《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（第1課時(shí)）拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（第1課時(shí)）拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第1課時(shí)　拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等簡(jiǎn)單性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 對(duì)稱軸 x軸 y軸 頂點(diǎn) (0,0) 離心率 e＝1 開口方向 向右 向左 向上 向下 通徑 過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A，B，線段AB叫拋物線的通徑，長(zhǎng)度|AB|＝2p 知識(shí)點(diǎn)二　焦點(diǎn)弦 設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y2＝2px(p>0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p>0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p>0) |AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p x2＝－2py(p>0) |AB|＝p－(y1＋y2) 1．拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條對(duì)稱軸，一條準(zhǔn)線，一條通徑．(　√　) 2．當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其方程是標(biāo)準(zhǔn)方程．(　　) 3．拋物線的離心率均為1，所以拋物線形狀都相同．(　　) 4．焦準(zhǔn)距p決定拋物線的張口大小，即決定拋物線的形狀．(　√　) 題型一　拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 例1　已知拋物線y2＝8x. (1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍； (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點(diǎn)F是△OAB的重心，求△OAB的周長(zhǎng)． 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 題點(diǎn)　焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱性的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解　(1)拋物線y2＝8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0. (2)如圖所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)M， 又焦點(diǎn)F是△OAB的重心， 則|OF|＝|OM|. 因?yàn)镕(2,0)， 所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3,0)． 故設(shè)A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24； 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3,2)，B(3，－2)， 所以|OA|＝|OB|＝， 所以△OAB的周長(zhǎng)為2＋4. 反思感悟　把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) (1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖像開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)． (2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸． (3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p；離心率恒等于1. 跟蹤訓(xùn)練1　等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則△AOB的面積是(　　) A．8p2B．4p2C．2p2D．p2 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 題點(diǎn)　焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱性的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　B 解析　因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對(duì)稱性知，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45. 由方程組得或 不妨設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，－2p)． 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝4p2p＝4p2. 題型二　拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題 例2　已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值． 考點(diǎn)　拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題 題點(diǎn)　求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 解　因?yàn)橹本€l的傾斜角為60， 所以其斜率k＝tan60＝. 又F， 所以直線l的方程為y＝. 聯(lián)立 消去y，得x2－5x＋＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋ ＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8. 反思感悟　1.解決拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過(guò)定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解． 2．設(shè)直線方程時(shí)要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨(dú)討論． 跟蹤訓(xùn)練2　已知拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過(guò)此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝p，求AB所在直線的方程． 考點(diǎn)　拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題 題點(diǎn)　知拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)求方程 解　由題意可知，焦點(diǎn)F.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 若AB⊥x軸，則|AB|＝2p≠p，不合題意， 故直線AB的斜率存在，設(shè)為k， 則直線AB的方程為y＝k. 聯(lián)立消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0， 則y1＋y2＝，y1y2＝－p2. ∴|AB|＝ ＝ ＝2p＝p， 解得k＝2， ∴AB所在直線方程為y＝2或y＝－2. 題型三　與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題 例3　設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)． (1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值； (2)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線的定義求最值 解　(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程是x＝－1.由拋物線的定義知，點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離． 于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小．顯然，連接AF，AF與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，故最小值為＝，即點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為. (2)如圖，把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y2＝4x中，得y＝2. 因?yàn)?>2，所以點(diǎn)B在拋物線內(nèi)部．過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，連接P1F.此時(shí)，由拋物線的定義知，|P1Q|＝|P1F|.所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值為4. 反思感悟　拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對(duì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等． 跟蹤訓(xùn)練3　已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為(　　) A.B．2C.D. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線的定義求最值 答案　A 解析　如圖，由拋物線的定義知 |PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|， 則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|＋|PF|的最小值， 則當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PF|取得最小值． 又A(0,2)，F(xiàn)， ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|＝＝. 1．以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長(zhǎng)為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 答案　C 解析　設(shè)拋物線的方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)， 由題意將x＝或x＝－分別代入y2＝2px和y2＝－2px，得|y|＝p， ∴2|y|＝2p＝8，p＝4. 即拋物線方程為y2＝8x. 2．設(shè)A，B是拋物線x2＝4y上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面積為16，則∠AOB等于(　　) A．30B．45C．60D．90 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 題點(diǎn)　焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱性的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　D 解析　由|OA|＝|OB|，知拋物線上點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)A，B，a>0.S△AOB＝2a＝16，解得a＝4，∴△AOB為等腰直角三角形，∠AOB＝90. 3．已知拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝－2，則此拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最小值為(　　) A．1B．2C．3D．4 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求距離 答案　B 解析　由題意知拋物線頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短，故最小值為2. 4．過(guò)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為________． 考點(diǎn)　拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題 題點(diǎn)　求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 答案　16 解析　由y2＝8x得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)， 由此直線方程為y＝x－2， 由聯(lián)立得x2－12x＋4＝0， 設(shè)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程知x1＋x2＝12， ∴弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16. 