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熱學(xué) 經(jīng)典例題已知金剛石的密度為3.5103kg/m3，碳的摩爾質(zhì)量為12g/mol，阿伏加德羅常數(shù)NA=6.01023mol-1，假設(shè)金剛石中碳原子是緊密地排列在一起的一個(gè)個(gè)小球，請(qǐng)估算金剛石中碳原子的直徑為多大？（結(jié)果保留1位有效數(shù)字） 分析與解答：每個(gè)碳原子的體積V0=43π(d2)3=MρNA,代入數(shù)據(jù)解得d=36MπρNA≈210-10m. 變式1已知金剛石的密度為ρ＝3.5103 kg/m3，現(xiàn)有一塊體積為4.010－8m3的一小塊金剛石，它含有多少個(gè)碳原子？假如金剛石中的碳原子是緊密地挨在一起，試估算碳原子的直徑？(保留兩位有效數(shù)字) 分析與解答：這塊金剛石的質(zhì)量：m=ρV=3.51034.010-8kg=1.410-4kg 這塊金剛石的物質(zhì)的量n=mM=ρVM=1.410-41210-3mol=1.1710-2mol 這塊金剛石所含的碳原子數(shù)n′=nNA=1.1710-26.021023個(gè)=7.01021個(gè) 一個(gè)碳原子的體積為V0=Vn=4.010-87.01021m3=5.710-30m3 把金剛石中的碳原子看成球體，則由公式V0=π6d3可得碳原子直徑為 d=336V0π=365.710-303.14m=2.210-10m 變式2在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，有體積為V的水和體積為V的氧氣(可視為理想氣體)，已知水的密度為ρ，阿伏加德羅常數(shù)為NA，水的摩爾質(zhì)量為M，在標(biāo)準(zhǔn)狀況下lmol氧氣的體積為Vo。求： (1)水和氧氣中各有多少個(gè)分子； (2)水分子的直徑和氧氣中相鄰兩個(gè)分子之間的平均距離。 分析與解答：(1)體積為V的水中水分子數(shù)N1=ρVMNA 體積為V的氧氣中氧分子數(shù)N2=VV0NA (2)設(shè)水分子的直徑d，則N1?43π（d2）3=V，整理得d=36MπρNA 設(shè)氧分子間的距離L，則N2L3=V，整理得L=3V0NA 變式3某同學(xué)在進(jìn)行“用油膜法估測(cè)分子的大小”的實(shí)驗(yàn)前，網(wǎng)上查閱數(shù)據(jù)得知：油酸的摩爾質(zhì)量M=0.283kmol-1，密度ρ=0.89510kg/m，若每100ml，油酸酒精密液中含有純油酸1 mL，用滴管向量簡(jiǎn)內(nèi)滴100滴上述溶液，量簡(jiǎn)中的溶液體積增加1 ml.已知球的體積V與直徑D的關(guān)系為V=16πD3，取NA=6.02 1013mol-1.求： (1)一個(gè)油酸分子的體積約為多少m？ (2)一滴上述油酸酒精溶液所能形成的單分子油膜的面積約是多少m？(結(jié)果均保留一位有效數(shù)字) 分析與解答：(1)一個(gè)油酸分子的體積V=MρNA① 將數(shù)值代入①式解得V=510-28m3 (2)由球的體積與直徑的關(guān)系V=16πD3得分子直徑D=36Vπ② 一滴油酸酒精溶液中含有純油酸體積為V0=1100110010-6m3③ 故一滴油酸酒精溶液所能形成的單分子油膜的面積為S=V0D④ 由①②③④解得S=0.1m2 變式4 2017年5月，中國(guó)首次海域天然氣水合物(可燃冰)試采成功?？扇急且环N晶體，它是天然氣的固體狀態(tài)(因海底高壓)，學(xué)名天然氣水化合物，其化學(xué)式為CH4?8H2O.