《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、不等式 第一講 集合、常用邏輯用語學(xué)案 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、不等式 第一講 集合、常用邏輯用語學(xué)案 理.doc（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第一講 集合、常用邏輯用語
考點一 集合的概念及運算
1．集合的運算性質(zhì)及重要結(jié)論
(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A．
(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A．
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U.
(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A．
2．集合運算中的常用方法
(1)數(shù)軸法：若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸法求解．
(2)圖象法：若已知的集合是點集，用圖象法求解．
(3)Venn圖法：若已知的集合是抽象集合，用Venn圖法求解．
[對點訓(xùn)練]
1．(2018全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為( )
A．9 B．8
C．5 D．4
[解析] 由題意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A中共有9個元素，故選A．
[答案] A
2．(2018江西南昌二中第四次模擬)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，則(?UB)∩A＝( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0,3)
C．[0,3) D．(0,3)
[解析] 集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0
0}＝{x|x<1}，則?UB＝{x|x≥1}，陰影部分表示的集合為A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}．
[答案] B
4．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若A∪B＝A，則實數(shù)m的取值范圍是________．
[解析] 由A∪B＝A知B?A．因為A＝{x|－2≤x≤5}，①若B＝?，則m＋1>2m－1，即m<2，此時A∪B＝A；②若B≠?，則m＋1≤2m－1，即m≥2，由B?A得解得－3≤m≤3.又因為m≥2，所以2≤m≤3.由①②知，當m≤3時，A∪B＝A．
[答案] m≤3
[快速審題] (1)看到集合中的元素，想到代表元素的意義；看到點集，想到其對應(yīng)的幾何意義．
(2)看到數(shù)集中元素取值連續(xù)時，想到借助數(shù)軸求解交、并、補集等；看到M?N，想到集合M可能為空集．
解決集合問題的3個注意點
(1)集合含義要明確：構(gòu)成集合的元素及滿足的性質(zhì)．
(2)空集要重視：已知兩個集合的關(guān)系，求參數(shù)的取值，要注意對空集的討論．
(3)“端點”要取舍：要注意在利用兩個集合的子集關(guān)系確定不等式組時，端點值的取舍問題，一定要代入檢驗，否則可能產(chǎn)生增解或漏解現(xiàn)象．
考點二 充分與必要條件的判斷
充分、必要條件與充要條件的含義
若p、q中所涉及的問題與變量有關(guān)，p、q中相應(yīng)變量的取值集合分別記為A，B，那么有以下結(jié)論：
p與q的關(guān)系
集合關(guān)系
結(jié)論
p?q，qp
AB
p是q的充分不必要條件
pq，q?p
BA
p是q的必要不充分條件
p?q，q?p
A＝B
p是q的充要條件
pq，qp
AB，BA
p是q的既不充分也不必要條件
[對點訓(xùn)練]
1．(2018北京卷)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析] |a－3b|＝|3a＋b|?|a－3b|2＝|3a＋b|2?a2－6ab＋9b2＝9a2＋6ab＋b2?2a2＋3ab－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴ab＝0?a⊥b，故選C．
[答案] C
2．(2017天津卷)設(shè)θ∈R，則“<”是“sinθ<”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析] ∵3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________________．
[解析] p對應(yīng)的集合A＝{x|xm＋3}，q對應(yīng)的集合B＝{x|－40”及它的逆命題均為真命題
D．命題“若x2＋x＝0，則x＝0或x＝－1”的逆否命題為“若x≠0且x≠－1，則x2＋x≠0”
[解析] 對于選項A，命題“?x∈[0,1]，使x2－1≥0”的否定為“?x∈[0,1]，都有x2－1<0”，故A項錯誤；對于選項B，p為假命題，則綈p為真命題；q為真命題，則綈q為假命題，所以(綈p)∨(綈q)為真命題，故B項錯誤；對于選項C，原命題為真命題，若ab>0，則a與b的夾角可能為銳角或零角，所以原命題的逆命題為假命題，故C項錯誤；對于選項D，命題“若x2＋x＝0，則x＝0或x＝－1”的逆否命題為“若x≠0且x≠－1，則x2＋x≠0”，故選項D正確．因此選D．
[答案] D
2．(2018清華大學(xué)自主招生能力測試)“?x∈R，x2－πx≥0”的否定是( )
A．?x∈R，x2－πx<0 B．?x∈R，x2－πx≤0
C．?x0∈R，x－πx0≤0 D．?x0∈R，x－πx0<0
[解析] 全稱命題的否定是特稱命題，所以“?x∈R，x2－πx≥0”的否定是“?x0∈R，x－πx0<0”．故選D．
[答案] D
3．(2018湖南師大附中模擬)已知命題p：?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命題q：?x∈，sinx1，即2x>3x，所以命題p為假命題，從而綈p為真命題；因為當x∈時，x>sinx，所以命題q為真命題，所以(綈p)∧q為真命題，故選C．
[答案] C
4．(2018豫西南五校聯(lián)考)若“?x∈，m≤tanx＋2”為真命題，則實數(shù)m的最大值為________．
[解析] 由x∈可得－1≤tanx≤，∴1≤tanx＋2≤2＋，∵“?x∈，m≤tanx＋2”為真命題，∴實數(shù)m的最大值為1.