5．已知正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p>0)上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)． 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 題點(diǎn)　拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用 解　如圖△OAB為正三角形， 設(shè)|AB|＝a，則OD＝a， 將A代入y2＝2px， 即＝2pa， 解得a＝4p. ∴正三角形的邊長(zhǎng)為4p. 1．討論拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用簡(jiǎn)單性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程． 2．拋物線中的最值問(wèn)題：注意拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是平面幾何知識(shí)的應(yīng)用． 一、選擇題 1．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，則拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是(　　) A．(6，＋∞) B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 題點(diǎn)　焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱性的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　D 解析　∵拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3， ∴＝3，即p＝6. 又拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最小值為， ∴拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的取值范圍是[3，＋∞)． 2．若拋物線y2＝x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線的定義求點(diǎn)坐標(biāo) 答案　B 解析　由題意知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，而F，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得y＝，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故選B. 3．已知拋物線y＝2px2(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)Q，若拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)M，則四邊形PQMF的面積為(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 答案　C 解析　由P在拋物線上，得p＝，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y，焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線為y＝－1， ∴|FM|＝2，|PQ|＝1＋＝，|MQ|＝1， 則四邊形PQMF的面積為1＝. 4．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．2B．3C.D. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求最值 答案　A 解析　如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的距離，由圖可知，距離和的最小值即F到直線l1的距離d＝＝2. 5．過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，|PQ|＝10，則拋物線方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝2x C．y2＝6x D．y2＝4x 考點(diǎn)　拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題 題點(diǎn)　知拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)求方程 答案　A 解析　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則＝3，即x1＋x2＝6. 又|PQ|＝x1＋x2＋p＝10， 即p＝4，∴拋物線方程為y2＝8x. 6．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝－2 考點(diǎn)　拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題 題點(diǎn)　與焦點(diǎn)弦有關(guān)的其他問(wèn)題 答案　A 解析　拋物線的焦點(diǎn)為F，所以過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋.代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得＝p＝2(y1，y2分別為點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo))，所以拋物線方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1. 7．已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則△ABP的面積為(　　) A．18B．24C．36D．48 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 題點(diǎn)　拋物線性質(zhì)的綜合問(wèn)題 答案　C 解析　不妨設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)， 依題意，l⊥x軸，且焦點(diǎn)F， ∵當(dāng)x＝時(shí)，|y|＝p， ∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6， 又點(diǎn)P到直線AB的距離為＋＝p＝6， 故S△ABP＝|AB|p＝126＝36. 8．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題 題點(diǎn)　拋物線焦點(diǎn)弦的其他問(wèn)題 答案　D 解析　由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F， 因此直線AB的方程為y＝. 即4x－4y－3＝0. 聯(lián)立直線和拋物線方程，并化簡(jiǎn)得x2－x＋＝0， 故xA＋xB＝. 根據(jù)拋物線的定義有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12， 同時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為h＝＝， 因此S△OAB＝|AB|h＝. 二、填空題 9．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AF|＝3，則|BF|＝________. 考點(diǎn)　拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題 題點(diǎn)　與焦點(diǎn)弦有關(guān)的其他問(wèn)題 答案　 解析　由題意知F(1,0)，且AB與x軸不垂直， 則由|AF|＝3，知xA＝2. 設(shè)lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x， 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以xAxB＝1，故xB＝， 故|BF|＝xB＋1＝. 10．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長(zhǎng)等于2，則這條拋物線的方程為________． 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 答案　y2＝3x 解析　由題意設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)， 當(dāng)a>0時(shí)，弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)，代入拋物線方程得y2＝3x， 同理，當(dāng)a<0時(shí)，弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，)，代入拋物線方程得y2＝－3x. 11．已知正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，那么滿足條件的正三角形的個(gè)數(shù)為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　2 解析　根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)一定關(guān)于x軸對(duì)稱，且過(guò)焦點(diǎn)的兩條直線傾斜角分別為30和150，這時(shí)過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以正三角形的個(gè)數(shù)為2. 三、解答題 12．若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|＝，|AF|＝3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 解　設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由題知M. ∵|AF|＝3，∴y0＋＝3. ∵|AM|＝，∴x＋2＝17， ∴x＝8，代入方程x＝2py0，得 8＝2p，解得p＝2或p＝4. ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y或x2＝8y. 13．已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)． (1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過(guò)點(diǎn)F的直線l：y＝x＋1交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦的問(wèn)題 解　(1)∵拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)， ∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y. (2)聯(lián)立得x2－4x－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2), 則x1＋x2＝4，x1x2＝－4， ∴|AB|＝＝8. 又O(0,0)到直線y＝x＋1的距離d＝＝， ∴△AOB的面積為S＝|AB|d ＝8＝2. 14.如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|且|AF|＝3，則此拋物線的方程為(　　) A．y2＝3x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝x 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 答案　A 解析　作AM，BN分別垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M，N， 則|BN|＝|BF|，|AM|＝|AF|. 又|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BN|， ∴∠NCB＝30，∴|AC|＝2|AM|＝2|AF|＝6. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|＝x， 則2x＋x＋3＝6，得x＝1，而x1＋＝3，x2＋＝1， 且x1x2＝， ∴＝，∴p＝， 得拋物線方程為y2＝3x. 15．已知拋物線y2＝2x. (1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|； (2)在拋物線上求一點(diǎn)P，使P到直線x－y＋3＝0的距離最短，并求出距離的最小值． 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線的定義求最值 解　(1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則|PA|2＝2＋y2 ＝2＋2x ＝2＋. ∵x∈[0，＋∞)，且在此區(qū)間上函數(shù)是增加的， 故當(dāng)x＝0時(shí)，|PA|min＝， 故距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)． (2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是y2＝2x上任一點(diǎn)， 則P到直線x－y＋3＝0的距離為 d＝＝ ＝， 當(dāng)y0＝1時(shí)，dmin＝＝， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.