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培優(yōu)點十九 幾何概型 1.長度類幾何概型 例1：已知函數(shù)，，在定義域內(nèi)任取一點，使的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先解出時的取值范圍：， 從而在數(shù)軸上區(qū)間長度占區(qū)間長度的比例即為事件發(fā)生的概率， ∴，故選C． 2．面積類幾何概型 （1）圖形類幾何概型 例2-1：如圖所示，在矩形中，，，圖中陰影部分是以為直徑的半圓，現(xiàn)在向矩形內(nèi)隨機撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不計），根據(jù)你所學(xué)的概率統(tǒng)計知識，下列四個選項中最有可能落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目是（ ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 【答案】C 【解析】在矩形中，，，面積為，半圓的面積為， 故由幾何概型可知，半圓所占比例為，隨機撒4000粒豆子， 落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目大約為3000，故選C． （2）線性規(guī)劃類幾何概型 例2-2：甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定他們在一晝夜的時間段中隨機地到達，試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)甲船到達的時間為，乙船到達的時間為， 則所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域Ω滿足， 這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域滿足，作出對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示： 這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率為， 故選D． 3．體積類幾何概型 例3：一個多面體的直觀圖和三視圖所示，是的中點，一只蝴蝶在幾何體內(nèi)自由飛翔，由它飛入幾何體內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所求概率為棱錐的體積與棱柱體積的比值． 由三視圖可得，且，，兩兩垂直， 可得， 棱錐體積，而， ∴．從而．故選D． 對點增分集訓(xùn) 一、單選題 1．如圖，邊長為2的正方形中有一陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為．則陰影區(qū)域的面積約為（ ） A． B． C． D．無法計算 【答案】C 【解析】設(shè)陰影區(qū)域的面積為，，∴．故選C． 2．某景區(qū)在開放時間內(nèi)，每個整點時會有一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車，某人上午到達景區(qū)入口，準備乘坐觀光車，則他等待時間不多于10分鐘的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，此人在50分到整點之間的10分鐘內(nèi)到達，等待時間不多于10分鐘， ∴概率．故選B． 3．一只螞蟻在邊長為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則它在離三個頂點距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】滿足條件的正三角形如圖所示： 其中正三角形的面積 滿足到正三角形的頂點，，的距離都小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 則，則使取到的點到三個頂點，，的距離都大于2的概率為： ．故選A． 4．在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，，記為事件的概率，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖所示，，表示的平面區(qū)域為， 平面區(qū)域內(nèi)滿足的部分為陰影部分的區(qū)域，其中，， 結(jié)合幾何概型計算公式可得滿足題意的概率值為，故選D． 5．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，的值介于0到之間的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，或， ∴或， 記的值介于0到之間， 則構(gòu)成事件的區(qū)域長度為；全部結(jié)果的區(qū)域長度為2； ∴，故選A． 6．點在邊長為1的正方形內(nèi)運動，則動點到定點的距離的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】滿足條件的正方形，如圖所示： 其中滿足動點到定點的距離的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 則正方形的面積，陰影部分的面積． 故動點到定點的距離的概率．故選C． 7．已知實數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率為 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)實數(shù)，經(jīng)過第一次循環(huán)得到，； 經(jīng)過第二次循環(huán)得到，； 經(jīng)過第三次循環(huán)得到，，此時輸出， 輸出的值為， 令得， 由幾何概型概率得到輸出的不小于103的概率為，故選B． 8．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子， 則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直角三角形的斜邊長為， 設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，∴內(nèi)切圓的面積為， ∴豆子落在其內(nèi)切圓外部的概率是，故選C． 9．把不超過實數(shù)的最大整數(shù)記為，則函數(shù)稱作取整函數(shù)，又叫高斯函數(shù)，在上任取，則的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當(dāng)時，則，滿足； 當(dāng)時，，，則，滿足； 當(dāng)時，，，則不滿足； 當(dāng)時，，，則，不滿足． 綜上，滿足的，則的概率為，故選D． 10．關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多有創(chuàng)意的求法，如著名的普豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值：先請120名同學(xué)每人隨機寫下一個，都小于1的正實數(shù)對，再統(tǒng)計其中x，y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)，最后根據(jù)統(tǒng)計個數(shù)估計的值．如果統(tǒng)計結(jié)果是，那么可以估計的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由題意，120對都小于1的正實數(shù)，滿足，面積為1， 兩個數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊的數(shù)對， 滿足且，面積為， ∵統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)為， 則，∴，故選B． 11．為了節(jié)省材料，某市下水道井蓋的形狀如圖1所示，其外圍是由以正三角形的頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形，這個曲邊三角形稱作“菜洛三角形”．現(xiàn)有一顆質(zhì)量均勻的彈珠落在如圖2所示的萊洛三角形內(nèi)，則彈珠恰好落在三角形內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】彈珠落在萊洛三角形內(nèi)的每一個位置是等可能的， 由幾何概型的概率計算公式可知所求概率： ， (為萊洛三角形的面積），故選A． 12．下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，．的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率分別記為，，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)，，，則有， 從而可以求得的面積為， 黑色部分的面積為 ， 其余部分的面積為，∴有， 根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A． 二、填空題 13．在區(qū)間內(nèi)任取一個實數(shù)，則使函數(shù)在上為減函數(shù)的概率是___________． 【答案】 【解析】∵函數(shù)在上為減函數(shù)， ∴，，因此所求概率為． 14．記集合，集合表示的平面區(qū)域分別為，．若在區(qū)域內(nèi)任取一點，則點落在區(qū)域中的概率為__________． 【答案】 【解析】畫出表示的區(qū)域，即圖中以原點為圓心，半徑為2的圓； 集合表示的區(qū)域，即圖中的陰影部分． 由題意可得，， 根據(jù)幾何概型概率公式可得所求概率為． 15．任取兩個小于1的正數(shù)、，若、、1能作為三角形的三條邊長，則它們能構(gòu)成鈍角三角形三條邊長的概率是________． 【答案】 【解析】根據(jù)題意可得，三邊可以構(gòu)成三角形的條件為：． 這三個邊正好是鈍角三角形的三個邊，應(yīng)滿足以下條件：， 對應(yīng)的區(qū)域如圖， 由圓面積的為，直線和區(qū)域圍成的三角形面積是， 則、、1能作為三角形的三條邊長， 則它們能構(gòu)成鈍角三角形三條邊長的概率．故答案為． 16．父親節(jié)小明給爸爸從網(wǎng)上購買了一雙運動鞋，就在父親節(jié)的當(dāng)天，快遞公司給小明打電話話說鞋子已經(jīng)到達快遞公司了，馬上可以送到小明家，到達時間為晚上6點到7點之間，小明的爸爸晚上5點下班之后需要坐公共汽車回家，到家的時間在晚上5點半到6點半之間．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快遞員把鞋子送到小明家的時候，會把鞋子放在小明家門口的“豐巢”中）為__________． 【答案】 【解析】設(shè)爸爸到家時間為，快遞員到達時間為， 以橫坐標表示爸爸到家時間，以縱坐標表示快遞送達時間，建立平面直角坐標系， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件構(gòu)成區(qū)域如下圖： 根據(jù)題意，所有基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域為，面積， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，構(gòu)成的平面區(qū)域為， 直線與直線和交點坐標分別為和， 由幾何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：． 故答案為．