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專題5.1 功 功率 考點精講 一、　功 1．做功的兩個必要條件 力和物體在力的方向上發(fā)生的位移． 2．公式 W＝Flcos α，適用于恒力做功，其中α為F、l方向間夾角，l為物體對地的位移． 3．功的正負判斷 夾角 功的正負 α<90 力對物體做正功 α>90 力對物體做負功，或者說物體克服這個力做了功 α＝90 力對物體不做功 二、　功率 1．定義 功與完成這些功所用時間的比值． 2．物理意義 描述做功的快慢． 3．公式 (1)P＝，P為時間t內的平均功率． (2)P＝Fvcos α(α為F與v的夾角) ①v為平均速度，則P為平均功率． ②v為瞬時速度，則P為瞬時功率． 4．額定功率與實際功率 (1)額定功率：動力機械正常工作時輸出的最大功率． (2)實際功率：動力機械實際工作時輸出的功率，要求小于或等于額定功率． 5．平均功率的計算 (1)利用＝. (2)利用＝Fcos α，其中為物體運動的平均速度． 6．瞬時功率的計算 (1)利用公式P＝Fvcos α，其中v為t時刻的瞬時速度． (2)利用公式P＝FvF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度． (3)利用公式P＝Fvv，其中Fv為物體受的外力F在速度v方向上的分力． 考點精練 題組1 功 1．運動員用200 N的力把質量為0.5 kg的球踢出10 m，則運動員對球所做的功是(　　) A．200 J　　　　　　　B．2 000 J C．100 J D．無法確定 【答案】D 2．以一定的初速度豎直向上拋出一個小球，小球上升的最大高度為h，空氣阻力的大小恒為F，則從拋出到落回到拋出點的過程中，空氣阻力對小球做的功為(　　) A．0　　　　　　　 B．－Fh C． Fh D．－2Fh 【答案】D　 【解析】 阻力與小球速度方向始終相反，故阻力一直做負功，W＝－Fh＋(－Fh)＝－2Fh，D正確． 3．如圖所示，物體在水平桌面上，當對它施加圖A的拉力F，使它由靜止發(fā)生位移x，當對它施加圖B的推力F，使它由靜止發(fā)生位移x，F與水平方向夾角均為α，則關于做功的下述說法中正確的是(　　) A．圖B中F做功多 B．圖A、B中F做功相同 C．圖B中克服摩擦力做功多 D．圖A、B中克服摩擦力做功相同 【答案】BC 【解析】力F做功WF＝Fxcos α，兩圖中F做功相同，A錯、B對；由于摩擦力fA＝μ(mg－Fsin α)，fB＝μ(mg＋Fsin α)，所以克服摩擦力做功WA＝fAs＝μ(mg－Fsin α)x，WB＝fBs＝μ(mg＋Fsin α)x，C對、D錯。 4．如圖所示，一個物塊在與水平方向成α角的恒力F作用下，沿水平面向右運動一段距離x，在此過程中，恒力F對物塊所做的功為(　　) A.　　　　　　　 B. C．Fxsin α D．Fxcos α 【答案】D　 【解析】由于力F與位移x的夾角為α，所以力F做的功為W＝Fxcos α，故D正確． 5．如圖所示，水平路面上有一輛質量為M的汽車，車廂中有一個質量為m的人正用恒力F向前推車廂，在車以加速度a向前加速行駛距離L的過程中，下列說法正確的是(　　) A．人對車的推力F做的功為FL B．人對車做的功為maL C．車對人的作用力大小為ma D．車對人的摩擦力做的功為(F＋ma)L 【答案】AD 題組2 正功與負功 1．一個力對物體做了負功，則說明(　　) A．這個力一定阻礙物體的運動 B．這個力不一定阻礙物體的運動 C．這個力與物體運動方向的夾角α>90 D．這個力與物體運動方向的夾角α<90 【答案】AC 【解析】由功的表達式W＝Fxcos α知，只有當α>90時，cos α<0，力對物體做負功，此力阻礙物體的運動，故A、C對。 2．一個人乘電梯從1樓到20樓，在此過程中經歷了先加速，后勻速，再減速的運動過程，則電梯支持力對人做功的情況是(　　) A．加速時做正功，勻速時不做功，減速時做負功 B．加速時做正功，勻速和減速時做負功 C．加速和勻速時做正功，減速時做負功 D．始終做正功 【答案】D 3．