．2C.D．4 答案 A 解析 由題意得10a1＋109d＝4， ∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴＝. 6．在小于100的自然數中，所有被7除余2的數之和為( ) A．765B．665C．763D．663 答案 B 解析 ∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)7<100，∴n<15， ∴n＝14，S14＝142＋14137＝665. 7．在等差數列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，則S10等于( ) A．－9B．－11C．－13D．－15 答案 D 解析 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9， ∵an<0，∴a3＋a8＝－3， ∴S10＝＝＝＝－15. 8．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2－2n(n∈N＋)，則a2＋a18等于( ) A．36B．35C．34D．33 答案 C 解析 方法一 a2＝S2－S1＝(22－22)－(12－21)＝1， a18＝S18－S17＝182－218－(172－217)＝33. ∴a2＋a18＝34. 方法二 易知{an}為等差數列．∴a2＋a18＝a1＋a19，S19＝＝192－219，∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34. 二、填空題 9．在等差數列{an}中，an＝2n＋3，n∈N＋，前n項和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c為常數)，則a－b＋c＝________. 答案?。? 解析 因為an＝2n＋3，所以a1＝5，Sn＝＝n2＋4n，與Sn＝an2＋bn＋c比較，得a＝1，b＝4，c＝0，所以a－b＋c＝－3. 10．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三點共線(該直線不過原點O)，則S200＝________. 答案 100 解 因為A，B，C三點共線(該直線不過原點O)， 所以a1＋a200＝1，所以S200＝＝100. 11．設Sn為等差數列{an}的前n項和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________. 答案 15 解析 設等差數列的公差為d， 則S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1， S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8. 由解得 故a9＝a1＋8d＝－1＋82＝15. 三、解答題 12．在等差數列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝，求S5. 解 (1)方法一 ∵a6＝10，S5＝5， ∴解得∴a8＝a6＋2d＝16. 方法二 ∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝，即3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一 ∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝， ∴a1＋2d＝. ∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5＝24. 方法二 ∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝， ∴S5＝＝＝24. 13．已知數列{an}的所有項均為正數，其前n項和為Sn，且Sn＝a＋an－(n∈N＋)． (1)證明：{an}是等差數列； (2)求數列{an}的通項公式． (1)證明 當n＝1時，a1＝S1＝a＋a1－， 解得a1＝3或a1＝－1(舍去)． 當n≥2時， an＝Sn－Sn-1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)． 所以4an＝a－a＋2an－2an-1， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. 因為an＋an-1>0，所以an－an-1＝2(n≥2)． 所以數列{an}是以3為首項，2為公差的等差數列． (2)解 由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N＋. 14．現有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數為________． 答案 10 解析 鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數組成了一個等差數列，最上面一層鋼管數為1，逐層增加1個． ∴鋼管總數為1＋2＋3＋…＋n＝. 當n＝19時，S19＝190.當n＝20時，S20＝210>200. ∴當n＝19時，剩余鋼管根數最少，為10根． 15．已知公差大于零的等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求數列{an}的通項公式an； (2)若數列{bn}是等差數列，且bn＝，求非零常數c. 解 (1)設等差數列{an}的公差為d，且d>0. ∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117， ∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的兩個根． 又公差d>0，∴a3
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