研究表明1m3可燃冰可轉(zhuǎn)化為164m3的天然氣(CH4)和0.8m3的水(已轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài))。 (1)下列關(guān)于晶體和非晶體的說(shuō)法中正確的是______。 (A)晶體有確定的熔點(diǎn)，非晶體沒(méi)有確定的熔點(diǎn) (B)晶體都有確定的幾何形狀，非晶體沒(méi)有確定的幾何形狀 (C)制作晶體管、集成電路多用多晶體 (D)云母片導(dǎo)熱性能各向異性，說(shuō)明云母片是晶體 (2)體積VA=1L的CH4氣體(可視為理想氣體)處于狀態(tài)A時(shí)溫度TA=300K，壓強(qiáng)pA=1atm，現(xiàn)保持其質(zhì)量不變讓它經(jīng)過(guò)狀態(tài)B到達(dá)狀態(tài)C，已知狀態(tài)B時(shí)的溫度TB=600K，到達(dá)狀態(tài)C時(shí)體積VC=0.5L.則此時(shí)該氣體的壓強(qiáng)pC=______atm.如果該氣體從狀態(tài)A到狀態(tài)B的過(guò)程中吸收熱量為Q1，從狀態(tài)B到狀態(tài)C的過(guò)程中放出熱量為Q2，則從狀態(tài)A到狀態(tài)C氣體內(nèi)能增加量△E______(填“<”、“>”或“=”)Q1-Q2。 (3)已知阿伏加德羅常數(shù)NA=61023個(gè)/mol，試估算出1m3可燃冰中所含CH4分子的個(gè)數(shù)。(結(jié)果保留一位有效數(shù)字) ____________。 分析與解答：（1）晶體有確定的熔點(diǎn)、非晶體沒(méi)有確定的熔點(diǎn)，A正確；單晶體具有規(guī)則的幾何形狀，而多晶體和非晶態(tài)沒(méi)有規(guī)則的幾何形狀，B錯(cuò)誤；制作晶體管、集成電路多用半導(dǎo)體，C錯(cuò)誤；多晶體與非晶體具有各向同性，單晶體具有各向異性，云母片導(dǎo)熱性能各向異性，說(shuō)明云母片是晶體，D正確． （2）已知：VA=1L，TA=300K，pA=1atm，TC=TB=600K，VC=0.5L； 由理想氣體的狀態(tài)方程可得PAVATA=PCVCTC，代入數(shù)據(jù)可得PC=4atm； A→B過(guò)程為等容變化。B→C過(guò)程為等溫壓縮過(guò)程，根據(jù)熱力學(xué)第一定律可知，整個(gè)的過(guò)程中內(nèi)能的增加量大于吸收的熱量； （3）由題意可知，1m3可燃冰可轉(zhuǎn)化為164m3的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的天然氣（CH4），標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氣體的摩爾體積為22.4L=0.0224m3， 所以1m3可燃冰含有的氣體的物質(zhì)的量：n=VVm=1640.0224≈7.3103mol， 所含CH4分子的個(gè)數(shù)：N=nNA，代入數(shù)據(jù)可得：N=41027（個(gè)） 經(jīng)典例題如圖所示，薄壁氣缸放置在水平平臺(tái)上，活塞質(zhì)量為10kg，橫截面積為50cm2，厚度為1cm，氣缸全長(zhǎng)21cm，氣缸質(zhì)量為20kg，大氣壓強(qiáng)為1105Pa，溫度為7℃，活塞封閉的氣柱長(zhǎng)10cm，若將氣缸倒過(guò)來(lái)放置，活塞下方的空氣能通過(guò)平臺(tái)上的缺口與大氣相通．g取10cm/s2． （1）求氣缸倒置時(shí)，活塞封閉的氣柱長(zhǎng)度； （2）氣缸倒置后，當(dāng)溫度多高時(shí)，活塞剛好接觸平臺(tái)． 