運動員在110米欄比賽中，主要有起跑加速、途中勻速跨欄和加速沖刺三個階段，運動員的腳與地面間不會發(fā)生相對滑動，以下說法正確的是(　　) A．加速階段地面對運動員的摩擦力做正功 B．勻速階段地面對運動員的摩擦力做負功 C．由于運動員的腳與地面間不發(fā)生相對滑動，所以不論加速還是勻速，地面對運動員的摩擦力始終不對運動員做功 D．無論加速還是勻速階段，地面對運動員的摩擦力始終做負功 【答案】C　 【解析】因運動員的腳與地面間不發(fā)生相對滑動，故地面對運動員的靜摩擦力對運動員不做功，A、B、D均錯誤，C正確． 4．放在粗糙水平面上的物體受到水平拉力的作用，在0～6 s內其速度與時間圖象和該拉力的功率與時間圖象分別如圖所示，下列說法正確的是(　　) A．0～6 s內物體位移大小為36 m B．0～6 s內拉力做的功為30 J C．合外力在0～6 s內做的功與0～2 s內做的功相等 D．滑動摩擦力大小為5 N 【答案】C　 題組3 功率 1．如圖所示，通過一動滑輪提升質量m＝1 kg的物體，豎直向上拉繩子，使物體由靜止開始以5 m/s2的加速度上升，不計動滑輪及繩子的質量和摩擦，則拉力F在1 s末的瞬時功率為(取g＝10 m/s2)(　　) A．75 W B．25 W C．12.5 W D．37.5 W 【答案】A 【解析】由牛頓第二定律得2F－mg＝ma，得F＝7.5 N。1 s末物體的速度為v1＝at＝5 m/s，力F作用點的速度v2＝2v1＝10 m/s，則拉力F在1 s末的瞬時功率為P＝Fv2＝75 W．故A正確。 2.如圖所示，質量相同的兩物體從同一高度由靜止開始運動，A沿著固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落體運動．兩物體分別到達地面時，下列說法正確的是(　　) A．重力的平均功率PA＞PB B．重力的平均功率PA＝PB C．重力的瞬時功率PA＝PB D．重力的瞬時功率PA＜PB 【答案】D. 【解析】B做自由落體運動，運動時間tB＝ .A做勻加速直線運動，a＝gsin θ，根據＝gsin θt得，tA＝，可知tA＞tB.重力做功相等，根據P＝知，PA＜PB，A、B錯誤．根據動能定理，mgh＝mv2得，兩物體到達地面時的速度大小均為v＝.A物體重力的瞬時功率PA＝mgvsin θ，B物體重力的瞬時功率PB＝mgv.則PA＜PB.C錯誤，D正確． 3．(多選)一質量為1 kg的質點靜止于光滑水平面上，從t＝0時刻開始，受到水平外力F作用，如圖所示．下列判斷正確的是(　　) A．0～2 s內外力的平均功率是4 W B．第2 s內外力所做的功是4 J C．第2 s末外力的瞬時功率最大 D．第1 s末與第2 s末外力的瞬時功率之比為9∶4 【答案】AD　 【解析】第1 s末質點的速度 v1＝t1＝1 m/s＝3 m/s. 第2 s末質點的速度 v2＝v1＋t2＝(3＋1)m/s＝4 m/s. 則第2 s內外力做功 W2＝mv－mv＝3.5 J 0～2 s內外力的平均功率 P＝＝W＝4 W. 選項A正確，選項B錯誤； 第1 s末外力的瞬時功率P1＝F1v1＝33 W＝9 W， 第2 s末外力的瞬時功率P2＝F2v2＝14 W＝4 W，故P1∶P2＝9∶4，選項C錯誤，選項D正確． 4．如圖所示，位于水平面上的物體在水平恒力F1作用下，做速度為v1的勻速運動；若作用力變?yōu)樾毕蛏系暮懔2，物體做速度為v2的勻速運動，且F1與F2功率相同。則可能有(　　) A．F2＝F1　v1>v2 B．F2＝F1　v1F1　v1>v2 D．F2F1時，有v1>v2、v1 v2 B．v1< v2 C．F1> F2 D．F1< F2 【答案】AD　 9．質量為m的汽車，啟動后沿平直路面行駛，如果發(fā)動機的功率恒為P，且行駛過程中受到的摩擦阻力大小一定，汽車速度能夠達到的最大值為v，那么當汽車的車速為時，汽車的瞬時加速度的大小為(　　) A. B. C. D. 【答案】B　 【解析】當汽車勻速行駛時，有f＝F＝，根據P＝F′，得F′＝，由牛頓第二定律得a＝＝＝，故B正確，A、C、D錯誤． 10.質量為2 kg的物體放在水平面上，物體與水平面之間的動摩擦因數μ＝0.1，在水平拉力F的作用下，物體由靜止開始運動，拉力做的功W和物體發(fā)生的位移x之間的關系如圖所示，g＝10 m/s2.