[答案] 1
[快速審題] (1)看到命題真假的判斷，想到利用反例和命題的等價性．
(2)看到命題形式的改寫，想到各種命題的結(jié)構(gòu)，尤其是特稱命題、全稱命題的否定，要改變的兩個地方．
(3)看到含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷，想到聯(lián)結(jié)詞的含義．
解決命題的判定問題應(yīng)注意的3點
(1)判斷四種命題真假有下面兩個途徑，一是先分別寫出四種命題，再分別判斷每個命題的真假；二是利用互為逆否命題是等價命題這一關(guān)系來判斷它的逆否命題的真假．
(2)要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立．要判定一個特稱(存在性)命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可．
(3)含有量詞的命題的否定，需從兩方面進行：一是改寫量詞或量詞符號；二是否定命題的結(jié)論，兩者缺一不可．
1．(2018全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝( )
A．{x|－12}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
[解析] 化簡A＝{x|x<－1或x>2}，∴?RA＝{x|－1≤x≤2}．故選B．
[答案] B
2．(2018全國卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，則A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
[解析] ∵A＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故選C
[答案] C
3．(2017全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 集合A表示單位圓上的所有的點，集合B表示直線y＝x上的所有的點．A∩B表示直線與圓的公共點，顯然，直線y＝x經(jīng)過圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)，故共有兩個公共點，即A∩B中元素的個數(shù)為2.
[答案] B
4．(2018天津卷)設(shè)x∈R，則“<”是“x3<1”的( )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[解析] 由<得－f(0)對任意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________．
[解析] 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的概念，只要找到一個定義域 為[0,2]的不單調(diào)函數(shù)，滿足在定義域內(nèi)有唯一的最小值點，且f(x)min＝f(0)即可，除所給答案外，還可以舉出f(x)＝等．
[答案] f(x)＝sinx，x∈[0,2](答案不唯一)
1.集合作為高考必考內(nèi)容，多年來命題較穩(wěn)定，多以選擇題形式在前3題的位置進行考查，難度較?。}的熱點依然會集中在集合的運算方面，常與簡單的一元二次不等式結(jié)合命題．
2．高考對常用邏輯用語考查的頻率較低，且命題點分散，其中含有量詞的命題的否定、充分必要條件的判斷需要關(guān)注，多結(jié)合函數(shù)、平面向量、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列等內(nèi)容命題。
熱點課題1 集合中的新定義問題
[感悟體驗]
1．(2018山西四校聯(lián)考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合M是“Ω集合”．給出下列4個集合：
①M＝；
②M＝；
③M＝{(x，y)|y＝cosx}；
④M＝{(x，y)|y＝lnx}．
其中是“Ω集合”的所有序號為( )
A．②③ B．③④
C．①②④ D．①③④
[解析] 對于①，若x1x2＋y1y2＝0，則x1x2＋＝0，即(x1x2)2＝－1，可知①錯誤；對于④，取(1,0)∈M，且存在(x2，y2)∈M，則x1x2＋y1y2＝1x2＋0y2＝x2>0，可知④錯誤．同理，可證得②和③都是正確的．故選A．
[答案] A
2．對于集合M，N，定義M－N＝{x|x∈M且x?N}，MN＝(M－N)∪(N－M)．設(shè)A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，則AB＝( )
A．
B．
C．∪[0，＋∞)
D．∪(0，＋∞)
[解析] 依題意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故AB＝∪[0，＋∞)．故選C．
[答案] C
專題跟蹤訓(xùn)練(七)
一、選擇題
1．(2018河北衡水中學(xué)、河南鄭州一中聯(lián)考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，則集合{2,7,8}是( )
A．A∪B B．A∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
[解析] 解法一：由題意可知?UA＝{1,2,6,7,8}，?UB＝{2,4,5,7,8}，∴(?UA)∩(?UB)＝{2,7,8}．由集合的運算性質(zhì)可知(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，即?U(A∪B)＝{2,7,8}，故選D．
解法二：畫出韋恩圖(如圖所示)，由圖可知?U(A∪B)＝{2,7,8}．故選D．
[答案] D
2．(2018湖北七市聯(lián)考)已知N是自然數(shù)集，設(shè)集合A＝，B＝{0,1,2,3,4}，則A∩B＝( )
A．{0,2} B．{0,1,2}
C．{2,3} D．{0,2,4}
[解析] ∵∈N，∴x＋1應(yīng)為6的正約數(shù)，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝3或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A∩B＝{0,1,2}．故選B．
[答案] B
3．(2018安徽安慶二模)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B?A，則實數(shù)a＝( )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．1或－1或2
[解析] 因為B?A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝A．
①若a2－a＋1＝3，則a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
當a＝－1時，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，滿足條件；
當a＝2時，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，滿足條件．
②若a2－a＋1＝a，則a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此時集合A＝{1,3,1}，不滿足集合中元素的互異性，所以a＝1應(yīng)舍去．
綜上，a＝－1或2.故選C．
[答案] C
4．(2018安徽皖南八校聯(lián)考)已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B的真子集個數(shù)為( )
A．1 B．3
C．5 D．7
[解析] 由得或
即A∩B＝{(0,0)，(4,4)}，
∴A∩B的真子集個數(shù)為22－1＝3.故選B．
