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大題精做二 物體的靜態(tài)與動態(tài)平衡問題 1．【2019浙江省模擬】如圖所示，在地面上豎直固定了刻度尺和輕質彈簧，彈簧原長時上端與刻度尺上的A點等高。質量m=0.5kg的籃球靜止在彈簧正上方，其底端距A點高度h1=1.10m?；@球靜止釋放，測得第一次撞擊彈簧時，彈簧的最大形變量x1=0.15m，第一次反彈至最高點，籃球底端距A點的高度h2=0.873m，籃球多次反彈后靜止在彈簧的上端，此時彈簧的形變量x2=0.01m，彈性勢能為Ep=0.025J。若籃球運動時受到的空氣阻力大小恒定，忽略籃球與彈簧碰撞時的能量損失和籃球的形變，彈簧形變在彈性限度范圍內。求： （1）彈簧的勁度系數(shù)； （2）籃球在運動過程中受到的空氣阻力； （3）籃球在整個運動過程中通過的路程； （4）籃球在整個運動過程中速度最大的位置。 【解析】（1）球靜止在彈簧上，根據(jù)共點力平衡條件可得mg-kx2=0； （2）球從開始運動到第一次上升到最高點，動能定理mg(h1-h2)-f(h1+h2+2x1)=0， 解得f=0.5N； （3）球在整個運動過程中總路程s：mg(h1+x2)=fs+Ep，解得s=11.05m； （4）球在首次下落過程中，合力為零處速度最大，速度最大時彈簧形變量為x3； 則mg-f-kx3=0； 在A點下方，離A點x3=0.009m 1．【2018年全國模擬】一熱氣球體積為V，內部充有溫度為Ta的熱空氣，氣球外冷空氣的溫度為Tb.已知空氣在1個大氣壓、溫度為T0時的密度為ρ0，該氣球內、外的氣壓始終都為1個大氣壓，重力加速度大小為g． （1）求該熱氣球所受浮力的大??； （2）求該熱氣球內空氣所受的重力； （3）設充氣前熱氣球的質量為m0，求充氣后它還能托起的最大質量． 【解析】（i）設1個大氣壓下質量為m的空氣在溫度T0時的體積為V0，密度為 ρ0=mV0① 溫度為T時的體積為VT，密度為：ρ(T)=mVT② 由蓋-呂薩克定律可得：V0T0=VTT③ 聯(lián)立①②③解得：ρ(T)=ρ0T0T④ 氣球所受的浮力為：f=ρ(Tb)gV⑤ 聯(lián)立④⑤解得：f=ρ0gVT0Tb⑥ (ⅱ)氣球內熱空氣所受的重力：G=ρ(Ta)Vg⑦ 聯(lián)立④⑦解得：G=Vgρ0T0Ta⑧ (ⅲ)設該氣球還能托起的最大質量為m，由力的平衡條件可知：mg=f–G–m0g⑨ 聯(lián)立⑥⑧⑨可得：m=ρ0VT0Tb-ρ0VT0Ta-m0 2．【2018年浙江省模擬】如圖所示，在豎直方向上，A、B兩物體通過勁度系數(shù)為k＝16 N/m的輕質彈簧相連，A放在水平地面上，B、C兩物體通過細線繞過輕質定滑輪相連，C放在傾角α＝30的固定光滑斜面上。用手拿住C，使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證ab段的細線豎直、cd段的細線與斜面平行。已知A、B的質量均為m＝0.2 kg，重力加速度取g＝10 m/s2，細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)。釋放C后它沿斜面下滑，A剛離開地面時，B獲得最大速度，求： (1)從釋放C到物體A剛離開地面時，物體C沿斜面下滑的距離； (2)物體C的質量； (3)釋放C到A剛離開地面的過程中細線的拉力對物體C做的功。 