下列說法中正確的是(　　) A．此物體在OA段做勻加速直線運動，且整個過程中拉力的最大功率為15 W B．此物體在AB段做勻速直線運動，且整個過程中拉力的最大功率為4 W C．此物體在AB段做勻加速直線運動，且整個過程中拉力的最大功率為15 W D．此物體在OA段做勻速直線運動，且整個過程中拉力的最大功率為15 W 【答案】A. 11. 某汽車發(fā)動機的額定功率為60 kW，汽車質量為5 t，汽車在運動中所受阻力的大小恒為車重的0.1倍．(g取10 m/s2) (1)若汽車以額定功率啟動，則汽車所能達到的最大速度是多少？當汽車速度達到5 m/s時，其加速度是多少？ (2)若汽車以恒定加速度0.5 m/s2啟動，則其勻加速過程能維持多長時間？ 【答案】(1)12 m/s　1.4 m/s2　(2)16 s 【解析】(1)當汽車的加速度為零時，汽車的速度v達到最大值vm，此時牽引力與阻力相等，故最大速度為 vm＝＝＝ m/s＝12 m/s v＝5 m/s時的牽引力 F1＝＝ N＝1.2104 N， 由F1－Ff＝ma得：a＝ ＝ m/s2＝1.4 m/s2. (2)當汽車以a′＝0.5 m/s2的加速度啟動時的牽引力 F2＝ma′＋Ff＝(5 0000.5＋0.1510310) N ＝7 500 N 勻加速運動能達到的最大速度為 v′m＝＝ m/s＝8 m/s 由于此過程中汽車做勻加速直線運動，滿足v′m＝a′t 故勻加速過程能維持的時間t＝＝ s＝16 s. 方法突破 方法1 判定力做功情況的方法 詮釋：　判斷力做功正負的三種方法 (1)恒力做功的判斷：若物體做直線運動，則依據力與位移的夾角來判斷． (2)曲線運動中功的判斷：若物體做曲線運動，則依據F與v的方向夾角來判斷．當0≤α＜90時，力對物體做正功；當90＜α≤180時，力對物體做負功；當α＝90時，力對物體不做功． (3)依據能量變化來判斷：根據功是能量轉化的量度，若有能量轉化，則必有力對物體做功．此法常用于判斷兩個相聯系的物體之間的相互作用力做功的情況． 題組4 判定力做功情況的方法 1．如圖所示為生活中磨刀的示意圖，磨刀石靜止不動，刀在手的推動下從右勻速運動到左，發(fā)生位移x，設刀與磨刀石之間的摩擦力大小為Ff，則下列敘述中正確的是(　　) A．摩擦力對刀做負功，大小為Ffx B．摩擦力對刀做正功，大小為Ffx C．摩擦力對磨刀石做正功，大小為Ffx D．摩擦力對磨刀石不做功 【答案】AD 【解析】刀所受摩擦力向右，刀對地的位移向左，故摩擦力對刀做負功，為－Ffx；磨刀石受摩擦力向左，但磨刀石對地位移為零，故摩擦力對磨刀石不做功。 2．(多選)如圖所示，質量為m的物體置于傾角為θ的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做勻加速運動，運動中物體m與斜面體相對靜止．則關于斜面對m的支持力和摩擦力的下列說法中正確的是(　　) A．支持力一定做正功 B．摩擦力一定做正功 C．摩擦力可能不做功 D．摩擦力可能做負功 【答案】ACD　 3．如圖所示，木塊M上表面是水平的，當木塊m置于M上，并與M一起沿固定的光滑斜面由靜止開始下滑，在下滑過程中(　　) A．重力對m做正功 B．M對m的支持力對m做負功 C．M對m的摩擦力對m做負功 D．m所受的合外力對m做負功 【答案】AB 【解析】對m受力分析，位移分析如圖所示． 其中重力與位移夾角為銳角，故做正功，A對。支持力與位移夾角為鈍角做負功，B對．摩擦力與位移夾角為銳角，做正功，C錯。m所受合力沿斜面向下，故合力做正功，D錯。 4．如圖所示，小物塊位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，從地面上看，在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對小物塊的作用力(　　) A．垂直于接觸面，做功為0 B．垂直于接觸面，做功不為0 C．不垂直于接觸面，做功為0 D．不垂直于接觸面，做功不為0 【答案】B 【解析】當滑塊從頂端滑至底端時，由于接觸面光滑，斜面將向右移動一段距離，如圖所示． 重力對滑塊做正功，盡管斜面對滑塊的支持力垂直于斜面，但滑塊的位移方向與斜面不平行，即支持力FN與位移的夾角大于。