[答案] B
5．(2018江西南昌模擬)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1,2]
C．[－2,1] D．[2，＋∞)
[解析] 集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，則B?A，所以有所以－2≤a≤1，故選C．
[答案] C
6．(2018湖北武昌一模)設(shè)A，B是兩個非空集合，定義集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，則A－B＝( )
A．{0,1} B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}
[解析] ∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|21，則a2>1”的否命題是“若a>1，則a2≤1”
B．“若am24x0成立
D．“若sinα≠，則α≠”是真命題
[解析] 對于選項A，“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a≤1，則a2≤1”，故選項A錯誤；對于選項B，“若am23x，故選項C錯誤；對于選項D，“若sinα≠，則α≠”的逆否命題為“若α＝，則sinα＝”，該逆否命題為真命題，所以原命題為真命題，故選D．
[答案] D
8．(2018山東日照聯(lián)考)“m<0”是“函數(shù)f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零點”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析] 當m<0時，由圖象的平移變換可知，函數(shù)f(x)必有零點；當函數(shù)f(x)有零點時，m≤0，所以“m<0”是“函數(shù)f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零點”的充分不必要條件，故選A．
[答案] A
9．(2018山西太原模擬)已知命題p：?x0∈R，x－x0＋1≥0；命題q：若a，則下列命題中為真命題的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
[解析] x2－x＋1＝2＋≥>0，所以?x0∈R，使x－x0＋1≥0成立，故p為真命題，綈p為假命題，又易知命題q為假命題，所以綈q為真命題，由復(fù)合命題真假判斷的真值表知p∧(綈q)為真命題，故選B．
[答案] B
10．(2018陜西西安二模)已知集合A＝，B＝{y|y＝x2}，則A∩B＝( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．{(－2,4)，(2,4)} D．[2，＋∞)
[解析] 由A＝，得A＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
由B＝{y|y＝x2}，知集合B表示函數(shù)y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)，
所以A∩B＝[2，＋∞)．故選D．
[答案] D
11．(2018山西太原期末聯(lián)考)已知a，b都是實數(shù)，那么“2a>2b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析] 充分性：若2a>2b，則2a－b>1，∴a－b>0，∴a>B．當a＝－1，b＝－2時，滿足2a>2b，但a22b不能得出a2>b2，因此充分性不成立．必要性：若a2>b2，則|a|>|b|.當a＝－2，b＝1時，滿足a2>b2，但2－2<21，即2a<2b，故必要性不成立．綜上，“2a>2b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件．故選D．
[答案] D
12．(2018江西南昌二模)給出下列命題：
①已知a，b∈R，“a>1且b>1”是“ab>1”的充分條件；
②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”是“|a＋b|>1”的必要不充分條件；
③已知a，b∈R，“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要條件；
④命題p：“?x0∈R，使e x0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定為綈p：“?x∈R，都有exx－1”．
其中正確命題的個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]?、僖阎猘，b∈R，“a>1且b>1”能夠推出“ab>1”，“ab>1”不能推出“a>1且b>1”，故①正確；
②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”不能推出“|a＋b|>1”，|a＋b|>1不能推出|a|>1且|b|>1，故②不正確；
③已知a，b∈R，當a2＋b2≥1時，a2＋b2＋2|a||b|≥1，則(|a|＋|b|)2≥1，則|a|＋|b|≥1，又a＝0.5，b＝0.5滿足|a|＋|b|≥1，但a2＋b2＝0.5<1，所以“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要條件，故③正確；
④命題p：“?x0∈R，使e x0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定為綈p：“?x∈R，都有exx－1”，故④不正確．
所以正確命題的個數(shù)為2.故選C．
[答案] C
二、填空題
13．(2018安徽“皖南八?！甭?lián)考)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，則A∩B＝________.
[解析] ∵A＝{x|x2－x－6≤0}＝[－2,3]，B＝＝[1，＋∞)∪(－∞，0)，∴A∩B＝[－2,0)∪[1,3]．
[答案] [－2,0)∪[1,3]
14．若條件p：|x＋1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[解析] 綈p是綈q的充分不必要條件等價于q是p的充分不必要條件，條件p：|x＋1|>2即x>1或x<－3.因為條件q：x>a，故a≥1.
[答案] a≥1
15．已知命題p：?x∈[2,4]，log2x－a≥0，命題q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命題“p∧綈q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[解析] 命題p：?x∈[2,4]，log2x－a≥0?a≤1.命題q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0?a≤－2或a≥1，由p∧綈q為真命題，得－20}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[解析] A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1，因為函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1圖象的對稱軸為直線x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根據(jù)對稱性可知若A∩B中恰有一個整數(shù)，則這個整數(shù)為2，所以有即
所以即≤a<.
[答案]
2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、不等式 第一講 集合、常用邏輯用語學(xué)案 理.doc
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