2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式章末復(fù)習(xí)學(xué)案 北師大版選修4-5.docx
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第二章 幾個(gè)重要的不等式 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.梳理本章的重點(diǎn)知識,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).2.進(jìn)一步理解柯西不等式、排序不等式和貝努利不等式,并能夠熟練應(yīng)用.3.理解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想,初步形成“歸納—猜想—證明”的思維模式. 1.柯西不等式 定理1:對任意實(shí)數(shù)a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.當(dāng)向量(a,b)與向量(c,d)共線時(shí),等號成立. 定理2:設(shè)a1,a2,…,an與b1,b2,…,bn是兩組實(shí)數(shù),則有(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.當(dāng)向量(a1,a2,…,an)與向量(b1,b2,…,bn)共線時(shí),等號成立.即==…=時(shí)(規(guī)定ai=0時(shí),bi=0)等號成立. 推論:設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3是兩組實(shí)數(shù),則有(a+a+a)(b+b+b)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2. 當(dāng)向量(a1,a2,a3)與向量(b1,b2,b3)共線時(shí)等號成立. 2.排序不等式 定理1:設(shè)a,b和c,d都是實(shí)數(shù),如果a≥b,c≥d,那么ac+bd≥ad+bc. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b(或c=d)時(shí)取“=”號. 定理2:(排序不等式)設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組 a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn, 則(順序和)a1b1+a2b2+…+anbn≥ (亂序和)≥ (逆序和)a1bn+a2bn-1+…+anb1. 其中j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任一排列方式,上式當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an(或b1=b2=…=bn)時(shí)取“=”號. 3.貝努利不等式 對任何實(shí)數(shù)x≥-1和任何正整數(shù)n,有(1+x)n≥1+nx. 4.?dāng)?shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法原理是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題. 步驟:(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n0=1或2等)時(shí)命題正確. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(k∈N+,k≥n0)命題正確,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也正確. 類型一 利用柯西不等式證明不等式 例1 已知a,b,c,d為不全相等的正數(shù),求證:+++>+++. 證明 由柯西不等式知, ≥2, 于是+++≥+++.① 等號成立?===?===?a=b=c=d. 又已知a,b,c,d不全相等,則①中等號不成立. 即+++>+++. 反思與感悟 利用柯西不等式證題的技巧 (1)柯西不等式的一般形式為(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,2,…,n),形式簡潔、美觀、對稱性強(qiáng),靈活地運(yùn)用柯西不等式,可以使一些較為困難的不等式的證明問題迎刃而解. (2)利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù),并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,運(yùn)用時(shí)要注意體會. 跟蹤訓(xùn)練1 設(shè)a,b,c為正數(shù)且a+b+c=1,求證:2+2+2≥. 證明 ∵左邊=(12+12+12) ≥2=2 =2≥(1+9)2=. 等號成立的條件均為a=b=c=, ∴原結(jié)論成立. 類型二 利用排序不等式證明不等式 例2 設(shè)A,B,C表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角弧度數(shù),a,b,c表示其對邊,求證:≥. 證明 不妨設(shè)a≤b≤c,于是A≤B≤C. 由排序不等式,得 aA+bB+cC=aA+bB+cC, aA+bB+cC≥bA+cB+aC, aA+bB+cC≥cA+aB+bC. 三式相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C) =π(a+b+c),得≥. 引申探究 若本例條件不變,求證:<. 證明 不妨設(shè)a≤b≤c,于是A≤B≤C. 由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b, 有0<A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b) =a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C) =a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C) =(a+b+c)π-2(aA+bB+cC). 得<. 反思與感悟 利用排序不等式證明不等式的策略 (1)在利用排序不等式證明不等式時(shí),首先考慮構(gòu)造出兩個(gè)合適的有序數(shù)組,并能根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合.這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇. (2)根據(jù)排序不等式的特點(diǎn),與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題,利用排序不等式解決往往很簡捷. 跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:++≥a10+b10+c10. 證明 由a,b,c的對稱性,不妨設(shè)a≥b≥c, 于是a12≥b12≥c12,≥≥. 由排序不等式,得 ++≥++=++.① 又因?yàn)閍11≥b11≥c11,≤≤, 再次由排序不等式,得 ++≤++.② 由①②得++≥a10+b10+c10. 等號成立的條件為a=b=c. 類型三 歸納—猜想—證明 例3 已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N+). (1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表達(dá)式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式. (1)解 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10, a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20, 猜想an= (2)證明?、佼?dāng)n=2時(shí),a2=522-2=5,公式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立,即ak=52k-2(k≥2,k∈N+), 當(dāng)n=k+1時(shí),由已知條件和假設(shè),有 ak+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+5+10+…+52k-2 =5+=52k-1. 