所以斜面對滑塊的支持力對滑塊做負功．很容易分析，滑塊對斜面的壓力對斜面做正功．B正確。 5.一輛正沿平直路面行駛的車廂內，一個面向車前進方向站立的人對車廂壁施加水平推力F，在車前進s的過程中，下列說法正確的是(　　) A．當車勻速前進時，人對車做的總功為正功 B．當車加速前進時，人對車做的總功為負功 C．當車減速前進時，人對車做的總功為負功 D．不管車如何運動，人對車做的總功都為零 【答案】B. 方法2求解變力做功的方法 詮釋：常用求變力功的方法：（1）（2）微元法（3）等效法（4）圖像法（5）（6）動能定理（7）功能關系 （8）W=Pt 題組5 求解變力做功的方法 1．以某一初速度豎直向上拋出一個質量為m的小球，上升的最大高度是h.如果空氣阻力F阻的大小恒定，則從拋出到落回出發(fā)點的整個過程中，空氣阻力對小球做的功為(　　) A．0 B．－F阻h C．－2mgh D．－2F阻h 【答案】D 【解析】整個過程中阻力是變力，分段求功，上升階段阻力做的功W1＝－F阻h，下降階段阻力做的功W2＝－F阻h，總功為W＝W1＋W2＝－2F阻h，D正確。 2．用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設木板對釘子的阻力與釘進木板的深度成正比，已知鐵錘第一次將釘子釘進d，如果鐵錘第二次敲釘子時對釘子做的功與第一次相同，那么，第二次釘子進入木板的深度是(　　) A．(－1) d B．(－1)d C.d D.d 【答案】B 3．（微元法）如圖所示，某個力F＝10 N作用在半徑為R＝1 m的轉盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向保持在任何時刻均與作用點的切線一致，則轉動一周這個力F做的總功為(　　) A．0 B．20π J C．10 J D．10π J 【答案】B 【解析】本題中力F的大小不變，但方向時刻都在變化，屬于變力做功問題，可以考慮把圓周分割為很多的小段來研究．當各小段的弧長足夠小時，可以認為力的方向與弧長代表的位移方向一致，故所求的總功為W＝FΔs1＋FΔs2＋FΔs3＋…＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝F2πR＝20π J，選項B正確。 4．(多選)如圖所示，擺球質量為m，懸線長為L，把懸線拉到水平位置后放手．設在擺球運動過程中空氣阻力F阻的大小不變，則下列說法正確的是(　　) A．重力做功為mgL B．懸線的拉力做功為0 C．空氣阻力F阻做功為－mgL D．空氣阻力F阻做功為－F阻πL 【答案】ABD 5. （圖像法） 某物體同時受到兩個在同一直線上的力F1、F2的作用，由靜止開始做直線運動，力F1、F2與位移x的關系圖象如圖所示，在物體開始運動的4.0 m內，物體具有最大動能時對應的位移是(　　) A．2.0 m B．1.0 m 　 C．3.0 m D．4.0 m 【答案】A 【解析】由圖知x＝2.0 m時，F合＝0，此前F合做正功而此后F合做負功，故x＝2.0 m時動能最大。 6．有一種太陽能驅動的小車，當太陽光照射到小車上方的光電板時，光電板中產生的電流經電動機帶動小車前進．若質量為m的小車在平直的水泥路上從靜止開始沿直線加速行駛，經過時間t前進的距離為x，且速度達到最大值vm.設這一過程中電動機的功率恒為P，小車所受阻力恒為f，那么這段時間內(　　) A．小車做勻加速運動 B．小車受到的牽引力逐漸增大 C．小車受到的合外力所做的功為Pt D．小車受到的牽引力做的功為fx＋mv 【答案】D　 【解析】小車在運動方向上受牽引力F和阻力f，因為v增大，P不變，由P＝Fv，F－f＝ma，得出F逐漸減小，a也逐漸減小，當v＝vm時，a＝0，故A、B均錯；合外力做的功W外＝Pt－fx，由動能定理得Pt－fx＝mv，故C錯誤，D正確． 