分析與解答：①開始封閉氣體的壓強(qiáng)：p1=p0+mgS=1105+10105010-4 =1.2105Pa， 氣缸倒過(guò)來(lái)后，氣體的壓強(qiáng)：p2=p0﹣mgS=1105﹣10105010-4=0.8105Pa， 氣體發(fā)生等溫變化，由玻意耳定律得： p1L1S=p2L2S， 解得：L2=15cm； ②開始?xì)怏w體積：V2=L2S=15S，溫度：T2=237+7=280K， 活塞剛好接觸平臺(tái)時(shí)，氣體體積：V3=L3S=（21﹣1）S=20S， 氣體發(fā)生等壓變化，由蓋呂薩克定律得：V2T2=V3T3，解得：T3=373K； 變式1如圖，容積均為V的汽缸A、B下端有細(xì)管(容積可忽略)連通，閥門K2位于細(xì)管的中部，A、B的頂部各有一閥門K1、K3；B中有一可自由滑動(dòng)的活塞(質(zhì)量、體積均可忽略)．初始時(shí)，三個(gè)閥門均打開，活塞在B的底部；關(guān)閉K2、K3，通過(guò)K1給汽缸充氣，使A中氣體的壓強(qiáng)達(dá)到大氣壓p0的3倍后關(guān)閉K1.已知室溫為27 ℃，汽缸導(dǎo)熱． (1)打開K2，求穩(wěn)定時(shí)活塞上方氣體的體積和壓強(qiáng)； (2)接著打開K3，求穩(wěn)定時(shí)活塞的位置； (3)再緩慢加熱汽缸內(nèi)氣體使其溫度升高20 ℃，求此時(shí)活塞下方氣體的壓強(qiáng)． 分析與解答：(1)設(shè)打開K2后，穩(wěn)定時(shí)活塞上方氣體的壓強(qiáng)為p1，體積為V1.依題意，被活塞分開的兩部分氣體都經(jīng)歷等溫過(guò)程．由玻意耳定律得 p0V＝p1V1① (3p0)V＝p1(2V－V1)② 聯(lián)立①②式得 V1＝V2③ p1＝2p0④ (2)打開K3后，由④式知，活塞必定上升．設(shè)在活塞下方氣體與A中氣體的體積之和為V2(V2≤2V)時(shí)，活塞下氣體壓強(qiáng)為p2，由玻意耳定律得 (3p0)V＝p2V2⑤ 由⑤式得 p2＝3VV2p0⑥ 由⑥式知，打開K3后活塞上升直到B的頂部為止； 此時(shí)p2為p2′＝32p0 (3)設(shè)加熱后活塞下方氣體的壓強(qiáng)為p3，氣體溫度從T1＝300 K升高到T2＝320 K的等容過(guò)程中，由查理定律得P2T1=P3T⑦ 將有關(guān)數(shù)據(jù)代入⑦式得 p3＝1.6p0⑧ 變式2如圖，一粗細(xì)均勻的等臂U形管豎直放置，其A端封閉有一定量的氣體，B端開口與大氣相通，兩側(cè)被水銀柱隔開。平衡時(shí)測(cè)得A內(nèi)氣柱的長(zhǎng)度為30.0cm、兩管內(nèi)水銀面的高度差為h＝10．0cm?，F(xiàn)從B端開口處用活塞緩慢向下壓氣體，當(dāng)活塞壓下12512cm時(shí)，A、B兩端水銀面相平。已知活塞與管密封良好，設(shè)整個(gè)過(guò)程溫度保持不變。求大氣壓強(qiáng)的值。 分析與解答：設(shè)大氣壓強(qiáng)為p0，水銀的密度為ρ，U型管的橫截面積為S，對(duì)氣體A，初始時(shí)：pA=p0+ρgh VA=LS 再次平衡后，設(shè)A氣體的壓強(qiáng)為pA＇；VA=(LA-h2)S 此過(guò)程等溫：pAVA=pAVA 對(duì)于氣體B，初始時(shí)：pB=p0，VB=(LA-h)S 再次平衡后，設(shè)B氣體的壓強(qiáng)為pB＇： pB＇=pA＇；VB=(LA-h2-H)S 此過(guò)程中等溫：pBVB=pBVB， 解得p0=70cmHg 變式3 圖中豎直圓筒是固定不動(dòng)的,粗筒橫截面積是細(xì)筒的4倍,細(xì)筒足夠長(zhǎng).