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考點規(guī)范練3　命題及其關(guān)系、充要條件 一、基礎(chǔ)鞏固 1.已知a,b,c∈R,命題“若a+b+c=3,則a2+b2+c2≥3”的否命題是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.若a+b+c≠3,則a2+b2+c2<3 B.若a+b+c=3,則a2+b2+c2<3 C.若a+b+c≠3,則a2+b2+c2≥3 D.若a2+b2+c2≥3,則a+b+c=3 答案A 解析a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3. 2.命題“若一個數(shù)是負數(shù),則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(　　) A.“若一個數(shù)是負數(shù),則它的平方不是正數(shù)” B.“若一個數(shù)的平方是正數(shù),則它是負數(shù)” C.“若一個數(shù)不是負數(shù),則它的平方不是正數(shù)” D.“若一個數(shù)的平方不是正數(shù),則它不是負數(shù)” 答案B 解析將原命題的條件與結(jié)論互換即得逆命題,故原命題的逆命題為“若一個數(shù)的平方是正數(shù),則它是負數(shù)”. 3.(2018重慶期末)命題p:“若x>1,則x2>1”,則命題p以及它的否命題、逆命題、逆否命題這四個命題中,真命題的個數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析命題p:“若x>1,則x2>1”是真命題,則其逆否命題為真命題; 其逆命題:“若x2>1,則x>1”是假命題,則其否命題也是假命題. 綜上可得,四個命題中真命題的個數(shù)為2. 4.已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案A 解析若直線a,b相交,設(shè)交點為P,則P∈a,P∈b. 又因為a?α,b?β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交. 反之,若α,β相交,設(shè)交線為l,當a,b都與直線l不相交時,有a∥b. 顯然a,b可能相交,也可能異面、平行. 綜上,“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件. 5.下列命題中為真命題的是(　　) A.命題“若x>y,則x>|y|”的逆命題 B.命題“若x>1,則x2>1”的否命題 C.命題“若x=1,則x2+x-2=0”的否命題 D.命題“若x2>0,則x>1”的逆否命題 答案A 解析對于A,逆命題是:若x>|y|,則x>y. 因為x>|y|≥y,必有x>y,所以逆命題是真命題; 對于B,否命題是:若x≤1,則x2≤1. 因為x=-5,有x2=25>1,所以否命題是假命題; 對于C,否命題是:若x≠1,則x2+x-2≠0. 因為x=-2,有x2+x-2=0,所以否命題是假命題; 對于D,若x2>0,則x≠0,不一定有x>1, 因此逆否命題是假命題. 6.若x∈R,則“10在R上恒成立”的一個必要不充分條件是 (　　) A.m>14 B.00 D.m>1 答案C 解析不等式x2-x+m>0在R上恒成立,則Δ=1-4m<0,解得m>14. 所以“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是m>0. 8.下列結(jié)論錯誤的是(　　) A.命題“若x2-3x-4=0,則x=4”的逆否命題為“若x≠4,則x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分不必要條件 C.命題“若m>0,則關(guān)于x的方程x2+x-m=0有實根”的逆命題為真命題 D.命題“若m2+n2=0,則m=0,且n=0”的否命題是“若m2+n2≠0,則m≠0或n≠0” 答案C 解析若關(guān)于x的方程x2+x-m=0有實根,則Δ=1+4m≥0,即m≥-14,不能推出m>0.所以“若m>0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆命題不是真命題,故選C. 9.若a,b都是不等于1的正數(shù),則“3a>3b>3”是“l(fā)oga33b>3,∴a>b>1. ∴l(xiāng)og3a>log3b>0. ∴1log3a<1log3b,即loga33b>3”是“l(fā)oga31時,滿足loga33b>3,得a>b>1, ∴由loga33b>3, ∴“3a>3b>3”不是“l(fā)oga33b>3”是“l(fā)oga30,b>0,則“a>b”是“a+ln a>b+ln b”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案C 解析設(shè)f(x)=x+lnx,顯然f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∵a>b,∴f(a)>f(b),即a+lna>b+lnb,故充分性成立, ∵a+lna>b+lnb,∴f(a)>f(b),∴a>b,故必要性成立, 故“a>b”是“a+lna>b+lnb”的充要條件,故選C. 11.(2018江西撫州七校聯(lián)考)A,B,C三名學生參加了一次考試,A,B的得分均為70分,C的得分為65分.已知命題p:若及格分低于70分,則A,B,C都沒有及格.在下列四個命題中,p的逆否命題是(　　) A.若及格分不低于70分,則A,B,C都及格 B.若A,B,C都及格,則及格分不低于70分 C.若A,B,C至少有一人及格,則及格分不低于70分 D.若A,B,C至少有一人及格,則及格分高于70分 答案C 解析根據(jù)原命題與它的逆否命題之間的關(guān)系知,p的逆否命題是:若A,B,C至少有一人及格,則及格分不低于70分.故選C. 12.有下列幾個命題: ①“若a>b,則a2>b2”的否命題; ②“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題; ③“若x2<4,則-21”,是真命題 B.逆命題是“若m≤1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)”,是假命題 C.逆否命題是“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù)”,是真命題 D.逆否命題是“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)不是增函數(shù)”,是真命題 答案D 解析由f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),可知f(x)=ex-m≥0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恒成立,故m≤1.因此命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),則m≤1”是真命題,所以其逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)不是增函數(shù)”是真命題. 14.已知條件p:k=3;條件q:直線y=kx+2與圓x2+y2=1相切,則??p是??q的(　　) A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案B 解析直線y=kx+2與圓x2+y2=1相切,可得d=2k2+1=1,解得k=3,所以p是q的充分不必要條件,則??p是??q的必要不充分條件. 15.設(shè)x∈R,則“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案B 解析∵x=-3滿足2-x≥0,但不滿足|x-1|≤1, ∴“2-x≥0”不是“|x-1|≤1”的充分條件. 若|x-1|≤1,則-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,可得2-x≥0, 即“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要條件. 故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分條件.故選B. 16.已知p:實數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:實數(shù)x滿足x2-x-6≤0,x2+2x-8>0,若p是q的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　. 答案(1,2] 解析∵p是q的必要不充分條件, ∴q?p,且pq. 設(shè)A={x|p(x)},B={x|q(x)},則B?A. 又B={x|20時,A={x|a0時,有a≤2,3<3a,解得10,若p是??q的充分不必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　. 答案a0≤a≤12 解析??q:(x-a)(x-a-1)≤0,解得a≤x≤a+1. 由p是??q的充分不必要條件,知12,1?[a,a+1], 則a≤12,a+1≥1,且等號不能同時成立,解得0≤a≤12. 三、高考預測 18.若a,b∈R,則“a>b”是“a(ea+e-a)>b(eb+e-b)”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 答案C 解析設(shè)f(x)=ex+e-x, 則f(x)=ex-e-x=e2x-1ex. 當x>0時,ex>1,∴(ex)2-1>0. ∴f(x)>0,∴當x>0時,f(x)是增函數(shù); ∵a>b>0,∴f(a)>f(b).∴ea+e-a>eb+e-b. ∴a(ea+e-a)>b(eb+e-b). 當x<0時,0b(eb+e-b). 當a>0>b時,a(ea+e-a)>b(eb+e-b)顯然成立, 綜上所述,當a>b時,a(ea+e-a)>b(eb+e-b)恒成立,故充分性成立; 反之也成立,故必要性成立; 故“a>b”是“a(ea+e-a)>b(eb+e-b)”的充要條件,故選C.