故當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立. 由①②可知,對n≥2,n∈N+均有an=52n-2. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)an= 反思與感悟 利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路:觀察——?dú)w納——猜想——證明.即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn),進(jìn)行歸納,判斷并猜想出一般結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明. 跟蹤訓(xùn)練3 在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N+). (1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,并猜想an,bn的表達(dá)式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. (1)解 由條件可得2bn=an+an+1,a=bnbn+1, 則a2=2b1-a1=6,b2==9; a3=2b2-a2=12,b3==16; a4=2b3-a3=20,b4==25. 猜想an=n(n+1),bn=(n+1)2. (2)證明?、佼?dāng)n=1時(shí),由a1=2,b1=4知,結(jié)論正確. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)結(jié)論正確, 即ak=k(k+1),bk=(k+1)2. 則當(dāng)n=k+1時(shí), ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2), bk+1===(k+2)2. 即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確. 由①②知猜想的結(jié)論正確. 類型四 利用柯西不等式或排序不等式求最值 例4 (1)求實(shí)數(shù)x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2達(dá)到最小值. 解 由柯西不等式,得 (12+22+12)[(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2] ≥[1(y-1)+2(3-x-y)+1(2x+y-6)]2=1, 即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥, 當(dāng)且僅當(dāng)==, 即x=,y=時(shí),上式取等號.故x=,y=. (2)設(shè)a1,a2,a3,a4,a5是互不相等的正整數(shù),求M=a1++++的最小值. 解 設(shè)b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一個(gè)排列,且b1<b2<b3<b4<b5. 因此b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5. 又1≥≥≥≥. 由排序不等式,得 a1++++≥b1++++ ≥11+2+3+4+5=1++++=. 即M的最小值為. 反思與感悟 利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧 (1)有關(guān)不等式問題往往要涉及對式子或量的范圍的限定,其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理.在這類題目中,利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易. (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時(shí),要關(guān)注等號成立的條件,不能忽略. 跟蹤訓(xùn)練4 已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz,且不等式++≤λ恒成立,求λ的取值范圍. 解?。埽? = ≤=. 故λ的取值范圍是. 1.函數(shù)y=2+的最大值為( ) A.B.-C.-3D.3 答案 D 解析 y2=(+1)2 ≤[()2+12][()2+()2]=33=9. ∴y≤3,y的最大值為3. 2.設(shè)x,y,m,n>0,且+=1,則u=x+y的最小值是( ) A.(+)2 B. C. D.(m+n)2 答案 A 解析 根據(jù)柯西不等式,得x+y=(x+y)≥2=2, 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號成立, 這時(shí)u取最小值(+)2. 3.設(shè)a1,a2,…,an都是正數(shù),b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,P=ab+ab+…+ab,Q=a1+a2+…+an,則P與Q的大小關(guān)系是( ) A.P=Q B.P>Q C.P0, 可知a≥a≥…≥a,a≥a≥…≥a. 由排序不等式,得 ab+ab+…+ab≥aa+aa+aa, 即ab+ab+…+ab≥a1+a2+…+an. ∴P≥Q,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an>0時(shí)等號成立. 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+5n能被6整除”的過程中,當(dāng)n=k+1時(shí),對式子(k+1)3+5(k+1)應(yīng)變形為________________________. 答案 k3+5k+3k(k+1)+6 解析 (k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=k3+5k+3k2+3k+6 =k3+5k+3k(k+1)+6. 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+4+…+n2=(n∈N+),則當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上________________. 答案 (k2+1)+…+(k+1)2 解析 當(dāng)n=k+1時(shí),左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,所以增加了(k2+1)+…+(k+1)2. 1.對于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義,從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式,柯西不等式的一般形式也可以寫成向量形式. 2.參數(shù)配方法是由舊知識得到的新方法,注意體會此方法的數(shù)學(xué)思想. 3.對于排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義:兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大,反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小,注意等號成立的條件是其中一序列為常數(shù)序列. 4.?dāng)?shù)學(xué)歸納法是用來證明和正整數(shù)有關(guān)的命題的,要特別注意歸納奠基和歸納遞推是必不可少的兩個(gè)步驟. 一、選擇題 1.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,則a的最大值是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 ∵(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2, 即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2. ∴5-a2≥(3-a)2. 解得1≤a≤2. 驗(yàn)證:當(dāng)a=2時(shí),等號成立. 2.