在粗筒中用輕質(zhì)活塞密閉了一定質(zhì)量的理想氣體，活塞與筒壁間的摩擦不計(jì)。在6℃時(shí)，活塞上方的水銀深H=10cm,水銀上表面與粗筒上端的距離y=5cm,氣柱長(zhǎng)L=15cm。不計(jì)活塞的質(zhì)量和厚度，已知大氣壓強(qiáng)P0=75cmHg,現(xiàn)對(duì)氣體緩慢加熱。 （1）當(dāng)水銀上表面與粗筒上端相平時(shí)，求氣體的溫度T2 （2）當(dāng)水銀的一半被推入細(xì)筒中時(shí)，求氣體的溫度T3（結(jié)果保留3位有效數(shù)字） 分析與解答：（1）該過(guò)程中氣體壓強(qiáng)不變，根據(jù)蓋呂薩克定律可得：V1T1=V2T2， 其中T1=279K，V1=LS，V2=L+yS，得：T2=372K； （2）氣體初始狀態(tài)：p1=p0+pH=85cmHg， 當(dāng)水銀的一半被推入細(xì)筒中時(shí)：p3=p0+pH+ph=100cmHg； 根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程可得：P1V1T1=P3V3T3，其中：V3=(L+y+H2)S 解得：T3=547K． 變式4如圖所示，一豎直放置的足夠長(zhǎng)汽缸內(nèi)有兩個(gè)活塞用一根輕質(zhì)硬桿相連，上面小活塞面積S1=2 cm2，下面大活塞面積S2=8 cm2，兩活塞的總質(zhì)量為M=0.3 kg;汽缸內(nèi)封閉溫度T1=300K的理想氣體，粗細(xì)兩部分長(zhǎng)度相等且L=5 cm；大氣壓強(qiáng)為Po=1.01l05Po，g=10m／s2，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡，活塞與缸壁間無(wú)摩擦且不漏 氣。求： (1)初狀態(tài)封閉氣體的壓強(qiáng)Pi； (2)若封閉氣體的溫度緩慢升高到T2 =336 K，氣體的體積V2是多少； (3)上述過(guò)程中封閉氣體對(duì)外界做功W。 分析與解答：（1）平衡條件Mg+p0S1+p1S2=p1S1+p0S2 代入數(shù)據(jù)得p1=9.6104Pa （2）初態(tài)體積V1=S1L+S2L=50cm3 等壓膨脹，根據(jù)蓋呂薩克定律V1T1=V2T2 代入數(shù)據(jù)得V2=56cm3 （3）封閉氣體對(duì)外界做功W=FΔL=p1ΔV=p1(V2-V1)=0.576J 經(jīng)典例題一定質(zhì)量的理想氣體，狀態(tài)從A→B→C→D→A的變化過(guò)程可用如圖所示的p－V圖線描述，其中D→A為等溫線，氣體在狀態(tài)A時(shí)溫度為TA=300K，試求： （1）氣體在狀態(tài)C時(shí)的溫度TC， （2）若氣體在AB過(guò)程中吸熱1000J，則在AB過(guò)程中氣體內(nèi)能增加了多少？ 分析與解答：①D→A為等溫線，則TA=TD=300K，C到D過(guò)程由蓋呂薩克定律得：VCTC=VDTD 得到：TC=VCTDVD=375K； ②A到B過(guò)程壓強(qiáng)不變，體積變大氣體對(duì)外做功 由W=P?ΔV=2105310-3J=600J 由熱力學(xué)第一定律ΔU=Q+W=1000J-600J=400J，則氣體內(nèi)能增加，增加400J。 變式1 如圖所示，一個(gè)絕熱的氣缸豎直放置，內(nèi)有一個(gè)絕熱且光滑的活塞，中間有一個(gè)固定的導(dǎo)熱性良好的隔板，隔板將氣缸分成兩部分，分別密封著兩部分理想氣體A和B?