《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學(xué)案 理.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學(xué)案 理.doc(18頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第三講 不等式、線性規(guī)劃
考點一 不等式的解法
求解不等式的方法
(1)對于一元二次不等式,應(yīng)先化為一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集.
(2)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是把它們等價轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解.
(3)解決含參數(shù)不等式的難點在于對參數(shù)的恰當(dāng)分類,關(guān)鍵是找到對參數(shù)進行討論的原因,確定好分類標(biāo)準(zhǔn),有理有據(jù)、層次清楚地求解.
[對點訓(xùn)練]
1.(2018湖南衡陽一模)若a,b,c為實數(shù),且a
D.a(chǎn)2>ab>b2
[解析] ∵c為實數(shù),∴取c=0,得ac2=0,bc2=0,此時ac2=bc2,故選項A不正確;-=,∵a0,ab>0,∴>0,即>,故選項B不正確;∵a0,∴a2>ab,又∵ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,故選項D正確,故選D.
[答案] D
2.(2018福建六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=若f(2-x2)>f(x),則實數(shù)x的取值范圍是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-1,2) D.(-2,1)
[解析] 易知f(x)在R上是增函數(shù),∵f(2-x2)>f(x),∴2-x2>x,解得-20的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(1,3)
C.(-1,3)
D.(-∞,1)∪(3,+∞)
[解析] 關(guān)于x的不等式ax-b<0即ax0可化為
(x+1)(x-3)<0,解得-11時不等式x+≥a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,3] B.[3,+∞)
C.(-∞,2] D.[2,+∞)
[解析] ∵x>1,∴x+=x-1++1≥2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=2時等號成立,所以最小值為3,∴a≤3,即實數(shù)a的取值范圍是(-∞,3].故選A.
[答案] A
[快速審題] (1)看到有關(guān)不等式的命題或結(jié)論的判定,想到不等式的性質(zhì).
(2)看到解不等式,想到求解不等式的方法步驟.
(1)求解一元二次不等式的3步:第一步,二次項系數(shù)化為正數(shù);第二步,解對應(yīng)的一元二次方程;第三步,若有兩個不相等的實根,則利用“大于在兩邊,小于夾中間”得不等式的解集.
(2)解一元二次不等式恒成立問題的3種方法:①圖象法;②分離參數(shù)法;③更換主元法.
考點二 基本不等式的應(yīng)用
1.基本不等式:≥
(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.
(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.
(3)應(yīng)用:兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有最小值;兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有最大值.
2.幾個重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.
(2)ab≤2(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.
(3)≥2(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.
(4)+≥2(a,b同號),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.
[對點訓(xùn)練]
1.下列結(jié)論中正確的是( )
A.lgx+的最小值為2
B.+的最小值為2
C.的最小值為4
D.當(dāng)00,+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1時取等號;對于C,當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=,即sinx=2時取等號,但sinx的最大值為1;對于D,x-在(0,2]上為增函數(shù),因此有最大值.故選B.
[答案] B
2.(2018吉林長春二模)已知x>0,y>0,且x+y=2xy,則x+4y的最小值為( )
A.4 B.
C. D.5
[解析] 由x+y=2xy得+=2.由x>0,y>0,x+4y=(x+4y)=≥(5+4)=,當(dāng)且僅當(dāng)=時等號成立,即x+4y的最小值為.故選C.
[答案] C
3.(2018海淀期末)已知正實數(shù)a,b滿足a+b=4,則+的最小值為________.
[解析] ∵a+b=4,∴a+1+b+3=8,∴+=[(a+1)+(b+3)]=≥(2+2)=,當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+3,即a=3,b=1時取等號,∴+的最小值為.
[答案]
4.(2018河南洛陽一模)若實數(shù)a,b滿足+=,則ab的最小值為________.
[解析] 依題意知a>0,b>0,則+≥2=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時,“=”成立.因為+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值為2.
[答案] 2
[快速審題] 看到最值問題,想到“積定和最小”,“和定積最大”.
利用基本不等式求函數(shù)最值的3個關(guān)注點
(1)形式:一般地,分子、分母有一個一次、一個二次的分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)以及含有兩個變量的函數(shù),特別適合用基本不等式求最值.
(2)條件:利用基本不等式求最值需滿足“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.
(3)方法:使用基本不等式時,一般通過“拆、拼、湊”的技巧把求最值的函數(shù)或代數(shù)式化為ax+(ab>0)的形式,常用的方法是變量分離法和配湊法.
考點三 線性規(guī)劃問題
1.線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by最值的確定方法
把線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by化為y=-x+,可知是直線ax+by=z在y軸上的截距,要根據(jù)b的符號確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值.