【解析】（1）設開始時彈簧的壓縮量為xB，得：kxB=mg 設物體A剛離開地面時，彈簧的伸長量為xA，得：kxA=mg 當物體A剛離開地面時，物體C沿斜面下滑的距離為：h=xA+xB 由①②③解得：h=2mgk =0.25m （2）物體A剛離開地面時，物體B獲得最大速度vm，加速度為零，設C的質量為M，對B有：T-mg-kxA=0 對C有：Mgsinα-T=0 聯(lián)立可得：Mgsinα-2mg=0 解得：M=4m=0.8kg． （3）由于xA=xB，物體B開始運動到速度最大的過程中，彈簧彈力做功為零，且B、C兩物體速度大小相等，由能量守恒有： Mghsinα-mgh=12（m+M）vm2； 解得：vm=1m/s 對C由動能定理可得：Mghsinα+WT=12Mvm2 解得：WT=-0.6J． 3．【2018湖北省模擬】如圖所示，一本質量分布均勻的大字典置于水平桌面上，字典總質量M=1.5kg，寬L=16cm，高H=6cm．一張白紙（質量和厚度均可忽略不計，頁面大于字典頁面）夾在字典最深處，白紙離桌面的高度h=2cm．假設字典中同一頁紙上的壓力分布均勻，白紙上、下表面與字典書頁之間的動摩擦因數(shù)均為μ1，字典與桌面之間的動摩擦因數(shù)為μ2，且各接觸面的最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 （1）水平向右拉動白紙，要使字典能被拖動，求μ1與μ2滿足的關系； （2）若μ1=0.25，μ2=0.4，求將白紙從字典中水平向右抽出拉力至少做的功W。 【解析】（1）白紙上字典的質量為，那么，白紙上下表面受到的正壓力都為， 故白紙受到的最大靜摩擦力； 桌面對字典的最大靜摩擦力f2=μ2Mg，所以，水平向右拉動白紙，要使字典能被拖動，那么， f1＞f2，； （2）若μ1=0.25，μ2=0.4，那么，將白紙從字典中水平向右抽出時字典保持靜止； 白紙向右運動過程只有拉力和摩擦力做功，故由動能定理可知：將白紙從字典中水平向右抽出拉力至少做的功W等于克服摩擦力做的功； 當白紙向右運動x（0＜x＜0.16m）時，白紙上下表面受到的正壓力都為，故摩擦力 故由f和x呈線性關系可得：克服摩擦力做的功 故將白紙從字典中水平向右抽出拉力至少做的功W為0.4J. 4．【2019北京市模擬】如圖所示，光滑的直角細桿AOB固定在豎直平面內，OA桿水平，OB桿豎直．有兩個質量相等均為0.3 kg的小球a與b分別穿在OA、OB桿上，兩球用一輕繩連接，輕繩長L＝25 cm.兩球在水平拉力F作用下目前處于靜止狀態(tài)，繩與OB桿的夾角θ＝53(sin53＝0.8，cos53＝0.6)，(g＝10 m/s2)．求： （1）此時細繩對小球b的拉力大小，水平拉力F的大??； （2）現(xiàn)突然撤去拉力F，兩球從靜止開始運動，設OB桿足夠長，運動過程中細繩始終繃緊，則當θ＝37時，小球b的速度大?。? 【解析】（1）以小球b為研究對象，設繩子拉力為FT，由小球b受力平衡得 對小球a和小球b整體考慮，拉力F等于OB桿對b球的彈力 所以 （2）對小球a和b整體用機械能守恒定律，有 同時，小球a和b的速度滿足 兩式聯(lián)立，解得 5．【2018河南省模擬】如圖所示，一輕質彈簧小端固定在水平地面上，上端與物體A連接，物體A又與一跨過定滑輪的輕繩相連，繩另一端懸掛著物體B和C，A、B、C均處于靜止狀態(tài)．現(xiàn)剪斷B和C之間的繩子，則A和B將做簡諧運動．已知物體A質量為3kg，B和C質量均為2kg，彈簧勁度系數(shù)為k=100N/m.（g取10 m/s2）試求： （1）剪斷B和C間繩子之前，A、B、C均處于靜止狀態(tài)時，彈簧的形變量x1； （2）剪斷B和C間繩之后，物體A振動過程中的最大速度vm及此時彈簧的形變量x2； （3）振動過程中，繩對物體B的最大拉力Fmax和最小拉力Fmin． 