；钊馁|(zhì)量為m，橫截面積為S，與隔板相距h?，F(xiàn)通過(guò)電熱絲緩慢加熱氣體，當(dāng)A氣體吸收熱量Q時(shí)，活塞上升了h，此時(shí)氣體的溫度為T1。已知大氣壓強(qiáng)為P0，重力加速度為g。 （1）加熱過(guò)程中，若A氣體內(nèi)能增加了ΔE1，求B氣體內(nèi)能增加量ΔE2 （2）現(xiàn)停止對(duì)氣體加熱，同時(shí)在活塞上緩慢添加砂粒，當(dāng)活塞恰好回到原來(lái)的位置時(shí)A氣體的溫度為T2。求此時(shí)添加砂粒的總質(zhì)量Δm。 分析與解答：①氣體對(duì)外做功B氣體對(duì)外做功：W=pSh=p0S+mgh， 由熱力學(xué)第一定律得：ΔE1+ΔE2=Q-W， 解得：ΔE2=Q-mg+p0Sh-ΔE1， ②B氣體的初狀態(tài)：p1=p0+mgS，V1=hS，T1， B氣體末狀態(tài)：p2=p0+(m+Δm)gS，V2=hS，T2， 由理想氣體狀態(tài)方程得P1V1T1=P2V2T2，解得：Δm=2T2T1-1Sp0g+m； 變式2 如圖所示為一定質(zhì)量的理想氣體經(jīng)歷從狀態(tài)A→B→C→A的p—V圖象，已知該氣體在狀態(tài)A時(shí)的溫度為300 K，求： （1）氣體在狀態(tài)B、C時(shí)的溫度分別為多少攝氏度？ （2）氣體從狀態(tài)A沿圖中實(shí)線到狀態(tài)B、再到狀態(tài)C，整個(gè)過(guò)程氣體是吸熱還是放熱，傳遞的熱量為多少？ 分析與解答：①氣體從狀態(tài)A變化到狀態(tài)B發(fā)生等壓變化，根據(jù)蓋-呂薩克定律有VATA=VBTB； 代入數(shù)據(jù)有110-3300=310-3TB，解得TB=900K，tB=900-273=627℃； 氣體從狀態(tài)B到狀態(tài)C發(fā)生等容變化，根據(jù)查理定律有：pBTB=pCTC； 代入數(shù)據(jù)有3105900=1105TC，解得TC=300K，tC=300-273=27℃； （2）氣體從狀態(tài)A沿圖中實(shí)線到狀態(tài)B等壓膨脹，外界對(duì)氣體做功為： W1=pΔV=-3105(310-3-110-3)=-600J； 氣體從狀態(tài)B到狀態(tài)C等容變化，界對(duì)氣體做功為：W2=0； 外界對(duì)氣體做功為W=W1+W2=-600J，狀態(tài)AC溫度相同ΔU=0； 根據(jù)熱力學(xué)第一定律有ΔU=W+Q，解得Q=600J 變式3 如圖所示，一圓柱形絕熱氣缸豎直放置，通過(guò)絕熱活塞封閉著一定質(zhì)量的理想氣體．活塞的質(zhì)量為m，橫截面積為S，與容器底部相距h，此時(shí)封閉氣體的溫度為T1．現(xiàn)通過(guò)電熱絲緩慢加熱氣體，當(dāng)氣體吸收熱量Q時(shí)，氣體溫度上升到T2．已知大氣壓強(qiáng)為p0，重力加速度為g，T1和T2均為熱力學(xué)溫度，不計(jì)活塞與氣缸的摩擦。求： （1）活塞上升的高度； （2）加熱過(guò)程中氣體的內(nèi)能增加量． 分析與解答：①氣體發(fā)生等壓變化，有hST1=(h+Δh)ST2，解得Δh=T2-T1T1h； ②加熱過(guò)程中氣體對(duì)外做功為W=pSΔh=p0S+mgT2-T1T1h； 由熱力學(xué)第一定律知內(nèi)能的增加量為ΔU=Q-W=Q-p0S+mgT2-T1T1h 變式4一定質(zhì)量的理想氣體，在初始狀態(tài)A時(shí)，體積為V0，壓強(qiáng)為p0，溫度為T0，已知此時(shí)氣體的內(nèi)能為U0。