2.常見的目標(biāo)函數(shù)類型
(1)截距型:形如z=ax+by,可以轉(zhuǎn)化為y=-x+,利用直線在y軸上的截距大小確定目標(biāo)函數(shù)的最值;
(2)斜率型:形如z=,表示區(qū)域內(nèi)的動點(x,y)與定點(a,b)連線的斜率;
(3)距離型:形如z=(x-a)2+(y-b)2,表示區(qū)域內(nèi)的動點(x,y)與定點(a,b)的距離的平方;形如z=|Ax+By+C|,表示區(qū)域內(nèi)的動點(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離的倍.
[對點訓(xùn)練]
1.(2018天津卷)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為( )
A.6 B.19
C.21 D.45
[解析] 由變量x,y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示).
作出初始直線l0:3x+5y=0,平移直線l0,當(dāng)直線經(jīng)過點A(2,3)時,z取最大值,即zmax=32+53=21,故選C.
[答案] C
2.(2018廣東肇慶二模)已知實數(shù)x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為3,則實數(shù)b=( )
A. B.
C.1 D.
[解析] 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.
由z=2x+y得y=-2x+z,
平移初始直線y=-2x,
由圖可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點A時,直線y=-2x+z的縱截距最小,此時z最小,為3,
即2x+y=3.
由解得即A,
又點A也在直線y=-x+b上,即=-+b,∴b=.故選A.
[答案] A
3.(2018江西九江二模)實數(shù)x,y滿足線性約束條件若z=的最大值為1,則z的最小值為( )
A.- B.-
C. D.-
[解析] 作出可行域如圖中陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)z=的幾何意義是可行域內(nèi)的點(x,y)與點A(-3,1)兩點連線的斜率,當(dāng)取點B(a,2a+2)時,z取得最大值1,故=1,解得a=2,則C(2,0).當(dāng)取點C(2,0)時,z取得最小值,即zmin==-.故選D.
[答案] D
4.設(shè)x,y滿足約束條件則z=(x+1)2+y2的取值范圍是________.
[解析]
由解得即C.
(x+1)2+y2的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(x,y)與定點(-1,0)間距離的平方.
由圖可知,點(-1,0)到直線AB:2x+y+1=0的距離最小,為=,故zmin=;點(-1,0)到點C的距離最大,故zmax=2+2=.所以z=(x+1)2+y2的取值范圍是.
[答案]
[快速審題] (1)看到最優(yōu)解求參數(shù),想到由最值列方程(組)求解.
(2)看到最優(yōu)解的個數(shù)不唯一,想到直線平行;看到形如z=(x-a)2+(y-b)2和形如z=,想到其幾何意義.
(3)看到最優(yōu)解型的實際應(yīng)用題,想到線性規(guī)劃問題,想到確定實際意義.
求目標(biāo)函數(shù)的最值問題的3步驟
(1)畫域,根據(jù)線性約束條件,畫出可行域;
(2)轉(zhuǎn)化,把所求目標(biāo)函數(shù)進行轉(zhuǎn)化,如截距型,即線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為斜截式;如斜率型,即根據(jù)兩點連線的斜率公式,轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點與某個定點連線的斜率;平方型,即根據(jù)兩點間距離公式,轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點與某個定點的距離;
(3)求值,結(jié)合圖形,利用函數(shù)的性質(zhì),確定最優(yōu)解,求得目標(biāo)函數(shù)的最值.
1.(2016全國卷Ⅰ)設(shè)集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},則A∩B=( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵x2-4x+3<0?(x-1)(x-3)<0?10?x>,∴B=,
∴A∩B==.故選D.
[答案] D
2.(2018北京卷)設(shè)集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},則( )
A.對任意實數(shù)a,(2,1)∈A
B.對任意實數(shù)a,(2,1)?A
C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時,(2,1)?A
D.當(dāng)且僅當(dāng)a≤時,(2,1)?A
[解析] 若(2,1)∈A,則有解得a>.結(jié)合四個選項,只有D說法正確.故選D.
[答案] D
3.(2018全國卷Ⅲ)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則( )
A.a(chǎn)+blog0.21=0,b=log20.3ab,
∴ab0有解,則m的取值范圍為( )
A.m>-4 B.m<-4
C.m>-5 D.m<-5
[解析] 記f(x)=x2+mx+4,要使不等式x2+mx+4>0在區(qū)間(1,2)上有解,需滿足f(1)>0或f(2)>0,即m+5>0或2m+8>0,解得m>-5.故選C.
[答案] C
2.(2018海淀模擬)當(dāng)00,ab>0,故-=>0,即>,故A項錯誤;由a0,故ab>b2,故B項錯誤;由a0,即a2>ab,故-ab>-a2,故C項錯誤;由a0,故--=<0,即-<-成立.故D項正確.