方法3分析、處理動力機車兩種啟動模型的方法 詮釋：兩種啟動方式比較 兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動 P－t圖 和v－t圖 OA 段 過程分析 v↑?F＝↓ ?a＝↓ a＝不變 ?F不變P＝Fv↑ 直到P額＝Fv1 運動性質 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，維持時間t0＝ AB 段 過程分析 F＝F阻?a＝0 ?F阻＝ v↑?F＝↓ ?a＝↓ 運動性質 以vm做勻速直線運動 加速度減 小的加速運動 BC段 無 F＝F阻?a＝0 ?以vm＝做勻速直線運動 2.三個重要關系式 (1)無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝＝(式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力F阻)． (2)機車以恒定加速度啟動的運動過程中，勻加速過程結束時，功率最大，速度不是最大，即v＝v1的情況，故不作分析．在t1時刻，發(fā)動機的功率突然由P1增大到P2，而瞬時速度未來得及變化，則由P＝Fv知牽引力突然增大，則汽車立即開始做加速運動有：－f＝ma2，同樣，a2隨v的增大而減小，直到a2＝0時開始勻速運動，故A正確、C錯誤． 4．一輛小汽車在水平路面上由靜止啟動，在前5 s內做勻加速直線運動，5 s末達到額定功率，之后保持額定功率運動，其v－t圖像如圖所示，已知汽車的質量為m＝2103 kg，汽車受到地面的阻力為車重的0.1倍，g取10 m/s2，則(　　) A．汽車在前5 s內的牽引力為4103 N B．汽車在前5 s內的牽引力為6103 N C．汽車的額定功率為60 kW D．汽車的最大速度為30 m/s 【答案】BCD 5．水平面上一質量為m的物體，在水平力F作用下開始加速運動，如圖甲所示，力F的功率P保持恒定，運動過程所受的阻力f大小不變，物體速度最終達到穩(wěn)定值vm，F作用過程中物體的速度v的倒數與加速度a的關系圖象如圖乙所示，僅在已知功率P的情況下，根據圖象所給的信息(　　) A．可求出m、f、vm B．不能求出m C．不能求出f D．可求出加速運動時間 【答案】A 【解析】.當加速度為零時，物體做勻速運動，此時牽引力等于阻力，速度為最大值；由功率的計算公式可得P＝Fv，而F－f＝ma，聯立可得＝a＋，由題圖乙可得圖線的斜率為，縱截距為＝，因此可求出m、f和vm，選項A正確，B、C錯誤；物體做變加速運動，加速運動的時間不可求，選項D錯誤． 6．質量為1.0103 kg的汽車，沿傾角為30的斜坡由靜止開始運動，汽車在運動過程中所受摩擦阻力大小恒為2 000 N，汽車發(fā)動機的額定輸出功率為5.6104 W，開始時以a＝1 m/s2的加速度做勻加速運動(g取10 m/s2)．求： (1)汽車做勻加速運動的時間t1； (2)汽車所能達到的最大速率； (3)若斜坡長143.5 m，且認為汽車到達坡頂之前，已達到最大速率，則汽車從坡底到坡頂需多長時間？ 【答案】　(1)7 s　(2)8 m/s　(3)22 s 【解析】　(1)由牛頓第二定律得 F－mgsin 30－Ff＝ma 設勻加速過程的末速度為v，則有P＝Fv v＝at1 解得t1＝7 s. (2)當達到最大速度vm時，a＝0，則有 P＝(mgsin 30＋Ff)vm. 解得vm＝8 m/s. (3)汽車勻加速運動的位移x1＝at，在后一階段對汽車由動能定理得 Pt2－(mgsin 30＋Ff)x2＝mv－mv2 又有x＝x1＋x2 解得t2＝15 s 故汽車運動的總時間為t＝t1＋t2＝22 s. 7．某汽車集團公司研制了一輛燃油與電動混合動力賽車，燃油發(fā)動機單獨工作時的額定功率為P，蓄電池供電的電力發(fā)動機單獨工作時的額定功率為，已知賽車運動過程中受到的阻力恒定． (1)若燃油發(fā)動機單獨工作時的最大速度為120 km/h，則兩臺發(fā)動機同時工作時的最大速度為多少？ (2)若賽車先單獨啟動電力發(fā)動機從靜止開始做勻加速直線運動，經過t1時間達到額定功率，然后以燃油發(fā)動機的額定功率單獨啟動繼續(xù)加速，又經過t2時間達到最大速度v0，賽車總質量為m，求賽車的整個加速距離． (2)燃油發(fā)動機的額定功率為P，最大速度為v0， 阻力f＝ 勻加速過程功率隨時間均勻增加，發(fā)動機的平均功率為，設總路程為s，由動能定理有 t1＋Pt2－fs＝mv 解得s＝.