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培優(yōu)點九 線性規(guī)劃 1．簡單的線性規(guī)劃問題應注意取點是否取得到 例1．已知實數(shù)，滿足，則的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】不等式組對應的可行域如圖所示： 由當動直線過時，取最小值為6，故選C． 2．目標函數(shù)為二次式 例2：若變量，滿足，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】目標函數(shù)可視為點到原點距離的平方， 所以只需求出可行域里距離原點最遠的點即可，作出可行域， 觀察可得最遠的點為，所以． 3．目標函數(shù)為分式 例3：設變量，滿足約束條件，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所求可視為點與定點連線的斜率． 從而在可行域中尋找斜率的取值范圍即可， 可得在處的斜率最小，即， 在處的斜率最大，為， 結合圖像可得的范圍為． 4．面積問題 例4：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分成面積相等的兩部分，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在坐標系中作出可行域， 如圖所示為一個三角形，動直線為繞定點的一條動直線， 設直線交于，若將三角形分為面積相等的兩部分，則， 觀察可得兩個三角形高相等，所以，即為中點， 聯(lián)立直線方程可求得，，則，代入直線方程可解得． 對點增分集訓 一、單選題 1．若實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】由圖可知，可行域為封閉的三角區(qū)域， 由在軸上的截距越小，目標函數(shù)值越大， 所以最優(yōu)解為，所以的最大值為1，故選B． 2．已知實數(shù)，滿足線性約束條件，則其表示的平面區(qū)域的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】滿足約束條件，如圖所示： 可知范圍擴大，實際只有， 其平面區(qū)域表示陰影部分一個三角形，其面積為．故選B． 3．已知實數(shù)，滿足，若只在點處取得最大值，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由不等式組作可行域如圖， 聯(lián)立，解得,當時，目標函數(shù)化為， 由圖可知，可行解使取得最大值，符合題意； 當時，由，得，此直線斜率大于0， 當在軸上截距最大時最大， 可行解為使目標函數(shù)的最優(yōu)解，符合題意； 當時，由，得，此直線斜率為負值， 要使可行解為使目標函數(shù)取得最大值的唯一的最優(yōu)解， 則，即． 綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選C． 4．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】畫出不等式表示的可行域，如圖陰影三角形所示， 由題意得，． 由得， 所以可看作點和連線的斜率，記為， 由圖形可得， 又，，所以， 因此或，所以的取值范圍為．故選C． 5．若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由實數(shù)，滿足約束條件作出可行域，如圖： ∵，，∴， 聯(lián)立，解得， 的幾何意義為可行域內動點與原點距離的平方，其最大值．故選D． 6．已知點，若動點的坐標滿足，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出可行域如圖： 觀察圖象可知，最小距離為點到直線的距離， 即，故選C． 7．，滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為（ ） A．或 B．2或 C．2或1 D．2或 【答案】D 【解析】由題意作出約束條件，平面區(qū)域， 將化為，相當于直線的縱截距， 由題意可得，與或與平行， 故或；故選D． 8．若，滿足不等式組，則成立的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示： 因為表示點與定點連線的斜率， 所以成立的點只能在圖中的內部（含邊界）， 所以由幾何概型得：成立的概率為， 由，得，由，得， 由，得，由，解得， 由，解得，所以，， 所以成立的概率為，故選A． 9．若，滿足不等式組，則的最小值為（ ） A．7 B．6 C． D．4 【答案】C 【解析】畫出可行城如圖所示， 目標函數(shù)可化為，共圖象是對稱軸為的兩條射線， 由得取得最小值時的最優(yōu)解為． 即．故選C． 10．已知平面直角坐標系上的區(qū)域由不等式組給定．若為上動點，點的坐標為．則的最大值為（ ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【解析】如圖所示：，即， 首先做出直線：，將平行移動， 當經過點時在軸上的截距最大，從而最大． 因為，故的最大值為4．故選C． 11．若不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點，使成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出不等式，可行域如圖： ∵平面區(qū)域內存在點，滿足， ∴直線與可行域有交點，解方程組得． ∴點在直線下方．可得．解得．故選B． 12．已知圓，平面區(qū)域，若圓心，且圓與軸相切， 則圓心與點連線斜率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】畫出可行域如圖， 由圓的標準方程可得圓心，半徑為1， 因為圓與軸相切，所以， 直線分別與直線與交于點，， 所以，圓心與點連線斜率為， 當時，；當時； 所以圓心與點連線斜率的取值范圍是，故選A． 二、填空題 13．設，滿足，則的最大值為____________． 【答案】13 【解析】如圖，作出可行域（圖中陰影部分）， 目標函數(shù)在點取得最大值13．故答案為13． 14．若變量，滿足約束條件，則的最小值為_________． 【答案】1 【解析】作可行域，，表示可行域內點到坐標原點距離的平方， 由圖可得最小值為． 15．已知實數(shù)，滿足，則的最小值為______． 【答案】4 【解析】由實數(shù)，滿足，作出可行域如圖， 聯(lián)立，解得，， 其幾何意義為可行域內的動點與定點連線的斜率加2． ∵，∴的最小值為4．故答案為4． 16．某公司計劃明年用不超過6千萬元的資金投資于本地養(yǎng)魚場和遠洋捕撈隊．經過對本地養(yǎng)魚場年利潤率的調研，其結果是：年利潤虧損的概率為，年利潤獲利的概率為，年利潤獲利的概率為，對遠洋捕撈隊的調研結果是：年利潤獲利為的概率為，持平的概率為，年利潤虧損的可能性為．為確保本地的鮮魚供應，市政府要求該公司對遠洋捕撈隊的投資不得高于本地養(yǎng)魚場的投資的2倍．根據調研數(shù)據，該公司如何分配投資金額，明年兩個項目的利潤之和最大值為_________千萬． 【答案】 【解析】設本地養(yǎng)魚場平均年利潤，遠洋捕撈隊平均平均年利潤； ，； 設本地養(yǎng)魚場投千萬元，遠洋捕撈隊投千萬元， 則利潤之和，， 如圖，當目標函數(shù)經過點時利潤最大，千萬元．