該理想氣體從狀態(tài)A經(jīng)由一系列變化，最終還回到原來(lái)狀態(tài)A，其變化過(guò)程的p—V圖象如圖所示，其中AB是反比例函數(shù)圖象的一部分。求： （1）氣體在狀態(tài)B時(shí)的體積； （2）氣體在狀態(tài)C時(shí)的溫度； （3）從狀態(tài)B經(jīng)由狀態(tài)C，最終回到狀態(tài)A的過(guò)程中，氣體與外界交換的熱量。 分析與解答：①由題意可知，從狀態(tài)A到狀態(tài)B為等溫變化過(guò)程，狀態(tài)B時(shí)氣體壓強(qiáng)為P1=3P0,設(shè)體積為V1,由玻意耳定律得P0V0=P1V1 解得 ②由題圖可知，從狀態(tài)B到狀態(tài)C為等壓變化過(guò)程，狀態(tài)C時(shí)氣體體積為V2=V0,設(shè)溫度為T2,由蓋-呂薩克定律得 解得T2=3T0 ③由于一定質(zhì)量的理想氣體的內(nèi)能只和溫度有關(guān)，所以UB=UA=U0 在B→C→A的過(guò)程中△U=W+Q UA-UB=0=-3P0（V0-VB）+Q Q=2P0V0 即氣體從外界吸收熱量為2P0V0 變式5如圖所示，豎直放置的U形管，左端封閉右端開口，管內(nèi)水銀將長(zhǎng)19cm的空氣柱封在左管內(nèi)，此時(shí)兩管內(nèi)水銀面的高度差為4cm，大氣壓強(qiáng)為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓75mmHg?，F(xiàn)向右管內(nèi)再注入水銀，使空氣柱長(zhǎng)度減少1cm，若溫度保持不變，則需注入水銀柱的長(zhǎng)度為多少？ 分析與解答：設(shè)管的面積為S，開始時(shí)空氣柱長(zhǎng)度為l1=19cm，壓強(qiáng)為P1=75cmHg-4cmHg=71cmHg，后來(lái)空氣柱長(zhǎng)度為l2=19cm-1cm=18cm，壓強(qiáng)為P2，由等溫變化可知， P1Sl1=P2Sl2 即7119S=P218S 解得：P2=74.9cmHg 即左、右兩管的高度差應(yīng)為0.1cm，所以注入的水銀長(zhǎng)度應(yīng)為（5-0.1）cm=4.9cm。 變式6 如圖所示，氣缸放置在水平平臺(tái)上；活塞質(zhì)量為m=8kg，橫截面積為S=40 cm2，厚度為d=1cm；氣缸全長(zhǎng)為l=16cm（不含氣缸底部的厚度），大氣壓強(qiáng)為p0=1.0105Pa。當(dāng)溫度為t1=7 ℃時(shí)，活塞封閉的氣柱長(zhǎng)l0=8cm；若將氣缸倒過(guò)來(lái)放置時(shí)，活塞下方的空氣能通過(guò)平臺(tái)上的缺口與大氣相通。（g取10m/s2，不計(jì)活塞與氣缸之間的摩擦） （1）將氣缸倒過(guò)來(lái)放置，若溫度上升到t2=27 ℃，求此時(shí)氣柱的長(zhǎng)度（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）； （2）汽缸倒過(guò)來(lái)放置后，若逐漸升高溫度，發(fā)現(xiàn)活塞剛好接觸平臺(tái)，求此時(shí)氣體的溫度T。 分析與解答：對(duì)活塞，有氣缸未倒過(guò)來(lái)時(shí)，p0S+mg=pS 氣缸倒過(guò)來(lái)后，p1S+mg=p0S 溫度為7℃時(shí)，由等溫方程有：pSl0=p1Sl1 聯(lián)立解得：l1=12cm ⅰ．溫度由7℃升高到27℃過(guò)程，由等壓方程有l(wèi)1ST1=l2ST2 解得：l2≈12.9cm ⅱ．活塞剛好接觸平臺(tái)時(shí)，由等壓方程有l(wèi)1ST1=（l-d）ST 解得：T=350K