【解析】（1）剪斷B和C間繩子之前，A，B，C均處于靜止狀態(tài)時，設繩子拉力為F， 對A：mAg+kx1=F，對BC系統(tǒng)：（mB+mC）g=F，解得：x1=0.1m=10cm； （2）A振動過程受到最大時在平衡位置，此時合力為零，A、B間繩子拉力為F0，彈簧壓縮量為x2． 對B：F0=mBg，對A：mAg=kx2+F0，解得：x2=0.1m=10cm， 剪斷B、C間繩子后到速度最大的過程中，機械能守恒，因x1=x2，在這兩位置時彈簧的彈性勢能相等，A下降的高度和B上升的高度為：d=x1+x2=20cm， 由機械能守恒定律得：mAgd-mBgd=（mA+mB）vm2，解得：vm=m/s； （3）B振動到最低點時拉力最大，為Fmax；振動到最高點時拉力最小，為Fmin； 由簡諧振動的對稱性可知，在最高點與最低點加速度a大小相等，B在振動過程的最低點：Fmax-mBg=mBa，mAg+kx1-Fmax=mAa， 解得：Fmax=28N； B在振動過程的最高點：mBg-Fmin=mBa， 解得：Fmin=12N． 6．【2018云南省模擬】有一如圖所示的裝置，輕繩上端系在豎直桿的頂端O點，下端P連接一個小球(小球可視為質點)，輕彈簧一端通過鉸鏈固定在桿的A點，另一端連接在P點，整個裝置可以在外部驅動下繞OA軸旋轉。剛開始時，整個裝置處于靜止狀態(tài)，彈簧處于水平方向?，F(xiàn)在讓桿從靜止開始緩慢加速轉動，整個過程中，繩子一直處于拉伸狀態(tài)，彈簧始終在彈性限度內，忽略一切摩擦和空氣阻力。已知：OA=4m，OP=5m，小球質量m=1kg，彈簧原長l=5m，重力加速度g取10m/2。求： （1）彈簧的勁度系數(shù)k； （2）當彈簧彈力為零時，整個裝置轉動的角速度ω。 【解析】（1）開始整個裝置處于靜止狀態(tài)，對小球進行受力分析，如圖所示： 根據(jù)平衡條件得：F彈AP=mgOA F彈=kl-AP，AP=OP2-OA2 聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：k=3.75Nm （2）當彈簧彈力為零時，小球上移至P位置，繞OA中點C做勻速圓周運動，受力分析如圖所示： 由圖可得，軌道半徑為r=CP=OP2-OC2，tanθ=CPOC，其中AP=OP=5m,OC=2m 根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ=mω2r 聯(lián)立解得：ω=5rads 7．【2018湖北省模擬】如圖（a）所示，三棱柱的左、右兩側斜面的傾角a＝b＝45，物塊P、Q用跨過定滑輪的輕繩相連，分別放在兩側的斜面上，此時物塊P恰好不向下滑動。已知P、Q與斜面之間的動摩擦因數(shù)均為m＝tanl5，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。 （1）求物塊P、Q的質量之比m1：m2； （2）當三棱柱緩慢繞右側棱邊順時針轉動q角，如圖（b）所示，物塊Q恰好不下滑，求q角。 【解析】（1）三棱柱轉動之前，物塊P恰好不向下滑動。 分析P的受力，有Ff1=μFN1，F(xiàn)N1=m1gcosα，m1gsinα-Ff1=FT 分析Q的受力，有Ff2=μFN2，F(xiàn)N2=m2gcosβ，m2gsinβ+Ff2=FT 解得：m1m2=3 （2）三棱柱轉動q角后，物塊Q恰好不下滑。分析Q的受力，有 Ff2=μFN2，F(xiàn)N2=m2gcos(β＋θ)，m2gsin(β+θ)+Ff1=FT 分析P的受力，有Ff1=μFN1，F(xiàn)N1=m1gcos(α-θ)，m1gsin(α-θ)+Ff1=FT 聯(lián)立解得：m1m2=sin(30+θ)sin(60-θ)