解法二(特殊值法):令a=-2,b=-1,則=->-1=,ab=2>1=b2,-ab=-2>-4=-a2,-=<1=-.故A,B,C項錯誤,D正確.
[答案] D
2.已知a∈R,不等式≥1的解集為p,且-2?p,則a的取值范圍為( )
A.(-3,+∞) B.(-3,2)
C.(-∞,2)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪[2,+∞)
[解析] ∵-2?p,∴<1或-2+a=0,解得a≥2或a<-3.
[答案] D
3.(2018大連一模)設(shè)函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
[解析] 由題意得,f(1)=3,所以f(x)>f(1)=3,即f(x)>3,
如果x<0,則x+6>3,可得-33,可得x>3或0≤x<1.
綜上,不等式的解集為(-3,1)∪(3,+∞).
故選A.
[答案] A
4.(2018長春第二次質(zhì)檢)若關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),則關(guān)于x的不等式>0的解集為( )
A.(-2,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0)∪(1,2)
C.(-∞,-2)∪(0,1) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
[解析] 關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),∴a<0,=-2,∴b=-2a,∴=.∵a<0,∴<0,解得x<0或10,≤a恒成立,則a的取值范圍是( )
A.a(chǎn)≥ B.a(chǎn)>
C.a(chǎn)< D.a(chǎn)≤
[解析] 因為對任意x>0,≤a恒成立,
所以對x∈(0,+∞),a≥max,
而對x∈(0,+∞),=≤=,
當(dāng)且僅當(dāng)x=時等號成立,∴a≥.
[答案] A
6.(2018江西師大附中摸底)若關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域,則其表示的區(qū)域面積為( )
A.或 B.或
C.1或 D.1或
[解析] 由不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域,得k=0或1,當(dāng)k=0時,表示區(qū)域的面積為;當(dāng)k=1時,表示區(qū)域的面積為,故選A.
[答案] A
7.(2018昆明質(zhì)檢)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=2x+5y的最小值為( )
A.-4 B.6
C.10 D.17
[解析] 解法一(圖解法):已知約束條件所表示的平面區(qū)域為下圖中的陰影部分(包含邊界),其中A(0,2),B(3,0),C(1,3).根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,可知當(dāng)直線y=-x+過點B(3,0)時,z取得最小值23+50=6.
解法二(界點定值法):由題意知,約束條件所表示的平面區(qū)域的頂點分別為A(0,2),B(3,0),C(1,3).將A,B,C三點的坐標(biāo)分別代入z=2x+5y,得z=10,6,17,故z的最小值為6.
[答案] B
8.(2018合肥一模)在關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含2個整數(shù),則a的取值范圍是( )
A.(-3,5) B.(-2,4)
C.[-3,5] D.[-2,4]
[解析] 關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化為(x-1)(x-a)<0.當(dāng)a=1時,不等式的解集為?;當(dāng)a>1時,不等式的解集為10,b>0,且2a+b=ab,則a+2b的最小值為( )
A.5+2 B.8
C.5 D.9
[解析] 解法一:∵a>0,b>0,且2a+b=ab,∴a=>0,解得b>2.
則a+2b=+2b=1++2(b-2)+4≥5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=3,a=3時等號成立,其最小值為9.
解法二:∵a>0,b>0,∴ab>0.
∵2a+b=ab,∴+=1,
∴(a+2b)=5++≥5+2
=5+4=9.
當(dāng)且僅當(dāng)=時,等號成立,又2a+b=ab,即a=3,b=3時等號成立,其最小值為9.
[答案] D
11.(2018湖南湘東五校聯(lián)考)已知實數(shù)x,y滿足且z=x+y的最大值為6,則(x+5)2+y2的最小值為( )
A.5 B.3
C. D.
[解析] 如圖,作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,
由z=x+y,得y=-x+z,平移直線y=-x,由圖可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點A時,直線y=-x+z在y軸上的截距最大,此時z最大,為6,即x+y=6.由得A(3,3),
∵直線y=k過點A,∴k=3.
(x+5)2+y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(x,y)與D(-5,0)的距離的平方,由可行域可知,[(x+5)2+y2]min等于D(-5,0)到直線x+2y=0的距離的平方.
則(x+5)2+y2的最小值為2=5.故選A.
[答案] A
12.(2018廣東清遠一中一模)若正數(shù)a,b滿足:+=1,則+的最小值為( )
A.16 B.9
C.6 D.1
[解析] ∵正數(shù)a,b滿足+=1,∴a+b=ab,=1->0,=1->0,∴b>1,a>1,則+≥2=2=6,∴+的最小值為6,故選C.
[答案] C
二、填空題
13.已知集合,則M∩N=________.
[解析] 不等式<0等價于(x-2)(x-3)<0,
解得2
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