已知2x+3y+4z=10,則x2+y2+z2取到最小值時(shí)的x,y,z的值為( ) A.,, B.,, C.1,, D.1,, 答案 B 解析 由柯西不等式,得(22+32+42)(x2+y2+z2)≥(2x+3y+4z)2, 即x2+y2+z2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí),等號成立, 聯(lián)立 可得x=,y=,z=. 3.已知x,y∈R+,且xy=1,則的最小值為( ) A.4B.2C.1D. 答案 A 解析 = ≥2=2=22=4. 4.已知a,b,x1,x2∈R+,ab=1,x1+x2=2,則M=(ax1+bx2)(bx1+ax2)與4的大小關(guān)系是( ) A.M>4B.M<4 C.M≥4D.M≤4 答案 C 解析 M=(ax1+bx2)(bx1+ax2)=[()2+()2][()2+()2] ≥[(x1+x2)]2=(x1+x2)2=4. 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明對一切大于1的自然數(shù)n,不等式…>成立時(shí),當(dāng)n=2時(shí)驗(yàn)證的不等式是( ) A.1+> B.> C.≥ D.以上都不對 答案 A 解析 當(dāng)n=2時(shí),2n-1=3,2n+1=5,∴1+>. 6.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+>(n∈N+)成立,其初始值至少應(yīng)取( ) A.7B.8 C.9D.10 答案 B 解析 左邊=1+++…+==2-,代入驗(yàn)證可知n的最小值是8. 二、填空題 7.設(shè)f(n)=…,用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)≥3,在假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立后,f(k+1)與f(k)的關(guān)系是f(k+1)=f(k)________________. 答案 解析 f(k)=…, f(k+1)=…, ∴f(k+1)=f(k). 8.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2an+2,用數(shù)學(xué)歸納法證明an=42n-1-2的第二步中,設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即ak=42k-1-2,那么當(dāng)n=k+1時(shí),應(yīng)證明等式_________成立. 答案 ak+1=42(k+1)-1-2 9.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(4)=________;當(dāng)n>4時(shí),f(n)=________(用含n的式子表示). 答案 5 (n-2)(n+1) 解析 f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,f(6)=14,每增加一條直線,交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來直線的條數(shù). ∴f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,f(6)-f(5)=5,…,f(n)-f(n-1)=n-1. 累加,得f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1)=(n-3). ∴f(n)=(n-2)(n+1). 10.如圖,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,則陰影部分的矩形面積之和________空白部分的矩形面積之和. 答案 ≥ 解析 由題圖可知,陰影部分的面積等于a1b1+a2b2,而空白部分的面積等于a1b2+a2b1,根據(jù)順序和≥逆序和可知,答案為≥. 三、解答題 11.已知f(n)=(2n+7)3n+9(n∈N+),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被36整除. 證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),f(1)=(2+7)3+9=36,能被36整除. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí),f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除, 則當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=[2(k+1)+7]3k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9=(2k+7)3k3+23k+1+9=3[(2k+7)3k+9]-27+23k+1+9=3[(2k+7)3k+9]+18(3k-1-1). 由于3k-1-1是2的倍數(shù),故18(3k-1-1)能被36整除,即當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)也能被36整除. 根據(jù)(1)和(2)可知,對一切正整數(shù)n,都有f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除. 12.設(shè)x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1.求證:++…+≥. 證明 ∵(n+1) =(1+x1+1+x2+…+1+xn) ≥2=(x1+x2+…+xn)2=1, ∴++…+≥. 13.已知a,b,c為正數(shù),求證:≥abc. 證明 考慮到正數(shù)a,b,c的對稱性,不妨設(shè)a≥b≥c>0, 則≤≤,bc≤ca≤ab, 由排序不等式知,順序和≥亂序和, ∴++≥++, 即≥a+b+c. ∵a,b,c為正數(shù), ∴兩邊同乘以, 得≥abc. 四、探究與拓展 14.上一個(gè)n層的臺階,若每次可上一層或兩層,設(shè)所有不同上法的總數(shù)為f(n),則下列猜想正確的是( ) A.f(n)=n B.f(n)=f(n)+f(n-2) C.f(n)=f(n)f(n-2) D.f(n)= 答案 D 解析 當(dāng)n≥3時(shí),f(n)分兩類,第一類,從第n-1層再上一層,有f(n-1)種方法;第二類,從第n-2層再一次上兩層,有f(n-2)種方法,所以f(n)=f(n-1)+f(n-2),n≥3. 15.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),g(n)=2(-1)(n∈N+). (1)當(dāng)n=1,2,3時(shí),分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結(jié)論); (2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解 (1)f(1)>g(1),f(2)>g(2),f(3)>g(3). (2)當(dāng)n=1時(shí),f(1)>g(1); 當(dāng)n=2時(shí),f(2)>g(2); 當(dāng)n=3時(shí),f(3)>g(3). 猜想:f(n)>g(n)(n∈N+),即1+++…+>2(-1)(n∈N+). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. ①當(dāng)n=1時(shí),f(1)=1,g(1)=2(-1),f(1)>g(1), 不等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),不等式成立,即1+++…+>2(-1). 則當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=1+++…++>2(-1)+=2+-2, g(k+1)=2(-1)=2-2, 所以只需證明2+>2, 即證2(k+1)+1=2k+3>2, 即證(2k+3)2>4(k+2)(k+1), 即證4k2+12k+9>4k2+12k+8, 此式顯然成立. 所以,當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立. 綜上①②可知,對n∈N+,不等式都成立, 即1+++…+>2(-1)(n∈N+)成立.
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